【正文】 nnn nnnnnnnb n?． 111)111.)31)211( ?????????? nnnhT n ?， 故nTn n 123111 ????? 17， 已知遞增的等比數(shù)列 {}na 滿足 2 3 4 328 , 2a a a a? ? ? ?且是 24,aa的等差中項。 第 8 頁 共 21 頁 所以 ? ? 4 781241 ????? nnbn， ………………………………………………4 分 因為 1?na ，故 2 781 ??? nan。由已知得1 21 1 14 6 1 4( 2 ) ( 6 )ada d a a d???? ? ? ??…………………… 3分 解得 1d? 或 0d? (舍去 ) 所以 1 2a? ，故 1nan?? …………………………… 6分 （ 2）因為11 1 1 1( 1 ) ( 2 ) 1 2nna a n n n n? ? ? ?? ? ? ? 所以 1 1 1 1 1 1 1 12 3 3 4 1 2 2 2 2 ( 2 )n nT n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?L …………………… 9分 因為 1nnTa? ?? 對 *nN?? 恒成立。 （ 2）設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，若 22nnS a n?? ，求正整數(shù)列 n 的最小值。 解析： （ 1）解：因為1211 ???? ?? nnnn aaaa，所以 2122 1 ???? ?? nnnn aaaa ， 即 22121221 ??????? ???????? ?? nn aa， ………………………………………………2 分 令 2,21 12 ????????? ?? ? nnnn bbab，故 ??nb 是以 41 為首項， 2為公差的等差數(shù)列。 第 1 頁 共 21 頁 2022 屆高考數(shù)學(xué)（文）考前 60天沖刺【六大解答題】數(shù)列 1． 數(shù)列 }{na 的前 n 項和記為 nS ， ta?1 ， 1 2 1 ( )nna S n ?? ? ? ? N． （ 1）當(dāng) t 為何值時，數(shù)列 }{na 是等比數(shù)列 。 第 4 頁 共 21 頁 (1)解：由 2nnS a n?? 得： 1121nnS a n??? ? ? ∴ 1 1 12 2 1n n n n na S S a a? ? ?? ? ? ? ?，即 1 21nnaa? ?? ∴ 1 1 2( 1)nnaa? ? ? ? 4分 又因為 1121Sa??，所以 a1 =－ 1， a1－ 1 =－ 2≠ 0， ∴ { 1}na? 是以－ 2為首項， 2為公比的等比數(shù)列． 6分 (2)解：由 (1)知， 11 2 2 2nnna ?? ? ? ? ? ?，即 21nna ?? ? 8分 ∴112 1 1(1 2 ) (1 2 ) 2 1 2 1nn n n n nb ???? ? ?? ? ? ? 10分 故2 2 3 1 11 1 1 1 1 1 1[ ( ) ( ) ( ) ] 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n nT ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6． 在數(shù)列 ??na 中，已知 )(121,1 *111 Nnaaaaaa nnnnn ??????? ??且 （ I）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ II）令132212 111,)12(??????? nnnnn ccccccSac ?，若 kSn? 恒成立，求 k 的取值范圍。 8．已知數(shù)列 ??na 中， 1 4a? ， 1 2( 1)nna a n? ? ? ?，（ 1）求證：數(shù)列 ? ?2nan? 為等比數(shù)列。 9． 已知數(shù)列 {}na 的前項和 nS 滿足： ( 1)1nnaSaa???（ a 為常數(shù)，且 0a? ， 1a? ）． （Ⅰ）求 {}na 的通項公式； （Ⅱ）設(shè) 2 1nn nSb a??，若數(shù)列 {}nb 為等比數(shù)列，求 a 的值 . 解：解：（Ⅰ）因為11( 1)1aa?,所以1aa? 當(dāng)2?時，1111n n n naaS S a aaa??? ? ? ???，1nna aa? ?， 即以為 a首項， a為公比的等比數(shù)列． ∴1nnn aa a??? ?； ………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2 ( 1) (3 1) 21 1( 1)n nnnna a a a aab a a a?? ???? ?? ?， 第 6 頁 共 21 頁 若為等比數(shù)列，則有22 1 3b b b??， 而1 3b ?，2 32ab a??，23 23 2 2aaa??? 故2223 2 3 2 2( )a a aaa? ? ???，解得13a ? 再將13a ?代入得3nnb ?成等比數(shù)列， 所以 3a成立 10． 已知各項均不相等的等差數(shù)列 {an}的前四項和 S4＝ 14，且 a1， a3， a7成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)設(shè) Tn為數(shù)列 { 1anan＋ 1}的前 n 項和，若 Tn≤ λa n＋ 1對 ? n∈ N*恒成立，求實數(shù) λ 的最小值． 解： （ 1）設(shè)公差為 d 。 解析： （ 1）解：因為1211 ???? ?? nnnn aaaa，所以 2122 1 ???? ?? nnnn aaaa ， 即 22121221 ??????? ???????? ?? nn aa， ………………………………………………2 分 令 2,21 12 ????????? ?? ? nnnn bbab，故 ??nb 是以 41 為首項， 2為公差的等差數(shù)列。 (1)解：由 2nnS a n?? 得： 1121nnS a n??? ? ? ∴ 1 1 12 2 1n n n n na S S a a? ? ?? ? ? ? ?，即 1 21nnaa? ?? ∴ 1 1 2( 1)nnaa? ? ? ? 4分 又因為 1121Sa??，所以 a1 =－ 1， a1－ 1 =－ 2≠ 0， ∴ { 1}na? 是以－ 2為首項， 2為公比的等比數(shù)列． 6分 (2)解：由 (1)知， 11 2 2 2nnna ?? ? ? ? ? ?，即 21nna ?? ? 8分 ∴112 1 1(1 2 ) (1 2 ) 2 1 2 1nn n n n nb ???? ? ?? ? ? ? 10分 故2 2 3 1 11 1 1 1 1 1 1[ ( ) ( ) ( ) ] 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n nT ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?． 14．在數(shù)列 {}na 中， 1 3a? ， 122nna a n?? ? ? (2n≥ 且 *)n?N ． （ 1）求 2a ， 3a 的值； （ 2）證明：數(shù)列 {}nan? 是等比數(shù)列，并求 {}na 的通項公式； （ 3）求數(shù)列 {}na 的前 n 項和 nS ． 第 9 頁 共 21 頁 （ 1）解：∵ 1 3a? ， 122nna a n?? ? ? (2n≥ 且 *)n?N ， ∴ 212 2 2 6aa? ? ? ?， 322 3 2 13aa? ? ? ?． ………… 2分 （ 2）證明： ∵111 1 1( 2 2 ) 2 2 2 2( 1 ) 1 1n n nn n na n a n n a na n a n a n??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?， ∴數(shù)列 {}nan? 是首項為 1 14a?? ，公比為 2 的等比數(shù)列． ∴ 114 2 2nnnan ??? ? ? ?，即 12nnan???， ∴ {}na 的通項公式為 12nnan??? *()n?N ． ………… 8分 （ 3）∵ {}na 的通項公式為 12nnan??? *()n?N ， ∴ 2 3 4 1( 2 2 2 2 ) ( 1 2 3 )nnSn?? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 22 (1 2 ) ( 1 ) 821 2 2 2n nn n n n?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? *()n?N ． ………… 12分 15．已知數(shù)列 na 滿足 222 121 naaa nn ??????? ? (Ⅰ )求數(shù)列 ??na 的通項； (Ⅱ )若nn anb ? 求數(shù)列 ??nb 的前 n 項 nS 和。 20．已知等差數(shù)列 ??na 滿足： 3 7a? ， 5726aa?? ， ??na 的前 n項和為 nS ． （Ⅰ）求 na 及 nS ； （Ⅱ）令 bn=211na ?（ *n?N ） ，求數(shù)列 ??nb 的前 n項和 nT 。 Snn， ∴ 數(shù)列 {Snn}是首項為 S11＝ a1＝ 1，公比為 2 的等比數(shù)列， ∴ Snn＝ 2n－ 1， Sn＝ n2n－ 1. (2)由條件得 bn＋ 1n＋ 1＝ bn＋ n2n－ 1n ＝bnn＋ 2n－ cn＝bnn，則 c1＝12，當(dāng) n≥2 時， ＝ c1＋ (c2－ c1)＋ (c3－ c2)＋ … ＋ (－ － 1)＝ 2－ 1＋ 20＋ 21＋ … ＋ 2n－ 2＝ 12(2n－ 1)，當(dāng) n＝ 1時，也滿足上式． ∴ ＝ 12(2n－ 1)(n∈ N*)，從而 bn＝ n＝ n2(2n－ 1)． 21． 已知數(shù)列 {}na 的首項 ta?1 0? ，1 321nn naa a? ? ?， 12n?， ， （ 1）若53?t，求證 1 1na???????是等比數(shù)列并求出 {}na 的通項公式； （ 2）若 nn aa ??1 對一切 *Nn? 都成立，求 t 的取值范圍。 （ 1） 由題意知,0?n， nnn aaa 3 1211???， 3231 ??nn aa， ?????