【正文】 ……… …………… 16 分 所以滿足條件的數(shù)列 ??kn 的通項(xiàng)公式為 1312kkn? ?? 。 解：⑴因?yàn)?? ?*1 1111211 2 , , 21nnnnnaa f a n N naa????????? ? ? ? ? ?????且， 所以 1 2nnaa???．……………………………………………………………… 2 分 因?yàn)?1 1a? ，所以數(shù)列 ??na 是以 1 為首項(xiàng)，公差為 2 的等差數(shù)列 ． 所以 21nan??。 mn＋ 2 mn＋ 12 n＋ 2＝ 2n＋ 22 2－ 23－ 24－ 25－ … － 2n＋ 1＋ (n＋ 1)2 4＋ 42 3＋ 4 mn＋ 1，即 man，＝ mn＋ 1. ∴ an＝ n＋ 1， (2分 ) ∴ an＋ 1－ an＝ 1， ∴ 數(shù)列 {an}是以 2 為首項(xiàng)， 1 為公差的等差數(shù)列 .(4分 ) (2)由題意 bn＝ anf(an)＝ (n＋ 1)數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和為 nS ,且2,nnS b n N ?? ? ?。 （ I）求 a ， b 的值； （Ⅱ）若對 1[ ,1]4x? 時(shí)， ()f x c? 恒成立，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍。……………… 6分 第 12 頁 共 21 頁 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 2n+1na ? ，所以 bn=211na ?=21 =2n+1) 1?（ 114 n(n+1)?= 1 1 1( )4 n n+1? ， 所以 nT = 1 1 1 1 1 1( 1 + + + )4 2 2 3 n n + 1?? = 11(1 )=4 n+1? n4(n+1)， 即數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和 nT = n4(n+1)。 （ Ⅰ ）求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）若 nnn Sab ,12log ?? 是數(shù)列 {}nnab 的前 n 項(xiàng)和，求 .nS 解： （ 1）設(shè)等比數(shù)列的公比 為 q，有題意可得??? ??? ???423432 42 28aaa aaa 解答： 83?a q= 2 21?q（舍去） nnn aa 22 33 ??? ? ， ∴ 等比數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為： nna 2? 第 11 頁 共 21 頁 （ 2） ∵ 1lo g 12 ??? ? nab nn ∴a nbn=（ n+1） 2n， 用錯(cuò)位相減法得： 12 ??? nn ns 19．設(shè) ? ?na 是公差不 為零的等差數(shù)列， nS 為其前 n 項(xiàng)和，滿足 2 2 2 22 3 4 5 7,7a a a a S? ? ? ?， （ 1）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和 nS ； （ 2）試求所有的正整數(shù) m ，使得 12mmmaaa ??為數(shù)列 ??na 中的項(xiàng)。 …………………………………………6 分 （ 2）因?yàn)?? ? 7812 2 ???? nac nn ， 所以 ? ?? ? ?????? ???????? 18 178 1811878 11 1 nnnncc nn， …… ………………8 分 所以 ?????? ????????????? ? 18 178 11719191181111 13221 nnccccccS nnn ?? 8118 1181 ??????? ??? n， ………………………………10 分 因?yàn)?kSn? 恒成立，故 81?k 。即， ( 2)2( 2)n nn ????，對 *nN?? 恒成立。 解：因?yàn)? 1 2( 1 ) 2( 2 )nna n a n? ? ? ? ? 所以 1 2( 1) 22n nanan? ???? 所以數(shù)列 ? ?2nan? 為等比數(shù)列。 所以 ? ? 4 781241 ????? nnbn， ………………………………………………4 分 因?yàn)?1?na ，故 2 781 ??? nan。 （ 2）在（ I）的條件下，若等差數(shù)列 }{nb 的前 n 項(xiàng)和 nT 有最大值，且 153?T ，又 11 ba ? ，22 ba ? ， 33 ba ? 成等比數(shù)列，求 nT ． 解： （ I）由 121 ??? nn Sa ，可得 12 1( 2)nna S n?? ? ?， 兩式相減得 )2(3,2 11 ???? ?? naaaaa nnnnn 即， ∴ 當(dāng) 2?n 時(shí)， }{na 是等比數(shù)列， 要使 1?n 時(shí)， }{na 是等比數(shù)列，則只需 31212 ??? ttaa ，從而 1?t ． （ II）設(shè) }{nb 的公差為 d，由 153?T 得 15321 ??? bbb ，于是 52?b ， 故可設(shè) dbdb ???? 5,5 31 ，又 9,3,1 321 ??? aaa ， 由題意可得 2)35()95)(15( ?????? dd ， 解得 10,2 21 ??? dd ， ∵ 等差數(shù)列 }{nb 的前 n 項(xiàng)和 nT 有最大值， ∴ 10,0 ??? dd ∴ 2520)10(2 )1(15 nnnnnTn ???????． 2．已知數(shù)列 ??na 的首項(xiàng)1 14?a的等比數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和 nS 中3 316?S， （Ⅰ）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)12log | |?nnba，1 2 2 3 11 1 1?? ? ? ????n nnT b b b b b b，求 nT 解：（ Ⅰ ）若 1q? ，則3 334 16S ??不符合題意， ∴ 1q? ， ………… … ………………2 分 第 2 頁 共 21 頁 當(dāng) 1q? 時(shí)，由 1 31314(1 ) 31 16aaqSq? ?????? ??? ??得 11412aq? ????? ???? ∴ 111 1 1( ) ( )4 2 2nnna ??? ? ? ? ? … …………… … ……………… … …… 6 分 （ Ⅱ ） ∵ 11122 1l o g l o g ( ) 12 nnnb a n?? ? ? ? ? … … ………………………………7 分 ∴11 1 1 1( 1 ) ( 2 ) 1 2nnb b n n n n? ? ? ?? ? ? ? … … …………………………………9 分 ∴ nT ＝1 2 2 3 11 1 1nnb b b b b b ?? ? ?＝ 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 3 4 1 2nn? ? ? ? ?????? ? ???1122n??? (19) (本題滿分 14分 ) 設(shè)數(shù)列 {an}中， a1＝ a， an＋ 1＋ 2an＝ 2n＋ 1（ n∈N* ）． （ Ⅰ ）若 a1， a2， a3成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù) a的值； （ Ⅱ ）試問數(shù)列 122nna???????能 否為 等比數(shù)列 .若 是等比數(shù)列 ， 請 寫出 相應(yīng) 數(shù)列 {an}的 通項(xiàng)公 式；若不能 ， 請說明理由解．（ Ⅰ ） 1 2 3, 2 4 , 4a a a a a a? ? ? ? ?， 因?yàn)?2 1 32a a a?? ，所以 2( 2 4) 4a a a? ? ? ?，得 89a? 4分 （ Ⅱ ）方法一：因?yàn)?1*1 2 2 ( )nnna a n N?? ? ? ?，所以 11 122nnaa?? ??， 6分 得： 11 11()2 2 2 2nnaa?? ? ? ? ?，故 若 122nna???????是以 1 112 2 2 2a a? ? ?為首項(xiàng)，－ 1 為公比的等比數(shù)列， 則必須 1a? . 故 1a? 時(shí)，數(shù)列 122nna???????為等比數(shù)列，此時(shí) 1112 [ ( ) ( 1 ) ]2 2 2nnn aa ?? ? ? ? ?，否則當(dāng) 1a?時(shí)，數(shù)列 122nna???????的首項(xiàng)為 0，該數(shù)列不是等比數(shù)列 . 3．已知數(shù)列 {}na 的首項(xiàng) 1 1a? ，且滿足 *1 ( ).41nn naa n Na? ??? （ 1）設(shè) 1n nb a?，求證：數(shù)列 {}nb 是等差數(shù)列，并求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) 2nnncb?? ，求數(shù)列 {}nc 的前 n項(xiàng)和 .nS 解： （Ⅰ）1 41nn naa a? ? ?，1114nnaa? ??，1114nnaa? ??， 1 4nnbb?? ? ? . 數(shù)列 ??nb 是以 1為首項(xiàng)， 4為公差的等差數(shù)列．…………………………………… 3分 第 3 頁 共 21 頁 1 1 4 ( 1)nn bna ? ? ? ?，則數(shù) 列 ??na 的通項(xiàng)公式為 143na n? ?．………………… 6分 （ Ⅱ ） 1 2 32 5 2 9 2 ( 4 3 ) 2 nnSn? ? ? ? ? ? ??? ? ?…………… ① 2 3 4 12 2 5 2 9 2 ( 4 3 ) 2 nn ?? ? ? ? ? ? ??? ? ?……………… ② ② ? ①并化簡得 1( 4 7 ) 2 14nnSn ?? ? ?． 4． 已知 }{na 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項(xiàng) 31?a ，前 n 項(xiàng)和為 nS ，數(shù)列 }{nb 是等比數(shù)列，首項(xiàng) .20,12,1 23221 ???? bSbab 且 （ Ⅰ ）求 }{}{ nn ba 和 的通項(xiàng)公式。 （ Ⅱ ）令 }{),)(c o s ( nnnn cNnaSC 求??? ?的前 n項(xiàng)和 .nT 解： (Ⅰ) 設(shè)公差為 d ，公比為 q ，則 22 (3 ) 12a b d q? ? ? 3 2 2 23 3 ( 3 ) 9 3 20S b a b d q d q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 11 , 11 3d q q d? ? ? ? 2( 3 ) (11 ) 33 2 3 12d d d d? ? ? ? ? ?, 23 2 21 0 , ( 3 7 ) ( 3 ) 0d d d d? ? ? ? ? ?， ??na 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列， d0. 則