【文章內(nèi)容簡介】 (Ⅰ )求數(shù)列 ??na 的通項； (Ⅱ )若nn anb ? 求數(shù)列 ??nb 的前 n 項 nS 和。 解：（Ⅰ） 2111 ?? an 時 2222 13221 naaaa nn ???? ??(1) 2 1222123221 ????? ?? naaaa nn?(2) (1)(2)得 212 1 ??nn a即nna 21?(n 2? )又 211?a也適合上式 ?nna 21? （Ⅱ） nn nb 2?? nn nS 2232221 32 ???????????? 132 22)1(22212 ?????????????? nnn nnS （ 1） （ 2） nS? 111 222221 )21(2 ??? ????????? nnnn nn 111 222221 )21(2 ??? ????????? nnnn nn 22)1( 1 ???? ?nn nS 16． 已知正項數(shù)列}{na的前 項和為nS，且*,21 NnSa nn ???． (Ⅰ )求證：數(shù)列nS是等差數(shù)列； (Ⅱ )求解關(guān)于 的不等式84)( 11 ????? nSSa nnn ； 第 10 頁 共 21 頁 (Ⅲ )記數(shù)列32 nn Sb ?，nn bbbT11121 ???? ?，證明：nTn n 123111 ?????． 解： ( Ⅰ ) nnn Saa 2???．nnn Saa 212 ???．當2?n時， nnnnn SSSSS )(21)( 121 ?? ????， 化 簡 得12 12 ?? ?nn SS．由111 21 aaa ??，得2121 1a ??． ?數(shù)列}{2nS是等差數(shù)列． … (Ⅱ )由 (I)知nnn ??? )1(12， 又由84)( 11 ????? nSSa nnn， 得84))(( 11 ???? ?? nSSSS nnnn．8422 ???? ? SS nn， 即841 ??．49??n． 又*Nn?， ?不等式的解集為}2,1{． (Ⅲ )當?時， nnnn nnn nnnnnnnb n 111)1( 11)1( 12 11 ???? ???????????． nnnT n 123)111)312)211(21 ( ???????????? ? 111)112( 11)1( 12 11 ????? ???????????? nnn nnn nnnnnnnb n?． 111)111.)31)211( ?????????? nnnhT n ?， 故nTn n 123111 ????? 17， 已知遞增的等比數(shù)列 {}na 滿足 2 3 4 328 , 2a a a a? ? ? ?且是 24,aa的等差中項。 （ Ⅰ ）求數(shù)列 {}na 的通項公式； （ Ⅱ ）若 nnn Sab ,12log ?? 是數(shù)列 {}nnab 的前 n 項和，求 .nS 解： （ 1）設(shè)等比數(shù)列的公比 為 q，有題意可得??? ??? ???423432 42 28aaa aaa 解答： 83?a q= 2 21?q（舍去） nnn aa 22 33 ??? ? ， ∴ 等比數(shù)列 ??na 的通項公式為： nna 2? 第 11 頁 共 21 頁 （ 2） ∵ 1lo g 12 ??? ? nab nn ∴a nbn=（ n+1） 2n， 用錯位相減法得： 12 ??? nn ns 19．設(shè) ? ?na 是公差不 為零的等差數(shù)列， nS 為其前 n 項和，滿足 2 2 2 22 3 4 5 7,7a a a a S? ? ? ?， （ 1）求數(shù)列 ??na 的通項公式及前 n 項和 nS ； （ 2）試求所有的正整數(shù) m ，使得 12mmmaaa ??為數(shù)列 ??na 中的項。 解： （ 1）設(shè)公 差為 d ，則 2 2 2 22 5 4 3a a a a???，由性質(zhì)得 4 3 4 33 ( ) ( )d a a d a a? ? ? ?， 因為 0d? ，所以 430aa??，即 12 5 0ad??， 又由 7 7S? 得1 76772ad???，解得 1 5a?? ， 2d? , （ 2） 12mmmaaa ??= (2 7)(2 5)23mmm??? ，設(shè) 23mt?? ， 則 12mmmaaa ??= ( 4 )( 2 ) 8 6tt ttt?? ? ? ?，所以 t 為 8的約數(shù)。 20．已知等差數(shù)列 ??na 滿足： 3 7a? ， 5726aa?? ， ??na 的前 n項和為 nS ． （Ⅰ）求 na 及 nS ； （Ⅱ）令 bn=211na ?（ *n?N ） ，求數(shù)列 ??nb 的前 n項和 nT 。 解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列 ??na 的公差為 d，因為 3 7a? ， 5726aa?? ，所以有 11272 10 26ad?????，解得 1 3, 2ad??， 所以 3 2 1)=2n+1nan? ? ?（ ； nS = n(n1)3n+ 22 ? = 2n+2n 。……………… 6分 第 12 頁 共 21 頁 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 2n+1na ? ，所以 bn=211na ?=21 =2n+1) 1?（ 114 n(n+1)?= 1 1 1( )4 n n+1? ， 所以 nT = 1 1 1 1 1 1( 1 + + + )4 2 2 3 n n + 1?? = 11(1 )=4 n+1? n4(n+1)， 即數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nT = n4(n+1)。 20． 已知數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，且 a1＝ 1， nan＋ 1＝ (n＋ 2)Sn(n＝ 1,2,3， …) ． (1)求證：數(shù)列 {Snn}為等比數(shù)列，并由此求出 Sn； (2)若數(shù)列 {bn}滿足： b1＝ 12， bn＋ 1n＋ 1＝ bn＋ Snn (n∈ N*)，試求數(shù)列 {bn}的通項公式． 解： (1)證明：由 nan＋ 1＝ (n＋ 2)Sn，得 n(Sn＋ 1－ Sn)＝ (n＋ 2)Sn，即 Sn＋ 1n＋ 1＝ 2 Snn， ∴ 數(shù)列 {Snn}是首項為 S11＝ a1＝ 1，公比為 2 的等比數(shù)列， ∴ Snn＝ 2n－ 1， Sn＝ n2n－ 1. (2)由條件得 bn＋ 1n＋ 1＝ bn＋ n2n－ 1n ＝bnn＋ 2n－ cn＝bnn，則 c1＝12，當 n≥2 時， ＝ c1＋ (c2－ c1)＋ (c3－ c2)＋ … ＋ (－ － 1)＝ 2－ 1＋ 20＋ 21＋ … ＋ 2n－ 2＝ 12(2n－ 1)，當 n＝ 1時，也滿足上式． ∴ ＝ 12(2n－ 1)(n∈ N*)，從而 bn＝ n＝ n2(2n－ 1)． 21． 已知數(shù)列 {}na 的首項 ta?1 0? ，1 321nn naa a? ? ?， 12n?， ， （ 1）若53?t，求證 1 1na???????是等比數(shù)列并求出 {}na 的通項公式； （ 2）若 nn aa ??1 對一切 *Nn? 都成立，求 t 的取值范圍。 22．已知 ( ) 2 lnbf x ax xx? ? ?在 1x? 與 12x? 處都取得極值。 （ I）求 a ， b 的值； （Ⅱ）若對 1[ ,1]4x? 時， ()f x c? 恒成立，求實數(shù) c 的取值范圍。 （ 1） 由題意知 ,0?na ，nnn aaa 3 1211???， 32311 ?? nn aa， ???????? ???? 113111 1 nn aa ， 1121 3a ?? ……………………………… 4 分 所以數(shù)列 1 1na???????是首項為 23 ，公比為 13 的等比數(shù)列； ……………5 分 nnna 323113511 1 ????????????? ??? ? ， 233?? n nna ……………………8 分 第 13 頁 共 21 頁 （ 2）由（ 1）知 ???????? ????1131111 nn aa， 1311111????????????? ???nn ta ……………10 分 由11 30, 21nn naaa a??? ?知 0na? ，故 1nnaa? ? 得111nnaa? ? ……………11 分 即 11 1 1 1( 1 ) ( ) 1 ( 1 ) ( ) 133nntt ?? ? ? ? ? 得 1 10t?? ，又 0t? ，則 01t?? 23．在數(shù)列 {}na 中， nS 為其前 n 項和，滿足 2 ,( , * )nnS k a n n k R n N? ???? ． （ I）若 1k? ，求數(shù)列 {}na 的通項公式； （ II）若數(shù)列 { 2 1}nan??為公比不為 1的等比數(shù)列，且 1?k ，求 nS ． 解：（ I）當 1k? 時， 2 ,nnS a n n? ? ? 所以 21 , ( 2)nS n n n? ? ? ? 即 22( 1 ) ( 1 ) , ( 1 )nS n n n n n? ? ? ? ? ? ?，所以當 1n? 時， 112aS??； 當 2n? 時， 221 ( 1 ) ( 1 ) 2n n na S S n n n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以數(shù)列 {}na 的通項公式為 )(2 ??? Nnnan ．………… 7分 （ II）當 2n? 時， 11 2n n n n na S S k a k a n??? ? ? ? ?，所以 1( 1) 2 2nnk a ka n?? ? ? ?， 1 1 1a S ka?? . 1k?? ， ? 1 0a? ， 2 21a k? ? ， 3 246(1 )ka k?? ? 21 2 3 25 3 7 8 33 3 , 5 , 71 ( 1 )k k ka a akk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? 由題意得， 22