【導(dǎo)讀】種類(lèi)型，其中第一種類(lèi)型的變式比較多。而方程思想，函數(shù)思想在這里也用得多，兩種思。想可以提供簡(jiǎn)單的思路，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是只需考慮未知數(shù)個(gè)數(shù)和條件個(gè)數(shù),。需注意成立的條件。，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)(1,0)過(guò)P作直線(xiàn)。l的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)Q，且QPQFFPFQ?（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交軌跡C于AB，兩點(diǎn)，交直線(xiàn)l于點(diǎn)M，已知1MAAF??，，，，，化簡(jiǎn)得2:4Cyx?．所以點(diǎn)P的軌跡C是拋物線(xiàn)，由題意，軌跡C的方程為：24yx?（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且(,)OMOAOBR???????,求a的取值范圍.綜合解題能力.滿(mǎn)分12分.因?yàn)椤鱉NF為正三角形，所以32OFMN?R時(shí)，a2b2m2最小值為0，所以a2-a2b2+b2<0.a2<a2b2-b2,a2<b2=b4,因?yàn)閍>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,解得a>152?

　　

【正文】 ? ? ? ? ? 1 ()2pa y a p a??? ? ? ?????， 2 2(2 )P Q P H?∴14 ( )2pa y a p a????? ? ? ?????????． 令 02pa??，得 2pa ? ，此時(shí) PQ p? 為定值，故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn) l 存在，其方程為 2py? ， 即拋物線(xiàn)的通徑所在的直線(xiàn)． 解法 2：（ Ⅰ ）前同解法 1，再由弦長(zhǎng)公式得 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 ( ) 4 1 4 8A B k x x k x x x x k p k p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 222 1 2p k k? ? ? ， N O A C B y x N O A C B y x O? l 又由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得221 pd k? ? ． 從而 2 2 2 221 1 22 1 2 2 222 1ABN pS d A B p k k p kk? ? ? ? ? ??△ ， ∴ 當(dāng) 0k? 時(shí)， 2m in( ) 2 2ABNSp?△ ． （ Ⅱ ）假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn) l 存在，其方程為 ya? ，則以 AC 為直徑的圓的方程為11( 0 ) ( ) ( ) ( ) 0x x x y p y y? ? ? ? ? ?， 將直線(xiàn)方程 ya? 代入得 2 11( ) ( ) 0x x x a p a y? ? ? ? ?， 則 21 1 14 ( ) ( ) 4 ( )2px a p a y a y a p a????? ? ? ? ? ? ? ?????????△． 設(shè)直線(xiàn) l 與以 AC 為直徑的圓的交點(diǎn)為 3 3 4 4( ) ( )P x y Q x y， ， ， 則有3 4 1 14 ( ) 2 ( )22ppP Q x x a y a p a a y a p a??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???． 令 02pa??，得 2pa ? ，此時(shí) PQ p? 為定值，故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn) l 存在，其方程為 2py? ， 即拋物線(xiàn)的通徑所在的直線(xiàn)． （ 2020 江蘇卷） 1（本小題滿(mǎn)分 16 分） 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，如圖，已知橢圓 159 22 ?? yx 的左、右頂點(diǎn)為 A、 B，右焦點(diǎn) 為F。設(shè)過(guò)點(diǎn) T（ mt, ）的直線(xiàn) TA、 TB 與橢圓分別交于點(diǎn) M ),( 11 yx 、 ),( 22 yxN ，其中m0, 0,0 21 ?? yy 。 （ 1）設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 滿(mǎn)足 422 ?? PBPF ,求點(diǎn) P 的軌跡； （ 2）設(shè) 31,221 ?? xx，求點(diǎn) T 的坐標(biāo)； （ 3）設(shè) 9?t ,求證：直線(xiàn) MN 必過(guò) x 軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與 m 無(wú)關(guān)）。 [解析 ] 本小 題主要考查 求簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的方程，考查方直線(xiàn)與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾檫\(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力。滿(mǎn)分 16 分。 （ 1）設(shè)點(diǎn) P（ x， y），則： F（ 2， 0）、 B（ 3， 0）、 A（ 3， 0）。 由 422 ?? PBPF ，得 2 2 2 2( 2 ) [ ( 3 ) ] 4 ,x y x y? ? ? ? ? ? 化簡(jiǎn)得 92x?。 故所求點(diǎn) P 的軌跡為直線(xiàn) 92x?。 （ 2）將31,2 21 ?? xx分別代入橢圓方程，以及 0,0 21 ?? yy 得： M（ 2， 53） 、 N（ 13， 209?） 直線(xiàn) MTA 方程為： 035 2303yx??? ??，即 1 13yx??， 直線(xiàn) NTB 方程為： 0320 10393yx???? ? ?，即 5562yx??。 聯(lián)立方程組，解得： 7103xy???? ???， 所以點(diǎn) T 的坐標(biāo)為 10(7, )3 。 （ 3）點(diǎn) T 的坐標(biāo)為 (9, )m 直線(xiàn) MTA 方程為： 030 9 3yxm??? ，即 ( 3)12myx??， 直線(xiàn) NTB 方程為： 030 9 3yxm??? ，即 ( 3)6myx??。 分別與橢圓 159 22 ?? yx 聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到 123, 3xx?? ? ， 解得： 2223 (8 0 ) 4 0( , )8 0 8 0mmM ???、 2223 ( 2 0 ) 2 0( , )2 0 2 0mmN mm? ???。 （方法一）當(dāng) 12xx? 時(shí)，直線(xiàn) MN 方程為：22222222 0 3 ( 2 0 )2 0 2 04 0 2 03 ( 8 0 ) 3 ( 2 0 )8 0 2 0 8 0 2 0mmyxmm mm????????? ??? ?? 令 0y? ，解得： 1x? 。此時(shí)必過(guò)點(diǎn) D（ 1， 0）； 當(dāng) 12xx? 時(shí)，直線(xiàn) MN 方程為： 1x? ，與 x 軸交點(diǎn)為 D（ 1， 0）。 所以直線(xiàn) MN 必過(guò) x 軸上的一定點(diǎn) D（ 1， 0）。 （方法二）若 12xx? ，則由 222 4 0 3 3 6 08 0 2 0mm?????及 0m? ，得 2 10m? ， 此時(shí)直線(xiàn) MN 的方程為 1x? ，過(guò) 點(diǎn) D（ 1， 0）。 若 12xx? ，則 2 10m? ，直線(xiàn) MD 的斜率 22 22401080240 3 40180MDmmmkm mm???? ???， 直線(xiàn) ND 的斜率 22 222010203 60 40120NDmmmkm mm????? ???，得 MD NDkk? ，所以直線(xiàn) MN 過(guò) D 點(diǎn)。 因此，直線(xiàn) MN 必過(guò) x 軸上的點(diǎn)（ 1， 0）。 （ 2020 江蘇 卷）（本 小題滿(mǎn) 分 16 分 ） 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知圓221 : ( 3 ) ( 1) 4C x y? ? ? ?和圓 222 : ( 4 ) ( 5 ) 4C x y? ? ? ?. （ 1）若直線(xiàn) l 過(guò)點(diǎn) (4,0)A ，且被圓 1C 截得的弦長(zhǎng)為 23，求直線(xiàn) l 的方程； （ 2）設(shè) P 為平面上的點(diǎn)，滿(mǎn)足：存在過(guò)點(diǎn) P 的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線(xiàn) 1l 和 2l ，它們分別與圓 1C 和圓 2C 相交，且直線(xiàn) 1l 被圓 1C截得的弦長(zhǎng)與直線(xiàn) 2l 被圓 2C 截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)。 【 解析 】 本小題主要考查直線(xiàn)與圓的方程、點(diǎn) 到直線(xiàn)的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問(wèn)題的能力。滿(mǎn)分 16 分。 (1)設(shè)直線(xiàn) l 的方程為： ( 4)y k x??，即 40kx y k? ? ? 由垂徑定理，得：圓心 1C 到直線(xiàn) l 的距離 22234 ( ) 12d ? ? ?， 結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，得：2| 3 1 4 | 1,1kkk? ? ? ?? 化簡(jiǎn)得： 2 72 4 7 0 , 0 , , 24k k k o r k? ? ? ? ? 求直線(xiàn) l 的方程為： 0y? 或 7 ( 4)24yx?? ?，即 0y? 或 7 24 28 0xy? ? ? (2) 設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ( , )mn ，直線(xiàn) 1l 、 2l 的方程分別為： 21世紀(jì)教育網(wǎng) 1( ) , ( )y n k x m y n x mk? ? ? ? ? ? ?，即： 110 , 0k x y n k m x y n mkk? ? ? ? ? ? ? ? ? 因?yàn)橹本€(xiàn) 1l 被圓 1C 截得的弦長(zhǎng)與直線(xiàn) 2l 被圓 2C 截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：：圓心 1C 到直線(xiàn) 1l 與 2C 直線(xiàn) 2l 的距離相等。 y O x 1l F2 F1 A2 A1 P M l 故有：2241| 5 || 3 1 |11 1nmk n k m kkkk? ? ? ?? ? ? ????， 化簡(jiǎn)得： (2 ) 3 , ( 8 ) 5m n k m n m n k m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或 關(guān)于 k 的方程有無(wú)窮多解，有： 20 ,30mnmn? ? ?????? ? ???mn+8=0或 m+n5=0 21世紀(jì)教育網(wǎng) 解之得：點(diǎn) P 坐標(biāo)為 313( , )22? 或 51( , )22? 。 題型 5：函數(shù)思想，方程思想為主要思路解題。簡(jiǎn)單的說(shuō)就是看題目中未知數(shù)個(gè)數(shù)與條件個(gè)數(shù)。 此題可作為函數(shù)思想的例題，點(diǎn) p 含（橫坐標(biāo)已知）未知數(shù)一個(gè)，角可以表示成未 知數(shù)的函數(shù)，利用函數(shù)求最值。 (05 浙江 ) 17．如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn) F1， F2在 x 軸上，長(zhǎng)軸 A1A2 的長(zhǎng)為 4，左準(zhǔn)線(xiàn) l 與 x 軸的交點(diǎn)為 M， |MA1|∶ |A1F1|＝ 2∶ 1． (Ⅰ )求橢圓的方程； (Ⅱ )若直線(xiàn) l1： x＝ m(|m|＞ 1)， P 為 l1 上的動(dòng)點(diǎn)，使∠ F1PF2 最大的點(diǎn) P 記為 Q，求點(diǎn) Q的坐標(biāo) (用 m 表示 )． 解：（Ｉ）設(shè)橢圓方程為 221yxab??（ 0ab?? ），半焦距為 c, 則 21||aMA ac??, 11||AF a c??, 由題意，得 22 2 22 ( )24a a a ccaa b c? ? ? ??????? ?????, 解得 2, 3 , 1a b c? ? ? 故橢圓方程為 22143yx ?? （ II）設(shè) P( 0, ),| | 1m y m ? 當(dāng) 0 0y? 時(shí)， 120FPF?? 當(dāng) 0 0y? 時(shí) , 1 2 10 2F P F P F M ?? ? ? ? ? ?只需求 12tan FPF? 的最大值即可。 直線(xiàn) 1PF 的斜率 01 1yK m? ?，直線(xiàn) 2PF 的斜率 02 ,1yK m? ? 02112 221 2 02 | |ta n | |11 yKKF P F K K m y?? ? ? ?? ? ?02202 | | 12 1 | | 1ym y m???? y Q P N M F O x 當(dāng)且僅當(dāng) 2 1m? = 0||y 時(shí)， 12FPF? 最大， 函數(shù)思想（未知數(shù)一個(gè) k，而面積是 k 的函數(shù)），弦長(zhǎng)公式（也是第一種類(lèi)型的應(yīng)用） 2.(全國(guó)卷 II)P 、 Q 、 M 、 N 四點(diǎn)都在橢圓 22 12yx ??上， F 為橢圓在 y 軸正半軸上的焦點(diǎn)．已知 PF 與 FQ 共線(xiàn)， MF 與 FN 共線(xiàn)，且 0PF MF??．求四邊形 PMQN 的面積的最小值和最大值． 解：如圖，由條件知 MN 和 PQ 是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn) F(0,1)，且 PQ⊥ MN，直線(xiàn) PQ、 NM 中至少有一條存在斜率，不妨設(shè) PQ 的斜率為 K，又 PQ 過(guò)點(diǎn) F(0,1)，故 PQ 的方程為 y =kx +1 將此式代入橢圓方程得 (2+ 2k ) 2x +2kx － 1=0 設(shè) P、 Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ( 1x ， 1y )， ( 2x ， 2y )，則 22122 2 2 2,22k k k kxxkk? ? ? ? ? ????? 從而 222 2 21 2 1 2 228 (1 )| | ( ) ( ) ( 2 )kP Q x x y y k?? ? ? ? ? ? 亦即 222 2 (1 )|| 2 kPQ k?? ? (1) 當(dāng) k ≠ 0 時(shí)， MN 的斜率為－ 1k ，同上可推得2212 2 ( 1 ( 1 ) )|| 12 ( )kMNk????? 故四邊形面積2222114 ( 1 ) ( 1 ) 4 ( 2 )1 | || |122 ( 2 ) ( 2 ) 5 2kkkkS P Q M N? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 令 u = 221k k?得 4( 2 ) 12( 1 )5 2 5 2uS uu?? ? ??? ∵ u = 221k k?≥ 2 當(dāng) k =177。1 時(shí) u =2， S=169 且 S 是以 u 為自變量的增函數(shù) ∴ 16 29 S?? ②當(dāng) k =0 時(shí)， MN 為橢圓長(zhǎng)軸， |MN|=2 2 ， |PQ|= 2 。 ∴ S=12 |PQ||MN|=2 綜合①②知四邊形 PMQN 的最大值為 2，最小值為 169 。 設(shè)直線(xiàn) AB 的方程未知數(shù)一個(gè)，利用 N（ 1， 3）是線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)，可消掉次未知數(shù)。 （湖北卷） 設(shè) A、 B 是橢圓 ??? 223 yx 上的兩點(diǎn)，點(diǎn) N（ 1， 3）是線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)，線(xiàn)段 AB 的垂直平分線(xiàn)與橢圓相交于 C、 D 兩點(diǎn) . （Ⅰ）確定 ? 的取值范圍，并求直線(xiàn) AB 的方程； （Ⅱ）試判斷 是否存在這樣的 ? ，使得 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由 .