【正文】 本講考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本。|b|cosa， b在二維、三維都是這樣定義的，不同點(diǎn)僅是向量在不同空間具有不同表達(dá)形式 .空間兩向量平行時(shí)同平面兩向量平行時(shí)表達(dá)式不一樣，但實(shí)質(zhì)是一致的，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為 ? ，對(duì)于中點(diǎn)公式要熟記。 例 10． 如圖 ,直三棱柱 111 CBAABC ? 中 , , 1111 CABCABBC ?? 求證 : .11 CAAB ? 證明： ,1111 CCCACA ??? ,0)()(, 211111111111 ??????????? CCBCCACCBCCCCABCCACCBCBC.1121 BCCACC ??? 同理 , 111111 CBBBBCBBABAB ???? ,0),(0 11112111 ??? ??????????? BCCABCABCCBBCCBCABBCAB 又 ,11 ACCA ? .0)( ???? ACABBC 設(shè) D 為 BC 中點(diǎn) ,則 .2 ADACAB ?? ,02 ADBCADBC ????? ,ACAB ?? 又 ., 1111 ABCABBAA ??? 點(diǎn)評(píng)：從上述例子可以看出 ,利用空間向量來(lái)解決位置關(guān)系問(wèn)題 ，要用到空間多邊形法則，向量的運(yùn)算，數(shù)量積以及平行 ,相等和垂直的條件。 本題考查 |a | 21MM =14。 n = 113?a + 113?b + 113?c ≤ |m | （ 2） 已知 F1=i+2j+3k， F2=2i+3jk， F3=3i4j+5k，若 F1， F2， F3 共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn) M1（ 1， 2， 1）移到點(diǎn) M2(3， 1， 2)， 求物體合力做的功。 4 26? + 4 26? c =|a ||c |cos 4? = 22 222 111 ?? = 26 . 又 ∵ a =2 a =2a 2－ b 且 |a |=2， |b |=5，則（ 2a － b ） a c ） a a ）b 不與 c 垂直 第 22 頁(yè) 共 25 頁(yè) ④（ 3a +2b ）（ 3a － 2b ） =9|a |2－ 4|b |2 中，是真命題的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案： D 解析：①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律 .故①假； ②由向量的減法運(yùn)算可知 | a |、 |b |、 |a － b |恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真； ③因?yàn)椋郏?b 題型 4：數(shù)量積 例 7． (20xx 江西、山西、天津理， 4)設(shè) a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量 ,且相互不共線 ,則 ①（ a 則 k=－ 25 或 k=2。 例 6．已知空間三點(diǎn) A（ － 2， 0， 2）， B（ － 1， 1， 2）， C（ － 3， 0， 4） 。 b1=a2 點(diǎn)評(píng)：類比平面向量表達(dá)平面位置關(guān)系過(guò)程，掌握好空間向量的用途。 點(diǎn)評(píng)：零向量是一個(gè)特殊的向量，時(shí)刻想著零向量這一特殊情況對(duì)解決問(wèn)題有很大用處。 ②③正確。 （ 3）向量的數(shù)量積： ?? baba ???? ,cos 叫做向量 a? 、 b? 的數(shù)量積，記作 ba??? 。 又 ∵ .,OMOAMA ?? .,OMOBMB ?? 代入 ⑤ ，整理得 .)1( OByOAxOMyxOP ????? ⑥ 由于對(duì)于空間任意一點(diǎn) P， 只要滿足等式 ④ 、 ⑤ 、 ⑥ 之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn) P 就在平面 MAB 內(nèi)；對(duì)于平面 MAB 內(nèi)的任意一點(diǎn) P，都滿足等式 ④ 、 ⑤ 、⑥ ，所以等式 ④ 、 ⑤ 、 ⑥ 都是由不共線的兩個(gè)向量 MA、 MB（或不共線三點(diǎn) M、 A、 B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是 M、 A、 B、 P 四點(diǎn)共面的充要條件。 共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 注意： ⑴ 表示式 (﹡ )、 (﹡﹡ )既是表示式 ① ,② 的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式 ； ⑵ 推論的用途：解決三點(diǎn)共線問(wèn)題。 ⑵ 對(duì)于確定的 ? 和 a? ， b? ＝ ? a? 表示空間與 a? 平行或共線，長(zhǎng)度為 |? a? |，當(dāng) ? 0時(shí)與 a? 同向，當(dāng) ? 0 時(shí)與 a? 反向的所有向量。 a? 平行于 b? 記作 a? ∥ b? 。 表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向 線段表示同一向量或相等的向量。 預(yù)測(cè) 07 年高考對(duì)本講內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 36） — 空間向量及其應(yīng)用 一．課標(biāo)要求： （ 1）空間向量及其運(yùn)算 ① 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程 ； ② 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 ； ③ 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示 ； ④ 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直 。此外在解答題中一般不用公式“ cosθ ＝SS? ”求二面角否則要適當(dāng)扣分。 求角的三個(gè)基本步驟： “作 ”、 “證 ”、 “算 ”。 例 12． 如圖 7，已知邊長(zhǎng)為 42的正三角形 ABC 中，E 、 F 分別為 BC 和 AC 的中點(diǎn)， PA? 面 ABC ，且 2PA? ，設(shè)平面 ? 過(guò) PF 且與 AE 平行。 在 BDBRt 1? 中 ,6810 222211 ????? BCCBBB 34?BD ． 2122121 ???? BBBDDB 。 題型 6：線面距離 A B C D ?A1 第 13 頁(yè) 共 25 頁(yè) A C B P E F 圖 7 例 11．已知正三棱柱 111 CBAABC ? 的底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線 101 ?CB ， D 是 AC 的中點(diǎn)。 思維點(diǎn)拔 ： 注意點(diǎn)距，線面距，面面距的轉(zhuǎn)化，利用平面互相垂直作距離也是一種常用的方法 。 題型 5：點(diǎn)面距離 例 9．如圖，已知ＡＢＣＤ為邊長(zhǎng)是４的正方形，Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＡＤ的中點(diǎn)，ＧＣ 垂直于ＡＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求點(diǎn)Ｂ到平面ＥＦＧ的距離 。求異面直線 BD 和 SC 之間的 距離？ 分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則 22( , ,0)A ? ， 22( , ,0)B ， 22( , ,0)C ? ， 22( , , 0)D ?? ， (0,0,2)S 。（函數(shù)最小值法）如圖，在上取一點(diǎn) M，作 ME ? BC 于 E，過(guò) E 作 EN ? BD 交 BD 于 N，易知MN 為 BD 與 CB1 的公垂線時(shí)， MN 最小。 ,25?BM aMBBE 3532 ?? ， ＥＦ／／ＯＭ， 32?? BMBEBOBF ，故 32?BF ＯＢ＝ a32， aBFBEEF 3322 ???? ． 解法二．（轉(zhuǎn)化為線面距） 因?yàn)椋拢模矫?CDB 11 ， ?CB1 平面 CDB 11 ，故ＢＤ與 CB1 的距離就是ＢＤ到平面 CDB 11 的距離。 （ 2） 解析：球 O 的半徑是 R=1， ,ABC 三點(diǎn)都在球 面上， ,AB兩點(diǎn)和 ,AC兩點(diǎn)的球面距離都是4?，則 ∠ AOB， ∠ AOC 都等于4?， AB=AC， ,BC兩點(diǎn)的球面距離是3?，∠ BOC=3?， BC=1，過(guò) B 做 BD⊥ AO，垂足為 D，連接 CD，則 CD⊥ AD， 則 ∠ BDC 是二面角 B OA C??的平面角， BD=CD= 22 ， ∴∠ BDC=2?，二面角 B OA C??的大小是2?，選 C。 故所求二面角 BADB ??1 的大小為 ?60 。（略去了該題的 ① ， ③ 問(wèn)） （ 2） （ 06 四川卷） 已知球 O 的半徑是 1， A 、 B 、 C 三點(diǎn)都在球面上， A 、 B 兩點(diǎn)和 A 、 C 兩點(diǎn)的球面距離都是4?， B 、 C 兩點(diǎn)的球面距離是3?，則二面角 B OA C??的大小是 （ ） （ A）4? （ B）3? （ C）2? （ D） 23? 解 析：（ 1） 取 BC 的中點(diǎn) O，連 AO。 在 Rt△ PAD 中， PA=AD，則 ∠ APD=45176。 解析： （ 1）延長(zhǎng) AB、 DE 交于點(diǎn) F，則 PF 為平面PDE 與平面 PAD 所成二面角的棱， ∵ PA⊥ 平面ABCD， ∴ AD⊥ PA、 AB, PA∩AB=A∴ DA⊥ 平面 BPA于 A， 過(guò) A 作 AO⊥ PF 于 O，連結(jié) OD，則 ∠ AOD 即為平面 PDE 與平面 PAD 所成二面角G DD A1 C1 B1 C B K x y z A E 第 7 頁(yè) 共 25 頁(yè) 的平面角。 ∴ A1B 與平面 ABD 所成角的余弦值是32。設(shè) PC=a，則 PO= aPD 3332 ? ，故 33c os ??? PCPOCP O ，即選 C。 不難證明 1AC 為平面 BC1D 的法向量， ∵ 1111113c o s , 9A C D EA C D E A C D E??。 （ 2） 二面角 l???? 的大小為 060 ， ,mn為異面直線，且 ,mn????，則 ,mn所α β 1n 2n 第 5 頁(yè) 共 25 頁(yè) D 成的角為兩條直線所成的角，∴ θ= 060 ，選 B。 （ 6） 法向量求直線與平面所成的角 要求直線 a 與平面 α所成的角 θ，先求這個(gè)平面 α的法向量 n 與直線 a 的夾角的余弦an,cos ，易知 θ= an, 或者 an,2?? 。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。 點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)Ｐ到平面 ? 的距離為點(diǎn)Ｐ到平面 ? 的垂線段的長(zhǎng)．常用求法 ①作出點(diǎn)Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng) ； ② 轉(zhuǎn)移法，如果平面 ? 的斜線上兩點(diǎn)Ａ，Ｂ第 3 頁(yè) 共 25 頁(yè) 到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為 nm: ，則點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面 ? 的距離之比也為 nm: ．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時(shí)，點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面 ? 的距離相等 ； ③ 體積法 （ 2） 異面直線間的距離： 異面直線 ba, 間的距離為 ba, 間的公垂線段的長(zhǎng)．常有求法 ① 先證線段ＡＢ為異面直線 ba, 的公垂線