高考圓錐曲線典型例題-wenkub.com
2025-04-14 13:13 本頁面
【正文】 只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來了。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步 3. 花一些時(shí)間，總會看清一些事。所以| AB|＝| BC|＝| CA|.所以菱形 ABCD 的面積 S＝ |AC|2.32又| AC|2＝( x1－ x2)2＋( y1－ y2)2＝ ，所以 S＝ (－3 n2＋16) (－ ＜ n＜ ).－ 3n2＋ 162 34 4 33 4 33所以當(dāng) n＝0 時(shí)，菱形 ABCD 的面積取得最大值 4 .3【點(diǎn)撥】建立“目標(biāo)函數(shù)” ，借助代數(shù)方法求最值，生沒有利用判別式求出 n 的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少.【變式訓(xùn)練 2】已知拋物線 y＝ x2－1 上有一定點(diǎn) B(－1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、 Q，若 BP⊥ PQ，則點(diǎn) Q 橫坐標(biāo)的取值范圍是 .【解析】如圖， B(－1,0)，設(shè) P(xP， x －1)， Q(xQ， x －1)，2P 2Q由 kBP2，使 NA ＝ =2 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，則 cos∠F 1PF2=(A) （B） (C) (D) 【答案】C435452.【2022 高考安徽理 9】過拋物線 的焦點(diǎn) 的直線交拋物線于 兩點(diǎn)，點(diǎn) 是原點(diǎn)，若2yx?F,ABO，則 的面積為（ ）3AF?O? 【答案】C()2()B2()C32()D2【例 3】證明：如圖，設(shè) A(x1,2x )， B(x2,2x )，把 y＝ kx＋2 代入 y＝2 x2，得 2x2－ kx－2＝0， 21 2由韋達(dá)定理得 x1＋ x2＝ ， x1x2＝－1，所以 xN＝ xM＝ ＝ ，所以點(diǎn) N 的坐標(biāo)為( ， ).k2 x1＋ x22 k4 k4 k28設(shè)拋物線在點(diǎn) N 處的切線 l 的方程為 y－ ＝ m(x－ )，將 y＝2 x2代入上式，得 2x2－ mx＋ － ＝0，k28 k4 mk4 k28因?yàn)橹本€ l 與拋物線 C 相切，所以 Δ ＝ m2－8( － )＝ m2－2 mk＋ k2＝( m－ k)2＝0，所以 m＝ k，即 l∥ AB.mk4 k28(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù) k，使 A18 x.【變式訓(xùn)練 1】已知 P 是拋物線 y2＝2 x 上的一點(diǎn)，另一點(diǎn) A(a,0) (a＞0)滿足| PA|＝ d，試求 d 的最小值... . . ..學(xué)習(xí)參考【解析】 dmin＝ .2a－ 1題型二 直線與拋物線位置討論 【例 2】(2022 湖北)已知一條曲線 C 在 y 軸右側(cè)， C 上每一點(diǎn)到點(diǎn) F(1,0)的距離減去它到 y 軸距離的差都是 1.(1)求曲線 C 的方程；(2)是否存在正數(shù) m，對 于過點(diǎn) M(m,0)且與曲線 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A， B 的任一直線，都有 FBA?＜0？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】(1) y2＝4 x(x＞0).(2)3－2 ＜ m＜3＋2 .2 2由此可知，存在正數(shù) m，對于過點(diǎn) M(m,0)且與曲線 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A， B 的任一直線，都有 FA215??e25S【例 3】由題意知| x1|＞ ， A1(－ ，0)， A2( ，0)，則有直線 A1P 的方程為 y＝ (x＋ )，①直線 A2Q 的方程為 y＝ (x－2 2 2y1x1＋ 2 2 － y1x1－ 2).②方法一：聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為 x＝ ， y＝ ，即 x1＝ ， y1＝ ，③則 x≠0，| x|＜ .22x1 2y1x1 2x 2yx 2而點(diǎn) P(x1， y1)在雙曲線 － y2＝1 上，所以 － y ＝1.x22 x212 21.. . . ..學(xué)習(xí)參考將③代入上式，整理得所求軌跡 E 的方程為 ＋ y2＝1， x≠0 且 x≠177。若 ， ， 成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_______________.【答案】1A2FB1 5【例 4】 【解析】(Ⅰ)： ．2+143xy?(Ⅱ)易得直線 OP 的方程： y＝ x，設(shè) A(xA， yA)， B(xB， yB)， R(x0， y0)．其中 y0＝ x0．12∴ ．2 0+13343442AABABBBxkxyyy?????????????設(shè)直線 AB 的方程為 l： y＝﹣ (m≠0)，入橢圓： ．顯然32x?222+13330xmyx?????????＝ ．∴﹣ ＜ m＜ 且 m≠0．由上又有： ＝ m， ＝ ．222(3)4(3)(1)0m???????12ABxABy?23?∴| AB|＝ | |＝ ＝ ．1ABk?xABk?()4BABxx?1Bk?243?∵點(diǎn) P(2，1)到直線 l 的距離表示為： ．312ABABdk???∴ S ABP＝ d|AB|＝ |m＋2| ，當(dāng)| m＋2|＝ ，即 m＝﹣3 或 m＝0(舍去)時(shí)，( S ABP)max＝ ．?12243243??12此時(shí)直線 l 的方程 y＝﹣ ．3x?【變式訓(xùn)練 4】 【解析】 （1）設(shè)2cab?? 由23ceaa???，所以2213bca??.. . . ..學(xué)習(xí)參考設(shè) (,)Pxy是橢圓 C上任意一點(diǎn)，則21xyab??，所以222()3yxab??22222|()3()16Qa???? 當(dāng) 1b?時(shí)，當(dāng) y時(shí)， |P有最大值 6??，可得 3a，所以 ,c? 當(dāng) ?時(shí)，226ab? 不合題意故橢圓 C的方程為：213xy?? （2） AOB?中， ，1sin22AOBSAOB???? 當(dāng)且僅當(dāng) 90??時(shí)， 有最大值 ， ??時(shí)，點(diǎn) 到直線 的距離為 2d? 21dmnn??? 又2 2313,m???，此時(shí)點(diǎn)62(,)M?。.(1)求橢圓離心率的范圍； (2)求證：△ F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).【解析】(1) e 的取值范圍是[ ，1).(2) 21FPS＝ mnsin 60176。＝ b2，12 12 33【點(diǎn)撥】橢圓中△ F1PF2往往稱為焦點(diǎn)
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