【正文】 （ 4,2），直線 PQ的方程為 60xy? ? ? ． ————— 9分 把直線 PQ的方程與軌跡 M的方程聯(lián)立得 2 8 48 0xx? ? ? ，解得 12x?? 或 4，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ( 12,18)? ．所以 1 | || | 4 82PQS O A x x? ? ? 20． 已知橢圓 12222 ?? byax )0( ??ba 經(jīng)過(guò)點(diǎn) )6,23(M ，它的焦距為 2 ，它的左、右頂點(diǎn)分別為 21,AA ， 1P 是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（非頂點(diǎn)），點(diǎn) 2P 是點(diǎn) 1P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線 2211 PAPA 與 相交于點(diǎn) E . （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）求點(diǎn) E 的軌跡方程． 解： （Ⅰ）由題意得： c=1，229614ab?? ① 221ab?? ② 3分 由①、②得 229, 8ab?? 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22198xy?? 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ? ? ? ?123, 0 , 3, 0AA? ，設(shè) ? ? ? ?1 0 0 2 0 0, , , P x y P x y則 所以 ? ? ? ?001 1 2 23 , 333yyP A y x P A y xxx? ? ???方 程 為 : 的 方 程 為 ： 兩式相乘得： ? ?222020 99yyxx? ? ?? 由于點(diǎn) ? ?1 0 0,P x y 在橢圓上，所以 2 2 20 0 020 819 8 9 9x y yx? ? ? ? ??代入上式得 22198xy?? 13 分 C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 y軸上，離心率 e = 22 ，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短本卷第 25 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 距離為 1 22 , 直線 l 與 y 軸交于點(diǎn) P（ 0， m）， 與橢圓 C 交于相異兩點(diǎn) A、 B，且AP ＝ PB? ． （ 1）求橢圓方程； （ 2）若 OA＋ OB ＝ 4OP? ，求 m的取值范圍． （ 1）設(shè) C： y2a2＋x2b2＝ 1（ ab0），設(shè) c0， c2＝ a2－ b2，由條件知 ac＝ 22 ，ca＝22 ， ∴ a＝ 1， b＝ c＝ 22 ，故 C 的方程為： y2＋ x212＝ 1 5′ （ 2）由 AP→ ＝ λ PB→ ， OA＋ OB ＝ 4OP? ∴ λ ＋ 1＝ 4， λ ＝ 3 或 O點(diǎn)與 P點(diǎn)重合 OP→ = 0→ 7′ 當(dāng) O點(diǎn)與 P點(diǎn)重合 OP→ =0→ 時(shí)， m=0 當(dāng) λ ＝ 3時(shí)，直線 l與 y軸相交，則斜率存在。 設(shè) l與橢圓 C交點(diǎn)為 A（ x1， y1）， B（ x2， y2） ????? y＝ kx＋ m2x2＋ y2＝ 1 得（ k2＋ 2） x2＋ 2kmx＋（ m2－ 1）＝ 0 Δ ＝（ 2km） 2－ 4（ k2＋ 2）（ m2－ 1）＝ 4（ k2－ 2m2＋ 2） 0 （ *） x1＋ x2＝ － 2kmk2＋ 2， x1x2＝ m2－ 1k2＋ 2 11′ ∵ AP ＝ 3PB→ ∴ － x1＝ 3x2 ∴????? x1＋ x2＝－ 2x2x1x2＝－ 3x22 消去 x2，得 3（ x1＋ x2） 2＋ 4x1x2＝ 0， ∴ 3（ － 2kmk2＋ 2） 2＋ 4m2－ 1k2＋ 2＝ 0 整理得 4k2m2＋ 2m2－ k2－ 2＝ 0 13′ m2＝ 14時(shí)，上式不成立； m2≠ 14時(shí)， k2＝ 2－ 2m24m2－ 1， 因 λ ＝ 3 ∴ k≠0 ∴ k2＝ 2－ 2m24m2－ 10， ∴ － 1m－12 或 12m1 容易驗(yàn)證 k22m2－ 2成立，所以 （ *） 成立 即所求 m的取值范圍為（－ 1，－ 12） ∪ （ 12， 1） ∪｛ 0｝ 22．設(shè)拋物線 M方程為 )0(22 ?? ppxy ，其焦點(diǎn)為 F， P（ ),ba （ )0?a 為直線 xy? 與拋物線 M的 本卷第 26 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 一個(gè)交點(diǎn)， 5|| ?PF （ 1）求拋物線的方程； （ 2）過(guò)焦點(diǎn) F的直線 l 與拋物線交于 A,B兩點(diǎn)，試問(wèn)在拋物線 M的準(zhǔn)線上是否存在一點(diǎn) Q，使得 ? QAB 為等邊三角 形，若存在求出 Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由． 解 ： （ 1 ）??? ????? ?????? ?? 002222 xxpy pxpxy xy 或 （舍去） )2,2( ppP? 5|| ?PF? 522 ??? pp 2??p xy 42 ?? 拋物線的方程為 5分 （ 2）若直線 l 的斜率不存在，則 Q只可能為 )0,1(? ，此時(shí) QAB? 不是等邊三角形，舍去， 7分 若直線 l 的斜率存在，設(shè)直線 l 的方程為 )1( ?? xky （ 0?k ），設(shè)直線 l 與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 A（ 11,yx ）、 B（ 22,yx ） 0)42(4 )1( 22222 ???????? ? ?? kxkxkxy xky，221 42 kxx ??? 設(shè)存在 ),1( mQ? ， )2,21(2 kkMAB ?的中點(diǎn)為，設(shè) Q到直線 l 的距離為 d 有題意可知： y A x B Q O F 本卷第 27 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） ???????????????????②①????|44|231|2|||231222222kkmkABdkkmk10分 由①可得： kkm /423 ??③ ③代入②得：422223 )1(1643)1()422( kkkkkk ???????， 化簡(jiǎn)得：432642 )1(12)1(4 kkkk ??? 212 ??k 14 分， 28???m )28,1( ???Q 為所求點(diǎn) 15 分 )0,3(?R ，點(diǎn) P 在 y 軸上，點(diǎn) Q 在 x 軸的正半軸上，點(diǎn) M 在直線 PQ 上，且滿足 2 3 0 , 0P M M Q R P P M? ? ? ?. （ Ⅰ ）當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程； （ Ⅱ ）設(shè) ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 為軌跡 C 上兩點(diǎn)，且 1x 1, 1y 0, )0,1(N ，求實(shí)數(shù) ? ，使ANAB ?? ，且 316?AB . 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn) ),( yxM ，由 032 ?? MQPM 得 )0,3(),2,0( xQyP ? . ………… 2分 由 0??PMRP ,得 0)23,()2,3( ??? yxy ，即 xy 42 ? . …………… 4分 又點(diǎn) Q 在 x 軸的正半軸上，∴ 0?x .故點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程是 xy 42 ? )0( ?x . ………………………………………………………… 6分 （Ⅱ ）由題意可知 N 為拋物線 C ： xy 42 ? 的焦點(diǎn)，且 A 、 B 為過(guò)焦點(diǎn) N 的直線與拋物 線 C 的兩個(gè)交點(diǎn) ,所以直線 AB 的斜率不為 0 . ……………………………… …… 7分 當(dāng)直線 AB 斜率不存在時(shí)，得 3164),2,1(),2,1( ??? ABBA ，不合題意； … … 8分 當(dāng)直線 AB 斜率存在且不為 0 時(shí)，設(shè) )1(: ?? xkyl AB ，代入 xy 42 ? 得 0)2(2 2222 ???? kxkxk ， 本卷第 28 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 則 316442)2(2222221 ????????? kkkxxAB，解得 32?k . ………… 9分 代入原方程得 03103 2 ??? xx ，由于 11?x ，所以 31,321 ?? xx，由 ANAB ?? , 得341 112 ???? xxx?，∴ 34?? . ………………… ………………………………… 12分 ，在 ABC? 中， 7| | | | , | | 22A B A C B C? ? ?，以 B 、 C 為焦點(diǎn)的橢圓恰好過(guò) AC 的中點(diǎn) P . （ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn) 1A 作直線 l 與圓 22: ( 1) 2E x y??? 相交于 M 、 N 兩點(diǎn)，試探究點(diǎn) M 、 N 能將圓 E 分割成弧長(zhǎng)比值為 1:3 的兩段弧嗎？若能，求出直線 l 的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 解（ 1） ∵ 7| | | | , | | 22A B A C B C? ? ?∴ | | | | 1,BO OC?? 22 4 9 3 5| | | | | | 142O A A C O C? ? ? ? ? ∴ 35( 1, 0 ) , (1, 0 ) , ( 0 , )2B C A?∴ 1 3 5( , )24P 依橢圓的定義有： 2 2 2 21 3 5 1 3 52 | | | | ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 )2 4 2 4a P B P C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?97444? ? ? ∴ 2a? ， 又 1c? ， ∴ 2 2 2 3b a c? ? ? ∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22143xy??…………………………………………… 7分 y P A B C O x 本卷第 29 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） B C （求出點(diǎn) p的坐標(biāo)后，直接設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將 P點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出橢圓方程， 也可以給滿分 .） 橢圓的右頂點(diǎn) 1(2,0)A ，圓 E 圓心為 (1,0)E ，半徑 2r? . 假設(shè)點(diǎn) M 、 N 能將圓 E 分 割成弧長(zhǎng)比值為 1:3 的兩段弧， 則 90MEN ???，圓心 (1,0)E 到直線 l 的距離 2 12dr?? 當(dāng)直線 l 斜率不存在時(shí)， l 的方程為 2x? ， 此時(shí)圓心 (1,0)E 到直線 l 的距離 1d? （符合） 當(dāng)直線 l 斜率存在時(shí)，設(shè) l 的方程為 ( 2)y k x??，即 20kx y k? ? ? ， ∴ 圓心 (1,0)E 到直線 l 的距離2|| 11kd k??? ，無(wú)解 綜上：點(diǎn) M、 N能將圓 E 分割成弧長(zhǎng)比值為 1:3 的兩段弧，此時(shí) l 方程為 2x? ， F 是拋物線 )0(22 ?? ppxy 的焦點(diǎn)，點(diǎn) )2,4(A 為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn) P 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)， PA PF? 的最小值為 8. （ 1）求拋物線方程； （ 2）若 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在定點(diǎn) M ，使過(guò)點(diǎn) M 的動(dòng)直線與拋物線交于 CB, 兩點(diǎn)，且以 BC 為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) , 若存在 ，求出定點(diǎn)M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為 l ，過(guò) P 作 lPB? 于 B ，過(guò) A 作 lAC? 于 C ， （ 1）由拋物線定義知 PBPF? ACPBPAPFPA ????? (折線段大于垂線段 )，當(dāng)且僅當(dāng) CPA , 三 點(diǎn) 共 線 取 等 號(hào) . 由 題 意 知 8?AC , 即8824 ???? pp ? 拋物線的方程為： xy 162 ? 5分 （ 2）假設(shè)存在點(diǎn) M ，設(shè)過(guò)點(diǎn) M 的直線方程為 bkxy ?? ， 顯然 0?k ， 0?b ，設(shè) ),( 11 yxB ， ),( 22 yxC ，由以 BC 為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo) 原點(diǎn)有 0??OCOB ? 02121 ?? yyxx ① 6分 把 bkxy ?? 代人 xy 162 ? 得 0)8(2 222 ???? bxbkxk x A(4,2) O y P F x A(4,2) O y P F 本卷第 30 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 由韋達(dá)定理 ????????????2221221)8(2kbxxkbkxx ② 7分 又