【正文】 3322111???????????????????????????????nnannannnnnnaaaaaaaaaaaannnnnnnnn ?? 399991100 ?a 13．（本小題滿分 14 分） 設等比數(shù)列 }{na 的公比為 q ，前 n 項和 ),3,2,1(0 ??? nS n 。 12．一個計算器裝置有一個數(shù)據(jù)入口 A 和一輸出運算結果的出口 B，將自然數(shù)列 )1( }{ ?nn 中的各數(shù)依次輸入 A口，從 B口得到輸出的數(shù)列 }{na ，結果表明： ○ 1 從 A口輸入 1?n 時，從 B口得 311?a；○ 2 當 2?n 時，從 A 口輸入 n ，從 B 口得的結果 na 是將前一結果 1?na 先乘以自然數(shù)列 }{n 中的第1?n 個奇數(shù)，再除以自然數(shù)列 }{n 中的第 1?n 個奇數(shù)，試問： （ 1） 從 A 口輸入 2 和 3 時，從 B 口分別得到什么數(shù)？ （ 2） 從 A 口輸入 100 時，從 B 口得到什么數(shù)？說明理由。 解： (1)設公比為 q , 4)2(21 121211 ??????? qaaa，TaT 所以 211 ?? ，qa (2) 211 ( 1 ) 2 2 2 1 2nnnT n n ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 212 ( 1 ) 2 2 2 1 2nnnT n n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ② ① 得：2 1 2 12112 ( 1 ) 2 2 2 1 2 [ 1 ( 1 ) 2 2 2 1 2 ]2 2 2 22 ( 2 )n n n nnnnT n n n nnn? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 8． 數(shù)列 ??na 滿足 044,3,1 1221 ????? ?? nnn aaaaa ① 證明：數(shù)列 ? ?nn aa 21 ?? 是等比數(shù)列； ② 令nnn ab 2?，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nS 。 （ Ⅱ ）由題意， nn ad ? ，即 ? ?? ???? ?? ???? 4 103 31 310 nn nnd n ∴當 31 ??n 時， 2 3172 3107 2nnnnSn ?????? 當 4?n 時， ? ?nS n 31052147 ????????? ?2 48173 2 ??? nn 4 ∴? ?? ???????????????4 2 4817331 2 31722nnnnnnS n 5.（本小題滿分 14 分） 對于數(shù)列 {an}，定義 {△ an }為數(shù)列 {an}的一階差分數(shù)列，其中 *)(1 Nnaaa nnn ???? ? （Ⅰ）若數(shù)列 {an}的通項公式 }{*),(21325 2nn aNnnna ???? 求的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列 {an}的首項是 1，且滿足 nnn aa 2??? ， （ 1）證明數(shù)列 }2{nna為等差數(shù)列； （ 2）求 {an}的前 n 項和 Sn 5．解：（ I）依題意 nnn aaa ??? ?1 45]21325[)]1(213)1(25[ 22 ?????????? nnnnnan （ 3 分） （ II）（ 1）由 nnnnnnnnnn aaaaaaa 22,22 11 ???????? ?? 即得 212211 ??? ?? nnnn aa （ 6 分） 即 212,12122 1111 ?????? aaaa nnnn ? }2{nna?是以 21 為首項， 21 為公差的等差數(shù)列 （ 8 分） （ 2）由（ 1）得 12222)1(21212 ?????????? nnnnn nnanna （ 10 分） 11021 22221 ????????????? nnn naaas ?? ① nn ns 222212 21 ???????? ? ② 5 ①－②得 nnnnn nnS 221 2122221 12 ????????????? ?? 12)1(122 ???????? nnnn nns （ 14 分） ??na的前 n 項和為nS，且 42 ?a， 305 ?S。 (Ⅲ )記 12nnS b b b? ? ?????若 1n mS ?恒成立 ,求 m 的最小值 . 解（Ⅰ） 22() a x a bf x ax b x b??? ? ???； ∵ ()fx的圖象關于點 ( 2,3)? 對稱， ∴ 32ab????? 4 分 （Ⅱ）∵ 1 ()nna f a? ? ，∴1 322nn naa a? ?? ?； 又 11n nb a? ?，∴1 1111, 1nnnnaabb? ?? ? ? ?； ∴11413 112nnb b? ? ? ? ??； 化簡得 141nnbb? ??； 6 分 ∴ 11131 43nnbb? ? ??； 2 ∴數(shù)列 13nb???????是首項1 1133b??，公比為 14 的等比數(shù)列； ∴ 11 1 13 3 4nnb????? ????， 11 1 13 4 3nnb?????????． 9 分 (Ⅲ ) 11(1 )4134 (1 )1 3 9 4 314nn nnnS ?? ? ? ? ??； ∴131 1 1 241(1 )934n nS n S? ? ???； ∴ M 的最小值為 32 ． 14 分 2. 設關 于 x 的一元 二次 方程 2 1 10nna x a x?? ? ?（ *nN? ） 有兩 根 ? 和 ? ， 且滿 足3626 ??? ???? . （ 1）試用 na 表示 1na? ； （ 2）求證：數(shù)列 { 23na?}是等比數(shù)列；（ 3）當1 76a?時，求數(shù)列 { na }的通項公式 . 解 :（ 1） 31211 ??? nn aa（ 2）略（ 3） 3221 ?? nna 3.? ? 且為等比數(shù)列且 nnnnn aaannaTaa ??????? ? 121 2. .. .. .)1(,0,11?T .113?T （ 1）求數(shù)列 1 2 na a an? ? ???????的通項公式 . （ 2）求 ??nT 的通項公式 . 解 :(1)設等比數(shù)列 ??na 的公比為 q ,則 321311 23, aaaTaT ???? 又 ,11?T .113?T 所以 1123,1 21 ???? qqa 所以 24 ??? qq 或者 又 0?na 且 11?a 所以 0?q 所以 2?qq的值只能是： 所以 112 (1 )1 21nnnaqa a a qn n n?? ? ? ???? .(2)設等比數(shù)列 ??na 的公比為 q ,則 321311 23, aaaTaT ???? 3 又 ,11?T .113?T 所以 1123,1 21 ???? qqa 所以 24 ??? qq 或者 又 0?na 且 11?a 所以 0?q 所以 2?qq的值只能是： 設 nn aaaS ???? .. ..21 ,而 ??na 為 等比數(shù)列所以 121 )1(1 ????? nnn qqaS )..(. .. .)(2. .. .. .)1( 21211121 nnnn aaaaaaaaannaT ?????????????? ? = nnSSS nnn ??????????? ? 222.. ..22.. .. . 1221 4. (本小題共 14 分 ) 已知二次函數(shù) ? ? ? ? 1 0 06193102 22 ?????? nnxnxxf ，其中 *Nn? 。 1.（本題滿分 14 分，第 1 小題 4 分，第 2 小題 5 分，第 3 小題 5 分） .已知函數(shù) 2() axfx xb?? ? 的圖象關于點 ( 2,3)? 對稱 . (Ⅰ )求實數(shù) ,ab的值 。 1 數(shù)列 解答題集錦 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分。請在 答題卡指定區(qū)域 ． ． ． ． ． ． ． 內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 (Ⅱ )若數(shù)列 {}na ,{}nb 滿足1 1,2a? 1 ( ),nna f a? ? 1 ( 1)1n nbna???,求數(shù)列 {}nb 的通項公式 。 （Ⅰ）設函數(shù) ? ?xfy? 的圖象的頂點的橫坐標構成數(shù)列 ??na ， 求證：數(shù)列 ??na 為等差 數(shù)列； （Ⅱ）設函數(shù) ? ?xfy? 的圖象的頂點到 y 軸的距離構成數(shù)列 ??nd ， 求數(shù)列 ??nd 的前 n 項和 nS ． 解 : （ Ⅰ ）由二次函數(shù) ? ?xfy? 的對稱軸為 103 ?? nx 得 103 ?? nan ∵ 對 Nn? 且 2?n ，有 31 ?? ?nn aa ∴ ??na 為等差數(shù)列。數(shù)列 ??nb滿足 01?b， 121 ?? ?nn bb，? ?2, ?? nNn ， ①求數(shù)列 ??na的通項公式； ②設 1??nn bC，求證： ??nC是等比數(shù)列，且 ??nb的通項公式； ③設數(shù)列 ??nd滿足14nnnndbaa ???，求 ??nd的前 n 項和為 .nT 解 :（ 1）由 412 ??? daa ， 302 45515 ???? daS 得 2,21 ?? da ， nna n 2)1(22 ????? （ 2） 12 ?? nn bb? ， 1?? nn bc 21 )1(211 1111 ???????? ???? nnnnnn bbbbcc ),2( Nnn ?? ??nc? 是以 2 為公比的等比數(shù)列 又 1111 ??? bc? 11 2211 ?? ?????? nnnn bc 12 1??? ?nnb （ 3） 12)111(12)1(22 44 111 ?????????????? ??? nnnnnn nnnnbaad ??????? ?????? 2111nT +???? ????3121 +… ???????????? 111 nn ＋（１＋２＋ ? ＋ 12?n ）－ｎ ＝ nnn ???????? ????? 21 21111 6 ＝ 112 ??? nnn }{na 為等比數(shù)列， nnn aaannaT ?????? ? 121 2)1( ?,已知 41 21 ?? ，TT ， （ 1）求數(shù)列 }{na 的首項和公比； （ 2）求數(shù)列 }{nT 的通項公式。 解：① 有已知得 nnn aaa 44 12 ?? ?? ∴ )2(22)44(2 11112 nnnnnnn aaaaaaa ?????? ????? 故數(shù)列 ? ?nn aa 21 ?? 是以 12 12 ?? aa 為首項， 2?q 為公比的等比數(shù)列 ② 由①知， 111 2 1 2 2nnnnaa ??? ? ? ? ? 41222 1211 ?????? ???? nnnnnn bbaa 7 ∴ 數(shù)列 ??nb 是以 21211 ?? ab為首項， 41?d 為公差的等差數(shù)列 ∴ ? ? 41411 ????? ndnbb n ∴ ? ? nnbbnS nn 83812 21 ???? 9．（ 14 分）已知： )1,(,}{,14)(12 ?????nnnnn aaPSnaxxf 點項和為的前數(shù)列在曲線 .0,1),()( 1* ???? naaNnxfy 且上 （ 1）求數(shù)列 {an}的通項公式； （ 2）數(shù)列 {bn}的前 n 項和為 Tn，且滿足 3816 22 12 1 ???? ??