【導(dǎo)讀】①經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程；分解及其坐標(biāo)表示；③掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；①理解直線的方向向量與平面的法向量；②能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；③能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理；何問題中的作用。本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。本講是立體幾何的核。觀題借助空間向量求夾角和距離。如位移、速度、力等。②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。3．平行向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，共線時，對應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是。的充要條件是存在實(shí)數(shù)。是唯一確定的實(shí)數(shù)。示形式；⑵推論的用途：解決三點(diǎn)共線問題。合，注意圖、中的兩個向量的夾角不同，

　　

【正文】 2 且 ,1492121 ?? yx ① ,1492222 ?? yx ② 由① － ②得： .04 ))((9 ))(( 21212121 ?????? yyyyxxxx ③ 因?yàn)?A、 B 關(guān)于點(diǎn) M 對稱，所以 x1+ x2=－ 4， y1+ y2=2。 代入③得2121 xx yy ?? ＝ 98 ，即直線 l 的斜率為 98 ，所以直線 l 的方程為 y－ 1＝ 98 （ x+2）， 即 8x－ 9y+25=0。 (經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意 .) （ 2 ） ①由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 221xyab??(ab0),其半焦距c=6, 2 2 2 2122 1 1 2 1 2 6 5a P F P F? ? ? ? ? ? ?∴ 35a? ,b2=a2c2=9。 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22145 9xy?? ② 點(diǎn) P(5,2)、 F1(6,0)、 F2(6,0)關(guān)于直線 y=x 的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn) P， (2， 5)、 F1， (0， 6)、F2， (0， 6)。 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22112211 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?。 由題意知，半焦距 c1=6， 2 2 2 21 1 22 1 1 2 1 2 4 5a P F P F????? ? ? ? ? ? ?。 第 27 頁 共 34 頁 1 25a ? ,b12=c12a12=3620=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22120 16xy??。 點(diǎn)評： 本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算能力。 題型 4：知識交匯題 例 7．（ 06 遼寧 ,20） 已知點(diǎn) 11( , )Ax y , 22( , )Bx y 12( 0)xx? 是拋物線 2 2 ( 0)y px p??上的兩個動點(diǎn) , O 是坐標(biāo)原點(diǎn) ,向量 OA ,OB 滿足 O A O B O A O B? ? ?.設(shè)圓 C 的方程為 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? (I) 證明線 段 AB 是圓 C 的直徑 。 (II)當(dāng)圓 C 的圓心到直線 X2Y=0 的距離的最小值為 255時，求 p 的值。 解析： (I)證明 1: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B? ? ? ? ? ? ? 整理得 : 0OA OB?? 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? ? 設(shè) M(x,y)是以線段 AB 為直徑的圓上的任意一點(diǎn) ,則 0MA MB?? 即 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y? ? ? ? ? ? 整理得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? 故線段 AB 是圓 C 的直徑 證明 2: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B? ? ? ? ? ? ? 整理得 : 0OA OB?? 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? ?…… ..(1) 第 28 頁 共 34 頁 設(shè) (x,y)是以線段 AB 為直徑的圓上則 即 21121 ( , )y y y y x x x xx x x x??? ? ? ? ? 去分母得 : 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y? ? ? ? ? ? 點(diǎn) 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , ) ( , )x y x y x y x y滿足上方程 ,展開并將 (1)代入得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? 故線段 AB 是圓 C 的直徑 證明 3: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B? ? ? ? ? ? ? 整理得 : 0OA OB?? 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? ?…… (1) 以線段 AB 為直徑的圓的方程為 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 21( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2 2 4x x y yx y x x y y??? ? ? ? ? ? ? 展開并將 (1)代入得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? 故 線段 AB 是圓 C 的直徑 (II)解法 1:設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則 121222xxxyyy?? ???? ????? 221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p? ? ? 221212 24yyxx p?? 又因 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? 第 29 頁 共 34 頁 1 2 1 2x x y y? ? ? ? ? 221212 24yyyy p?? ? ? 1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ? ? 212 4y y p? ? ?? 2 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 211( ) ( 2 )2 4 4 4x x y yx y y y y y yp p p?? ? ? ? ? ? ? 221 ( 2 )ypp?? 所以圓心的軌跡方程為 222y px p?? 設(shè)圓心 C 到直線 x2y=0 的距離為 d,則 22 221| ( 2 ) 2 || 2 | | 2 2 |5 5 5y p yx y y py ppd p??? ? ?? ? ? 22| ( ) |5y p pp??? 當(dāng) y=p 時 ,d 有最小值5p,由題設(shè)得 2555p ? 2p??. 解法 2: 設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則 121222xxxyyy?? ???? ????? 221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p? ? ? 第 30 頁 共 34 頁 221212 24yyxx p?? 又因 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? 1 2 1 2x x y y? ? ? ? ? 221212 24yyyy p?? ? ? 1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ? ? 212 4y y p? ? ?? 2 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 211( ) ( 2 )2 4 4 4x x y yx y y y y y yp p p?? ? ? ? ? ? ? 221 ( 2 )ypp?? 所以圓心的軌跡方程為 222y px p?? 設(shè)直線 x2y+m=0 到直線 x2y=0 的距離為 255,則 2m?? 因 為 x2y+2=0 與 222y px p?? 無公共點(diǎn) , 所以當(dāng) x2y2=0 與 222y px p?? 僅有一個公共點(diǎn)時 ,該點(diǎn)到直線 x2y=0 的距離最小值為255 222 2 0 (2 )2 (3)xyy p x p? ? ??? ??? 將 (2)代入 (3)得 222 2 2 0y p y p p? ? ? ? 第 31 頁 共 34 頁 224 4( 2 2 ) 0p p p? ? ? ? ? ? ??? 解法 3: 設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則 121222xxxyyy?? ???? ????? 圓心 C 到 直線 x2y=0 的距離為 d,則 12 12| ( ) |25xx yyd? ??? 221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p? ? ? 221212 24yyxx p?? 又因 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? 1 2 1 2x x y y? ? ? ? ? 221212 24yyyy p?? ? ? 1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ? ? 212 4y y p? ? ?? 221 2 1 2 2 2 21 2 1 2 1 21| ( ) ( ) || 2 4 ( ) 8 |45 4 5y y y y y y y y p y y ppd p? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2212( 2 ) 445y y p pp? ? ?? 第 32 頁 共 34 頁 當(dāng) 122y y p?? 時 ,d 有最小值5p,由題設(shè)得 2555p ? 2p??. 點(diǎn)評：本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算 ,圓與拋物線的方程 .點(diǎn)到直線的距 離公式等基礎(chǔ)知識 ,以及綜合運(yùn)用解析幾何知識解決問題的能力。 例 8．（ 06 重慶文， 22） 如圖，對每個正整數(shù) n ，( , )n n nA x y 是拋物線 2 4xy? 上的點(diǎn)，過焦點(diǎn) F 的直線 nFA 角拋物線于另一點(diǎn) ( , )n n nB s t 。 （Ⅰ）試證： 4( 1)nnx s n? ? ? ； （Ⅱ）取 2nnx ? ，并記 nC 為拋物線上分別以 nA與 nB 為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)。 試證： 112 2 2 1nnnF C F C F C ??? ? ? ? ? ?； 證明：（Ⅰ）對任意固定的 1,n? 因?yàn)榻裹c(diǎn) F（ 0,1）， 所以可設(shè)直線 nnAB 的方程為 1,ny k x?? 將它與拋物線方程 2 4xy? 聯(lián)立得 : 2 4 4 0nx k x? ? ?, 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得 4( 1)nnx s n? ? ? ． （Ⅱ）對任意固定的 1,n? 利用導(dǎo)數(shù)知識易得拋物線 2 4xy? 在 nA 處 的切線的斜率,2n nA xk ? 故 2 4xy? 在 nA 處的切線的方程為： ()2nnnxy y x x? ? ?，?? ① 類似地，可求得 2 4xy? 在 nB 處的切線的方程為： ()2nnnsy t x s? ? ?，?? ② 由 ② － ① 得： 2 2 2 22 2 4 4n n n n n nnn x s x s x sy t x??? ? ? ? ? ?， 第 33 頁 共 34 頁 22 ,2 4 2n n n n n nx s x s x sxx? ? ?? ? ??? ③ 將 ③ 代入 ① 并注意 4nnxs?? 得交點(diǎn) nC 的坐標(biāo)為 ( , 1)2nnxs? ?． 由兩點(diǎn)間的距離公式得 ： 222 2( ) 4 22 4 4n n n nn x s x sFC ?? ? ? ? ? 2 224 2 22 ( ) ,4 2 2 nnn nn n nxxx FCx x x? ? ? ? ? ? ? ?． 現(xiàn)在 2nnx ? ，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得： 1 2 1 2122 1 121 1 1 1( ) 2( )21 1 1 1( 2 2 2 ) 2( ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 2 2 1.2 2 2 2nnnn n n n nnFC FC FC x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 點(diǎn)評：該題是圓錐曲線與數(shù)列知識交匯的題目。 五．思維總結(jié) 1．注意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，注意解析幾何所研究的問題背景平面幾何的一些性質(zhì)； 2．復(fù)習(xí)時要突出“曲線與方程”這一重點(diǎn)內(nèi)容 曲線與方程有兩個方面：一是求曲線方程，二是由方程 研究曲線的性質(zhì) .這兩方面的問題在歷年高考中年年出現(xiàn)，且常為壓軸題 .因此復(fù)習(xí)時要掌握求曲線方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐標(biāo)系后，根據(jù)曲線上點(diǎn)適合的共同條件找出動點(diǎn) P（ x， y）的縱坐標(biāo) y 和橫坐標(biāo) x 之間的關(guān)系式，即 f（ x， y） =0 為曲線方程，同時還要注意曲線上點(diǎn)具有條件，確定 x， y 的范圍，這就是通常說的函數(shù)法，它是解析幾何的核心，應(yīng)培養(yǎng)善于運(yùn)用坐標(biāo)法解題的能力，求曲線的常用方法有兩類：一類是曲線形狀明確且便于用標(biāo)準(zhǔn)形式，這時用待定系數(shù)法求其方程；另一類是曲線形狀不明確或不便于用標(biāo)準(zhǔn)形式表示，一般可用直接法 、間接代點(diǎn)法、參數(shù)法等求方程。二要引導(dǎo)如何將解析幾何的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的代數(shù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題?；癁榈仁浇鉀Q，要加強(qiáng)等價轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練。 3．重視對數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程 ①方程思想，解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就簡化解題運(yùn)算量。 ②用好函數(shù)思想方