【導(dǎo)讀】決一些簡單的三角形度量問題；今后高考的命題會以正弦定理、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。題型一般為選擇題、填空題，也可。能是中、難度的解答題。如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°；如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。的余弦的積的兩倍。a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個角為A、B、C。它們的變形形式有：a=2RsinA，因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=. r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。邊長精確到1cm）。因?yàn)?＜B＜0180，所以064?兩解的情形；對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計算器?！郺＜c，即0＜A＜090,

　　

【正文】 (3) mn? ? ? ? ? 0884587234 22222 ?????????? ???? 5 1122 ??? ?。 點(diǎn)評：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算 。 題型 5：平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用 例 9．已知 a b c d ac bd2 2 2 21 1 1? ? ? ? ? ?， ，求證： | |。 分析： a b c d2 2 2 21 1? ? ? ?， ，可以看作向量 )()( dcybax ，， ?? 的模的平方， 而 ac bd? 則是 x 、 y 的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。 證明：設(shè) )()( dcybax ，， ?? 則 2222 |||| dcybaxbdacyx ??????? ， 。 1||||||||2222 ??????????dcbabdacyxyx ，? 點(diǎn)評：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如| | | | | | | | | | | | | | | | | |a b a b a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ；等。 例 10．已知 ? ? ? ?a b? ?? ?c o s s in c o s s in? ? ? ?， ， ，其中 0 ? ? ?? ? ? 。 （ 1）求證： a b? ?＋ 與 a b? ?－ 互相垂直； （ 2）若 ka b? ?? 與 ka b? ?? （ k?0 ）的長度相等，求 ??? 。 解析：（ 1）因?yàn)?( ) ( )a b a b a a b b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?＋ 178。 － 178。 ＋ 178。 －2 2 第 20 頁 共 24 頁 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?a b a b2 2 2 2 2 2 2 21 1 0| | | | cos sin cos sin? ? ? ? 所以 a b? ?＋ 與 a b? ?－ 互相垂直。 （ 2） ? ?k a b k k? ? ? ? ?＋ ，cos cos s i n s i n? ? ? ?， ? ?k a b k k? ?? ? ? ?cos cos s in s in? ? ? ?， 所以 ? ?| | cosk a b k k? ?? ? ? ? ?2 2 1? ?， ? ?| | cosk a b k k? ?? ? ? ? ?2 2 1? ?， 因?yàn)?| | | |k a b k a b? ? ? ?? ? ?， 所以 ? ? ? ?k k k k2 22 1 2 1? ? ? ? ? ? ?c os c os? ? ? ?， 有 ? ? ? ?2 2k kc os c os? ? ? ?? ? ? ?， 因?yàn)?k?0 ，故 ? ?cos ? ?? ? 0， 又因?yàn)?0 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， ， 所以 ? ? ?? ?2。 點(diǎn)評：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理。可使 解題過程得到簡化，從而提高解題的速度。 題型 6：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用 例 11．（ 20xx 年高考題）已知兩點(diǎn) )01()01( ，， NM ? ，且點(diǎn) P（ x， y）使得 ???MNMP ，???? ?? NPNMPNPM ， 成公差小于零的等差數(shù)列。 （ 1）求證 )0(322 ??? xyx ； （ 2）若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 )( 00 yx， ，記 ?PM 與 ?PN 的夾角為 ? ，求 ?tan 。 第 21 頁 共 24 頁 解析：（ 1）略解： 122 ???? ?? yxPNPM ，由直接法得 )0(322 ??? xyx （ 2）當(dāng) P 不在 x 軸上時， |||||21t a n21s in||||210yMNPNPMPNPMS P M N???????????? 而 2||21)1()1( 2020xx00 ???????????? ??? MNyxyxyxPMPN ，， 所以 ||tan 0y?? ，當(dāng) P 在 x 軸上時， 0tan00 ?? ?，y ，上式仍成立。 y P M O N x ?? 圖 1 點(diǎn)評：由正弦面積公式 ???? t a n21t a nc os||||21s i n||||21 ?????? ???? bababaS得到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系，由面積相等法建立等量關(guān)系。 例 12．用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。 已知：如圖， AB 是⊙ O 的直徑，點(diǎn) P 是⊙ O 上任一點(diǎn)（不與 A、 B 重合），求證：∠ APB＝ 90176。 證明：聯(lián)結(jié) OP，設(shè)向量 bOPaOA ???? ， ，則 aOB ??? 且 baOPOAPA ??????? ，第 22 頁 共 24 頁 baOPOBPB ??????? 0|a||b|abPBPA 2222 ????????? ???? PBPA ，即∠ APB＝ 90176。 點(diǎn)評：平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。 題型 7：平面向量在物理中的應(yīng)用 例 13．如圖所示，正六邊形 PABCDE 的邊長為 b，有五個力 ???? PDPCPBPA 、 、?PE 作用于同一點(diǎn) P，求五個 力的合力。 解析：所求五個力的合力為 ????????? PEPDPCPBPA ，如圖 3 所示，以 PA、 PE 為邊作平行四邊形 PAOE，則 ????? PEPAPO ，由正六邊形的性質(zhì)可知 b|PA||PO| ???? ，且 O 點(diǎn)在 PC 上，以 PB、 PD 為邊作平行四邊形 PBFD，則 ????? PDPBPF ，由正六邊形的性質(zhì)可知 b3|PF| ?? ，且 F 點(diǎn)在 PC 的延長線上。 由正六邊形的性質(zhì)還可求 得 b2|PC| ?? 故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為 b6b3b2b ??? ，方向與 ?PC 的方向相同。 五．思維總結(jié) 1．兩個向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別 （ 1）兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由 cos?的符號所決定； 第 23 頁 共 24 頁 （ 2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成 a b ；今后要學(xué)到兩個向量的外積 a 179。 b ，而 a ?b 是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分 .符號“178。 ”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“179?！贝?； （ 3）在實(shí)數(shù)中，若 a?0，且 a?b=0，則 b=0；但是在數(shù)量積中，若 a ?0，且 a ?b =0，不能 推出 b =0 。因?yàn)槠渲?cos?有可能為 0； （ 4）已知實(shí)數(shù) a、 b、 c(b?0)，則 ab=bc ? a=c。但是 a ?b = b ?c ca? ； 如右圖： a ?b = |a |b |cos? = |b ||OA|， b ?c = |b |c|cos? = |b ||OA|?a ?b =b ?c ，但 a ?c ； (5)在實(shí)數(shù)中，有 (a ?b )c = a (b ?c )，但是 (a ?b )c ? a (b ?c )，顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c c 共線的向量，而右端是與 a 共線的向量，而一般 a 與 c 不共線。 2． 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 特別注意： （ 1）結(jié)合律不成立： ? ? ? ?a b c a b c? ? ? ? ?； （ 2）消去律不成立 a b a c? ? ? 不能得到 bc??； （ 3） ab? =0 不能得到 a =0 或 b =0 。 3． 向量知識，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué) .物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而 它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視 . 數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長；②求夾角；③判垂直； 4．注重數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué) ①．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法。 由于向量本身具有代數(shù)形式和幾何形式雙重身份，所以在向量知識的整個學(xué)習(xí)過程中，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，在解決問題過程中要形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思第 24 頁 共 24 頁 維習(xí)慣，以加深理解知識要點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識。 ②．化歸轉(zhuǎn)化的思想方法。 向量的夾角、平行、垂直等關(guān)系的研究均可化歸為對應(yīng)向 量或向量坐標(biāo)的運(yùn)算問題；三角形形狀的判定可化歸為相應(yīng)向量的數(shù)量積問題；向量的數(shù)量積公式 22 aa ?? ? ，溝通了向量與實(shí)數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；一些實(shí)際問題也可以運(yùn)用向量知識去解決。 ③．分類討論的思想方法。 如向量可分為共線向量與不共線向量；平行向量（共線向量）可分為同向向量和反向向量；向量 a? 在 b? 方向上的投影隨著它們之間的夾角的不同，有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零三種情形；定比分點(diǎn)公式中的 ? 隨分點(diǎn) P 的位置不同，可以大于零，也可以小于零。 5．突出向量與其它數(shù)學(xué)知識的交匯 “新課程增加了新的現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，其意義不僅在于數(shù)學(xué)內(nèi)容的更新，更重要的是引入新的思維方法，可以更有效地處理和解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際應(yīng)用問題”。因此，新課程卷中有些問題屬于新教材與舊教材的結(jié)合部，凡涉及此類問題，高考命題都采用了新舊結(jié)合，以新帶舊或以新方法解決的方法進(jìn)行處理，從中啟示我們在高考學(xué)習(xí)中，應(yīng)突出向量的工具性，注重向量與其它知識的交匯與融合，但不宜“深挖洞”。我們可以預(yù)測近兩年向量高考題的難度不會也不 應(yīng)該上升到壓軸題的水平。