【導(dǎo)讀】轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練；2．通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想；3．了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用。圓錐曲線在新課標中化歸到選學(xué)內(nèi)容，要求有所降低，估計20xx年高考對本講的考察，仍將以以下三類題型為主。以考察學(xué)生理解解析幾何問題的基本思想方法和能力；造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系。1．出現(xiàn)1道復(fù)合其它知識的圓錐曲線綜合題；2．可能出現(xiàn)1道考查求軌跡的選擇題或填空題，也可能出現(xiàn)在解答題中間的小問。任意一點M的坐標。題意，使寫出的條件簡明正確。要注意同解變形。要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，程變量的取值范圍)。即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進行求解。及行星、人造衛(wèi)星、彗星運行軌道的計算等。切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。

　　

【正文】 7 ) ] 4( 25 7 ) [ ( 5 7 ) 16 5 ] 0k k k k? ? ? ? ? ? ? ?， 化簡得： k 無解，所以不滿足條件； 所以滿足條件的直線有兩條 7x? 和 57 107yx? ? ?。 （ 2）把 1??kxy 代入 13 22 ??yx 整理得： 022)3( 22 ???? axxa ?? （ 1） 當 3??a 時， 2424 a??? 。 由 ? 0 得 66 ??? a 且 3??a 時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點。 若 A、 B 在雙曲線的同一支，須32221 ?? axx0 ，所以 3??a 或 3?a 。 故當 36 ???? a 或 63a? 時， A、 B 兩點在同一支上；當 33 a?? 時， A、 B兩點在雙曲線的兩支上。 點評：與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。 例 5． （ 1）求直線 1yx??被雙曲線 22 14yx ??截得的弦長； （ 2）求過定點 (0,1) 的直線被雙曲線 22 14yx ??截得的弦中點軌跡方程。 解析：由22 141yxyx? ????? ??? 得 224 ( 1) 4 0xx? ? ? ?得 23 2 5 0xx? ? ? （ *） 設(shè)方程（ *）的解為 12,xx，則有 1 2 1 225,33x x x x? ? ? ? 得， 21 2 1 2 1 2 4 2 0 82 | | 2 ( ) 4 2 29 3 3d x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 第 30 頁 共 35 頁 （ 2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設(shè)直線的方程為1y kx??，它被雙曲線截得的弦為 AB 對應(yīng)的中點為 ( , )Pxy ， 由22114y kxyx????? ???? 得 22( 4 ) 2 5 0k x k x? ? ? ?（ *） 設(shè)方程（ *）的解為 12,xx，則 224 2 0 ( 4 ) 0kk? ? ? ? ?， ∴ 216 80 ,| | 5kk??， 且 1 2 1 22225,44kx x x xkk? ? ? ???， ∴ 1 2 1 2 1 2221 1 1 4( ) , ( ) ( ) 12 4 2 2 4kx x x y y y x xkk? ? ? ? ? ? ? ? ???， 22444kxky k? ??? ??? ???? 得 224 0 ( 4x y y y? ? ? ? ?或 0)y? 。 方法二：設(shè)弦的兩 個端點坐標為 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，弦中點為 ( , )Pxy ，則 22112244xyxy? ???????? 得： 1 2 1 2 1 2 1 24 ( ) ( ) ( ) ( )x x x x y y y y? ? ? ? ?， ∴ 1 2 1 21 2 1 24( )y y x xx x y y???， 即4 1yxxy? ?， 即 2240x y y? ? ?（圖象的一部分） 點評：（ 1）弦長公式 21 2 1 221| | 1 | | 1 | |A B k x x y yk? ? ? ? ? ?；（ 2）有關(guān)中點弦問題的兩種處理方法。 例 7．過雙曲線的一焦點的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，求該雙曲線離心率的范圍。 解析：設(shè)雙曲線的方程為 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?， ( ,0)Fc ，漸近線 byxa?，則過 F 的直線方程為 ()ay x cb?? ?，則 2 2 2 2 2 2 0()b x a y a bay x cb? ? ? ??? ? ? ???， 代入得 4 4 2 4 4 2 2 4( ) 2 0b a x a c x a c a b? ? ? ? ?， 第 31 頁 共 35 頁 ∴120 0xx???? ??即得 44ba? ， ∴ ba? ，即得到 2e? 。 點評：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對應(yīng)關(guān)系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。 題型 3：直線與拋物線的位置關(guān)系 例 8． 已知拋物線方程為 )0)(1(22 ??? pxpy ，直線 myxl ??: 過拋物線的焦點 F 且被拋物線截得的弦長為 3，求 p 的值。 解析： 設(shè) l 與拋物線交于 1 1 2 2( , ) , ( , ) , | | x y B x y A B ?則 由距離公式 |AB|= 221221 )()( yyxx ??? = 21 2 1 2 1 22191 | | 2 | |, ( ) .2y y y y y yk? ? ? ? ? ?則有 由 .02,).1(2,21 222?????????????? ppyyxxpypyx 得消去 .,)2( 2212122 pyypyypp ?????????? 從而 .294)2(,4)()( 2221221221 ??????? ppyyyyyy 即由于 p0，解得 .43?p 點評： 方程組有兩組不同實數(shù)解或一組實數(shù)解則相交；有兩組相同實數(shù)解則相切；無實數(shù)解則相離。 例 9． 20xx 上海春， 4）直線 y=x－ 1 被拋物線 y2=4x 截得線段的中點坐標是 _____. 答案：（ 3， 2） 解法一：設(shè)直線 y=x－ 1 與拋物線 y2=4x 交于 A(x1， y1),B（ x2， y2） ,其中點為 P（ x0，y0）。 由題意得??? ??? xy xy 4 12，（ x－ 1） 2=4x， x2－ 6x+1=0。 ∴ x0= 2 21 xx? ==x0－ 1=2.∴ P（ 3， 2）。 解法二： y22=4x2， y12=4x1， y22－ y12=4x2－ 4x1， 121212 ))(( xx yyyy ? ?? =4.∴ y1+y2=4，即 y0=2， x0=y0+1=3。 故中點為 P（ 3， 2）。 點評：本題考查曲線的交點與方程的根的關(guān)系 .同時應(yīng)注意解法一中的縱坐標與解法二中的橫坐標的求法。 例 10．（ 1997 上海）拋物線方程為 y2=p（ x+1）（ p＞ 0），直線 x+y=m 與 x 軸的交點在第 32 頁 共 35 頁 拋物線的準線的右邊 . （ 1）求證：直線與拋物線總有兩 個交點； （ 2）設(shè)直線與拋物線的交點為 Q、 R， OQ⊥ OR，求 p 關(guān)于 m 的函數(shù) f（ m）的表達式； （ 3）（文）在（ 2）的條件下，若拋物線焦點 F 到直線 x+y=m 的距離為 22 ，求此直線的方程； （理）在（ 2）的條件下，若 m 變化，使得原點 O 到直線 QR 的距離不大于 22 ，求 p 的值的范圍 . 解：（ 1）拋物線 y2=p（ x+1）的準線方程是 x=－ 1－ 4p ，直線 x+y=m 與 x 軸的交點為（ m， 0），由題設(shè)交 點在準線右邊，得 m＞－ 1－ 4p ，即 4m+p+4＞ 0. 由??? ?? ?? myx xpy )1(2 得 x2－（ 2m+p） x+（ m2－ p） =0. 而判別式 Δ =（ 2m+p） 2－ 4（ m2－ p） =p（ 4m+p+4） . 又 p＞ 0 及 4m+p+4＞ 0，可知 Δ ＞ 0. 因此，直線與拋物線總有兩個交點； （ 2）設(shè) Q、 R 兩點的坐標分別為（ x1， y1）、（ x2， y2），由（ 1）知， x x2 是方程 x2－（ 2m+p） x+m2－ p=0 的兩根， ∴ x1+x2=2m+p， x1 x2=m2－ p. 由 OQ⊥ OR，得 kOQ kOR=－ 1， 即有 x1x2+y1y2=0. 又 Q、 R 為直線 x+y=m 上的點， 因而 y1=－ x1+m， y2=－ x2+m. 于是 x1x2+y1y2=2x1x2－ m（ x1+x2） +m2=2（ m2－ p）－ m（ 2m+p） +m2=0， ∴ p=f（ m） = 22?mm ， 由??? ???? 044 0 pmp 得 m＞－ 2， m≠ 0； 第 33 頁 共 35 頁 （ 3）（文）由于拋物線 y2=p（ x+1）的焦點 F 坐標為（－ 1+4p ， 0），于是有 222|041| ????? mp ，即 |p－ 4m－ 4|=4. 又 p= 22?mm ∴ | 2 8123 2 ? ??m mm |=4. 解得 m1=0， m2=－ 38 ， m3=－ 4， m4=－ 34 . 但 m≠ 0 且 m＞－ 2，因而舍去 m m m3，故所求直線方程為 3x+3y+4=0. （理）解法一：由于原點 O 到直線 x+y=m 的距離不大于 22 ， 于是 222 |00| ??? m，∴ |m|≤ 1. 由（ 2），知 m＞－ 2 且 m≠ 0， 故 m∈［－ 1， 0）∪（ 0， 1］ . 由（ 2），知 f（ m） = 22?mm =（ m+2） + 24?m － 4， 當 m∈［－ 1， 0）時，任取 m m2， 0＞ m1＞ m2≥－ 1，則 f（ m1）－ f（ m2） =（ m1－ m2） +（2424 21 ??? mm） =（ m1－ m2）［ 1－)2)(2( 4 21 ?? mm］ . 由 0＞ m1＞ m2≥－ 1，知 0＜（ m1+2）（ m2+2）＜ 4， 1－)2)(2( 4 21 ?? mm＜ 0. 又由 m1－ m2＞ 0 知 f（ m1）＜ f（ m2）因而 f（ m）為減函數(shù) . 可見，當 m∈［－ 1， 0）時， p∈（ 0， 1］ . 第 34 頁 共 35 頁 同樣可證，當 m∈（ 0， 1］時， f（ m）為增函數(shù)，從而 p∈（ 0， 31 ］ . 解法二：由解法一知， m∈［－ 1， 0）∪（ 0， 1］ .由（ 2）知 p=f（ m） =2221 12mmmm???. 設(shè) t= m1 ， g（ t） =t+2t2，則 t∈（－∞，－ 1］∪［ 1， +∞），又 g（ t） =2t2+t=2（ t+41 ） 2－ 81 . ∴當 t∈（－∞，－ 1］時， g（ t）為減函數(shù)， g（ t）∈［ 1， +∞） . 當 t∈［ 1， +∞）時， g（ t）為增函數(shù)， g（ t）∈［ 3， +∞） . 因此，當 m∈［－ 1， 0］時， t∈（－∞，－ 1］， p=)(1tg∈（ 0， 1］； 當 m∈（ 0， 1］時， t∈［ 1， +∞）， p∈（ 0， 31 ］ . 點評：本題考查拋物線的性質(zhì)與方程，拋物線與直線的位置關(guān)系，點到直線的距離，函數(shù)與不等式的知識，以及解決綜合問題的能力。 例 11． （ 06 山東卷） 已知拋物線 y2=4x，過點 P(4， 0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則 y12+y22 的最小值是 。 解析：顯然 12,xx?0，又 2212yy? ＝ 4（ 12xx? ） ?8 12xx ，當且僅當 124xx??時取等號，所以所求的值為 32。 點評：該題考查直線與拋物線位置關(guān)系下的部分求值問題，結(jié)合基本不等式求得最終結(jié)果。 五．思維總結(jié) 1．加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí) 由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)。而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決。這樣就加強了對數(shù)學(xué)各種能力的 考查； 2． 關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達定理采用設(shè)而不求法。利用引入一個參數(shù)表示動點的坐標 x、 y，間接把它們聯(lián)系起來，減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目第 35 頁 共 35 頁 還常用它們與平面幾何的關(guān)系，利用平面幾何知識會化難為易，化繁為簡，收到意想不到的解題效果； 3． 直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法 ； 4．當直線與圓錐曲線相交時新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設(shè)而不求計算弦長 (即應(yīng)用弦長公式 )；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化。同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍；