【正文】 1）解：因?yàn)?211 ???? ?? nnnn aaaa，所以 2122 1 ???? ?? nnnn aaaa ， 即 22121221 ??????? ???????? ?? nn aa， ………………………………………………2 分 令 2,21 12 ????????? ?? ? nnnn bbab，故 ??nb 是以 41 為首項(xiàng)， 2為公差的等差數(shù)列。 （ Ⅱ ）令 }{),)(c o s ( nnnn cNnaSC 求??? ?的前 n項(xiàng)和 .nT 解： (Ⅰ) 設(shè)公差為 d ，公比為 q ，則 22 (3 ) 12a b d q? ? ? 3 2 2 23 3 ( 3 ) 9 3 20S b a b d q d q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 11 , 11 3d q q d? ? ? ? 2( 3 ) (11 ) 33 2 3 12d d d d? ? ? ? ? ?, 23 2 21 0 , ( 3 7 ) ( 3 ) 0d d d d? ? ? ? ? ?， ??na 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列， d0. 則 3, 2dq??, 3 ( 1) 3 3na n n? ? ? ? ?, 12nnb ?? ……………… 6分 (Ⅱ ) 2233 ,22c o s 33322nnnnS n n nc S nS n n n?? ?????? ?? ? ? ? ???是 偶， 是 奇……………… 8分 當(dāng) n是偶數(shù)， 1 2 3 1 2 3 4 12 4 63 ( 2)6 12 18 34n n n nnT c c c c S S S S S Snna a a a n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?……………… 10 分 當(dāng) n是奇數(shù)， 221 3 ( 1 ) ( 1 ) 3 3 3 ( 1 )4 2 2 4n n n nnT T S n n n? ??? ? ? ? ? ? ? ?……………… 12 分 綜上可得23 ( 2 ) ,43 ( 1 ) ,4nnn nTnn???????????是 偶是 奇 5．已知數(shù)列 {}na 的前 n項(xiàng)和為 nS ，若112 , .nn n nnnaS a n b aa??? ? ?且 （ 1）求證： { 1}na? 為等比數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 {}nb 的前 n項(xiàng)和。 第 1 頁 共 21 頁 2022 屆高考數(shù)學(xué)（文）考前 60天沖刺【六大解答題】數(shù)列 1． 數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和記為 nS ， ta?1 ， 1 2 1 ( )nna S n ?? ? ? ? N． （ 1）當(dāng) t 為何值時(shí)，數(shù)列 }{na 是等比數(shù)列 。 （ 2）在（ I）的條件下，若等差數(shù)列 }{nb 的前 n 項(xiàng)和 nT 有最大值，且 153?T ，又 11 ba ? ，22 ba ? ， 33 ba ? 成等比數(shù)列，求 nT ． 解： （ I）由 121 ??? nn Sa ，可得 12 1( 2)nna S n?? ? ?， 兩式相減得 )2(3,2 11 ???? ?? naaaaa nnnnn 即， ∴ 當(dāng) 2?n 時(shí)， }{na 是等比數(shù)列， 要使 1?n 時(shí)， }{na 是等比數(shù)列，則只需 31212 ??? ttaa ，從而 1?t ． （ II）設(shè) }{nb 的公差為 d，由 153?T 得 15321 ??? bbb ，于是 52?b ， 故可設(shè) dbdb ???? 5,5 31 ，又 9,3,1 321 ??? aaa ， 由題意可得 2)35()95)(15( ?????? dd ， 解得 10,2 21 ??? dd ， ∵ 等差數(shù)列 }{nb 的前 n 項(xiàng)和 nT 有最大值， ∴ 10,0 ??? dd ∴ 2520)10(2 )1(15 nnnnnTn ???????． 2．已知數(shù)列 ??na 的首項(xiàng)1 14?a的等比數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和 nS 中3 316?S， （Ⅰ）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)12log | |?nnba，1 2 2 3 11 1 1?? ? ? ????n nnT b b b b b b，求 nT 解：（ Ⅰ ）若 1q? ，則3 334 16S ??不符合題意， ∴ 1q? ， ………… … ………………2 分 第 2 頁 共 21 頁 當(dāng) 1q? 時(shí)，由 1 31314(1 ) 31 16aaqSq? ?????? ??? ??得 11412aq? ????? ???? ∴ 111 1 1( ) ( )4 2 2nnna ??? ? ? ? ? … …………… … ……………… … …… 6 分 （ Ⅱ ） ∵ 11122 1l o g l o g ( ) 12 nnnb a n?? ? ? ? ? … … ………………………………7 分 ∴11 1 1 1( 1 ) ( 2 ) 1 2nnb b n n n n? ? ? ?? ? ? ? … … …………………………………9 分 ∴ nT ＝1 2 2 3 11 1 1nnb b b b b b ?? ? ?＝ 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 3 4 1 2nn? ? ? ? ?????? ? ???1122n??? (19) (本題滿分 14分 ) 設(shè)數(shù)列 {an}中， a1＝ a， an＋ 1＋ 2an＝ 2n＋ 1（ n∈N* ）． （ Ⅰ ）若 a1， a2， a3成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù) a的值； （ Ⅱ ）試問數(shù)列 122nna???????能 否為 等比數(shù)列 .若 是等比數(shù)列 ， 請(qǐng) 寫出 相應(yīng) 數(shù)列 {an}的 通項(xiàng)公 式；若不能 ， 請(qǐng)說明理由解．（ Ⅰ ） 1 2 3, 2 4 , 4a a a a a a? ? ? ? ?， 因?yàn)?2 1 32a a a?? ，所以 2( 2 4) 4a a a? ? ? ?，得 89a? 4分 （ Ⅱ ）方法一：因?yàn)?1*1 2 2 ( )nnna a n N?? ? ? ?，所以 11 122nnaa?? ??， 6分 得： 11 11()2 2 2 2nnaa?? ? ? ? ?，故 若 122nna???????是以 1 112 2 2 2a a? ? ?為首項(xiàng)，－ 1 為公比的等比數(shù)列， 則必須 1a? . 故 1a? 時(shí)，數(shù)列 122nna???????為等比數(shù)列，此時(shí) 1112 [ ( ) ( 1 ) ]2 2 2nnn aa ?? ? ? ? ?，否則當(dāng) 1a?時(shí)，數(shù)列 122nna???????的首項(xiàng)為 0，該數(shù)列不是等比數(shù)列 . 3．已知數(shù)列 {}na 的首項(xiàng) 1 1a? ，且滿足 *1 ( ).41nn naa n Na? ??? （ 1）設(shè) 1n nb a?，求證：數(shù)列 {}nb 是等差數(shù)列，并求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) 2nnncb?? ，求數(shù)列 {}nc 的前 n項(xiàng)和 .nS 解： （Ⅰ）1 41nn naa a? ? ?，1114nnaa? ??，1114nnaa? ??， 1 4nnbb?? ? ? . 數(shù)列 ??nb 是以 1為首項(xiàng)， 4為公差的等差數(shù)列．…………………………………… 3分 第 3 頁 共 21 頁 1 1 4 ( 1)nn bna ? ? ? ?，則數(shù) 列 ??na 的通項(xiàng)公式為 143na n? ?．………………… 6分 （ Ⅱ ） 1 2 32 5 2 9 2 ( 4 3 ) 2 nnSn? ? ? ? ? ? ??? ? ?…………… ① 2 3 4 12 2 5 2 9 2 ( 4 3 ) 2 nn ?? ? ? ? ? ? ??? ? ?……………… ② ② ? ①并化簡得 1( 4 7 ) 2 14nnSn ?? ? ?． 4． 已知 }{na 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項(xiàng) 31?a ，前 n 項(xiàng)和為 nS ，數(shù)列 }{nb 是等比數(shù)列，首項(xiàng) .20,12,1 23221 ???? bSbab 且 （ Ⅰ ）求 }{}{ nn ba 和 的通項(xiàng)公式。 第 4 頁 共 21 頁 (1)解：由 2nnS a n?? 得： 1121nnS a n??? ? ? ∴ 1 1 12 2 1n n n n na S S a a? ? ?? ? ? ? ?，即 1 21nnaa? ?? ∴ 1 1 2( 1)nnaa? ? ? ? 4分 又因?yàn)?1121Sa??，所以 a1 =－ 1， a1－ 1 =－ 2≠ 0， ∴ { 1}na? 是以－ 2為首項(xiàng)， 2為公比的等比數(shù)列． 6分 (2)解：由 (1)知， 11 2 2 2nnna ?? ? ? ? ? ?，即 21nna ?? ? 8分 ∴112 1 1(1 2 ) (1 2 ) 2 1 2 1nn n n n nb ???? ? ?? ? ? ? 10分 故2 2 3 1 11 1 1 1 1 1 1[ ( ) ( ) ( ) ] 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n nT ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6． 在數(shù)列 ??na 中，已知 )(121,1 *111 Nnaaaaaa nnnnn ??????? ??且 （ I）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （ II）令132212 111,)12(??????? nnnnn ccccccSac ?，若 kSn? 恒成立，求 k 的取值范圍。 所以 ? ? 4 781241 ????? nnbn， ………………………………………………4 分 因?yàn)?1?na ，故 2 781 ??? nan。 8．已知數(shù)列 ??na 中， 1 4a? ， 1 2( 1)nna a n? ? ? ?，（ 1）求證：數(shù)列 ? ?2nan? 為等比數(shù)列。 解：因?yàn)?