【導(dǎo)讀】1．能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；何問(wèn)題中的作用。預(yù)測(cè)20xx年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考察。1．空間中各種角包括：異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角以及二面角。是通過(guò)平行移動(dòng)直線(xiàn)，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決。①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③把該角置于三角形中計(jì)算。①斜線(xiàn)上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線(xiàn)在平面的射影上；的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)．常用求法①。別地，ＡＢ＝ＡＣ時(shí)，點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面?兩點(diǎn)間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。的大小為060，,mn為異面直線(xiàn)，且

　　

【正文】 A. a ： |a |=b ： |b | b1=a2 b2=a3 b3 +a2b2+a3b3=0 k，使 a =kb （ 2） 已知向量 a =（ 2， 4， x）， b =（ 2， y， 2）， 若 |a |=6， a ⊥ b ， 則 x+y 的值是（ ） A. － 3 或 1 或 － 1 C. － 3 （ 3） 下列各組向量共面的是 （ ） A. a =(1， 2， 3)， b =(3， 0， 2)， c =(4， 2， 5) B. a =(1， 0， 0)， b =(0， 1， 0)， c =(0， 0， 1) C. a =(1， 1， 0)， b =(1， 0， 1)， c =(0， 1， 1) D. a =(1， 1， 1)， b =(1， 1， 0)， c =(1， 0， 1) 第 21 頁(yè) 共 25 頁(yè) 解析：（ 1） D； 點(diǎn)撥：由共線(xiàn)向量定線(xiàn)易知 ； （ 2） A 點(diǎn)撥：由題知 ????? ??? ??? 0244 36164 2xy x? ??? ??? 3,4yx 或 ??? ???.1,4yx ； （ 3） A 點(diǎn)撥：由共面向量基本定理可得 。 點(diǎn)評(píng)：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算除了數(shù)量積外就是考察共線(xiàn)、垂直時(shí)參數(shù)的取值情況。 例 6．已知空間三點(diǎn) A（ － 2， 0， 2）， B（ － 1， 1， 2）， C（ － 3， 0， 4） 。 設(shè) a =AB ，b = AC ，（ 1）求 a 和 b 的夾角 ? ；（ 2）若向量 ka +b 與 ka － 2b 互相垂直，求 k 的 值 . 思維入門(mén)指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果 . 解：∵ A(－ 2， 0， 2)， B（ － 1， 1， 2）， C(－ 3， 0， 4)， a =AB ， b =AC ， ∴ a =(1， 1， 0)， b =（ － 1， 0， 2） . (1)cos? =|||| ba ba?= 52 001 ???? ? － 1010 ， ∴ a 和 b 的夾角為－ 1010 。 (2)∵ ka +b =k（ 1， 1， 0） +（ － 1， 0， 2）＝（ k－ 1， k， 2）， ka － 2b =（ k+2， k， － 4）， 且 (ka +b )⊥ （ ka － 2b ）， ∴（ k－ 1， k， 2） （ k+2， k， － 4） =(k－ 1)(k+2)+k2－ 8=2k2+k－ 10=0。 則 k=－ 25 或 k=2。 點(diǎn)撥：第（ 2）問(wèn)在解答時(shí)也可以按運(yùn)算律做 。 （ a +b ） (ka － 2b )=k2a 2－ ka b －2b 2=2k2+k－ 10=0， 解得 k=－ 25 ， 或 k=2。 題型 4：數(shù)量積 例 7． (20xx 江西、山西、天津理， 4)設(shè) a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量 ,且相互不共線(xiàn) ,則 ①（ a b ） c －（ c a ） b =0 ② |a |－ |b ||a － b | ③（ b c ） a －（ c a ）b 不與 c 垂直 第 22 頁(yè) 共 25 頁(yè) ④（ 3a +2b ）（ 3a － 2b ） =9|a |2－ 4|b |2 中，是真命題的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案： D 解析：①平面向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律 .故①假； ②由向量的減法運(yùn)算可知 | a |、 |b |、 |a － b |恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真； ③因?yàn)椋郏?b c ） a －（ c a ） b ］ c =（ b c ） a c －（ c a ） b c =0，所以垂直 .故③假； ④（ 3a +2b ）（ 3a － 2b ） =9 a a － 4b b =9|a |2－ 4|b |2 成立 .故④真 . 點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律。 例 8．（ 1）（ 20xx 上海文，理 2）已知向量 a 和 b 的夾角為 120176。，且 |a |=2， |b |=5，則（ 2a － b ） a =_____. （ 2） 設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量 a =(x1， y1， 0)， b =(x2， y2， 0)與向量 c =(1， 1，1)的夾角都等于 4? 。 (1)求 x1+y1 和 x1y1 的值； (2)求 a ， b 的大小 (其中 0＜ a ， b ＜π ) 。 解析：（ 1）答案： 13；解析：∵（ 2a － b ） a =2a 2－ b a =2|a |2－ |a | |b | cos120176。=2 4－ 2 5（－ 21 ） =13。 （ 2） 解 ： (1)∵ |a |=|b |=1， ∴ x21 +y21 =1， ∴ x22 =y22 =1. 又∵ a 與 c 的夾角為 4? ， ∴ a c =|a ||c |cos 4? = 22 222 111 ?? = 26 . 又 ∵ a c =x1+y1，∴ x1+y1= 26 。 另外 x21 +y21 =(x1+y1)22x1y1=1， ∴ 2x1y1=( 26 )2－ 1=21 .∴ x1y1=41 。 第 23 頁(yè) 共 25 頁(yè) (2)cosa ， b =|||| ba ba?=x1x2+y1y2， 由 (1)知 ， x1+y1= 26 ， x1y1=41 .∴ x1， y1 是方程x2－ 26 x+ 41 =0 的解 . ∴ ???????????,4 26,4 2611yx或 ???????????.4 26,4 2611yx同理可得 ???????????,4 26,4 2622yx或 ???????????.4 26,4 2622yx ∵ a ≠b ， ∴ ?????????????,4 26,4 261221yxyx或 ?????????????.4 26,4 261221yxyx ∴ cosa ， b = 4 26? 4 26? + 4 26? 4 26? =41 +41 =21 . ∵ 0≤a ， b ≤π， ∴ a ， b =3? 。 評(píng)述：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。 題型 5：空間向量的應(yīng)用 例 9．（ 1） 已知 a、 b、 c 為正數(shù)，且 a+b+c=1，求證： 113?a + 113?b + 113?c ≤4 3 。 （ 2） 已知 F1=i+2j+3k， F2=2i+3jk， F3=3i4j+5k，若 F1， F2， F3 共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn) M1（ 1， 2， 1）移到點(diǎn) M2(3， 1， 2)， 求物體合力做的功。 解析：（ 1） 設(shè) m =( 113?a ， 113?b ， 113?c )， n =(1， 1， 1)， 則 |m |=4， |n |= 3 . ∵ m n ≤ |m ||n |， ∴ m n = 113?a + 113?b + 113?c ≤ |m ||n |=4 3 . 當(dāng) 1131?a = 1131?b = 1131?c 時(shí)，即 a=b=c=31 時(shí)，取 “ =”號(hào) 。 （ 2） 解 ： W=Fs=(F1+F2+F3) 21MM =14。 點(diǎn)評(píng) ： 若 m =(x， y， z)， n =(a， b， c)，則由 m n ≤ |m ||n |，得 (ax+by+cz)2≤第 24 頁(yè) 共 25 頁(yè) (a2+b2+c 2)(x2+y2+z2).此式又稱(chēng)為柯西不等式 (n=3)。 本題考查 |a | |b |≥ a b 的應(yīng)用，解題時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量 a ， b ， 然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算 。 空間向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)做功問(wèn)題。 例 10． 如圖 ,直三棱柱 111 CBAABC ? 中 , , 1111 CABCABBC ?? 求證 : .11 CAAB ? 證明： ,1111 CCCACA ??? ,0)()(, 211111111111 ??????????? CCBCCACCBCCCCABCCACCBCBC.1121 BCCACC ??? 同理 , 111111 CBBBBCBBABAB ???? ,0),(0 11112111 ??? ??????????? BCCABCABCCBBCCBCABBCAB 又 ,11 ACCA ? .0)( ???? ACABBC 設(shè) D 為 BC 中點(diǎn) ,則 .2 ADACAB ?? ,02 ADBCADBC ????? ,ACAB ?? 又 ., 1111 ABCABBAA ??? 點(diǎn)評(píng)：從上述例子可以看出 ,利用空間向量來(lái)解決位置關(guān)系問(wèn)題 ，要用到空間多邊形法則，向量的運(yùn)算，數(shù)量積以及平行 ,相等和垂直的條件。 五．思維總結(jié) 本講內(nèi)容主要有空間直角坐標(biāo)系，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點(diǎn)公式 .空間直角坐標(biāo)系是選取空間任意一點(diǎn) O和一個(gè)單位正交基底｛ i， j， k｝建立坐標(biāo)系，對(duì)于 O 點(diǎn)的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點(diǎn)的坐標(biāo)，直線(xiàn)的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)化，要充分利用空間圖形中已有的直線(xiàn)的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類(lèi)似，具有類(lèi)似的運(yùn)算法則 .一個(gè)向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣，實(shí)質(zhì)沒(méi)有改變 .因而運(yùn)算的方 法和運(yùn)算規(guī)律結(jié)論沒(méi)變 。 如向量的數(shù)量積a b=|a||b|cosa， b在二維、三維都是這樣定義的，不同點(diǎn)僅是向量在不同空間具有不同表達(dá)形式 .空間兩向量平行時(shí)同平面兩向量平行時(shí)表達(dá)式不一樣，但實(shí)質(zhì)是一致的，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為 ? ，對(duì)于中點(diǎn)公式要熟記。 對(duì)本講內(nèi)容的考查主要分以下三類(lèi)： 1．以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì) 此類(lèi)題一般難度不大，用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問(wèn)題。 2．向量在空間中的應(yīng)用 在空間坐標(biāo)系下，通過(guò)向量的坐標(biāo)的表示，運(yùn)用計(jì)算的方法研究三維空間幾何圖形第 25 頁(yè) 共 25 頁(yè) 的 性質(zhì)。 在復(fù)習(xí)過(guò)程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針。本講考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本。因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵。