【正文】 段，然后求出ＡＢ的長(zhǎng)即可 ． ② 找或作出過 b且與 a 平行的平面，則直線 a 到平面的距離就是異面直線 ba, 間的距離． ③ 找或作出分別過 ba, 且與 b ， a 分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線 ba, 間的距 離． ④根據(jù)異面直線間的距離公式求距離 。作二面角的平面角常有三種方法 ① 棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩 個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的 角，就是二面角的平面角 ； ② 面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角 ； ③ 空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。 （ 2） 直線與平面所成的角的范圍是 ]2,0[ ?。 三．要點(diǎn)精講 1． 空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。 二．命題走向 空間的夾角和距離問題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本講的考察主要有以下情況：（ 1）空間的夾角；（ 2）空間的距離；（ 3）空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用。 預(yù)測(cè) 20xx 年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。 （ 1） 異面直線所成的角的范圍是 ]2,0( ?。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。 斜面面積和射影面積的關(guān)系公式： ?cos??? SS (S 為原斜面面積 ,S? 為射影面積 ,?為斜面與射影所成二面角的平面角 )這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形 ,任意多邊形都成立 .是求二面角的好方法 .當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí) ,如果能找得斜面面積的射影面積 ,可直接應(yīng)用公式 ,求出二面角的大小 。 （ 3） 直線到平面的距 離：只存在于直線和平面平行之間．為直線上任意一點(diǎn)到平面間的距離 。 3．空間向量的應(yīng)用 （ 1） 用法向量求異面直線間的距離 如右圖所示， a、 b 是兩異面直線， n 是 a 和 b 的法向量，點(diǎn) E∈ a， F∈ b，則異面直線 a 與 b 之間的距離是nnEFd ?? ； （ 2） 用法向量求點(diǎn)到平面的距離 如右圖所示，已知 AB 是平面α的 一條斜線， n 為平面α的法向量，則 A 到平面α的距離為nnABd ?? ； （ 3） 用法向量求直線到平面間的距離 首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問題。 四．典例解析 題型 1：異面直線所成的角 例 1． （ 1） 直三棱住 A1 B1C1—ABC， ∠ BCA= 090 ，點(diǎn) D F1 分別是 A1B A1C1的中點(diǎn)， BC=CA=CC1，則 BD1 與 AF1 所成角的余弦值是（ ） （ A ）1030 （ B）21 （ C）1530 （ D）1015 （ 2）（ 06 四川） 已知二面角 l???? 的大小為 060 ， ,mn為異面直線，且,mn????，則 ,mn所成的角為（ ） （ A） 030 （ B） 060 （ C） 090 （ D） 0120 解 析 ： （ 1） 連結(jié) D1F1，則 D1F1 //1121 CB， ∵ BC // 11CB ∴ D1F1 // BC21 設(shè)點(diǎn) E 為 BC 中點(diǎn)， ∴ D1F1 // BE， ∴ BD1∥ EF1， ∴∠ EF1A 或其補(bǔ)角即為 BD1 與 AF1所成的角。 點(diǎn)評(píng)：通過平移將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條相交直線的夾角。 ∴ D1E 與平面 BC1D 所成的角的余弦值為93。 A1 B1 C1 D1 A B C D E x y z 第 6 頁 共 25 頁 E F O 思維點(diǎn)撥：第（ 2）題也可利用公式 ??? co sco sco s ?? 直接求得。 點(diǎn)評(píng)：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。易得25tan ??AOD，故平面 PDE 與平 PAD 所成二面角的 正切值 為25； （ 2）解法 1（面積法）如圖 ∵ AD⊥ PA、 AB, PA∩AB=A， ∴ DA⊥ 平面 BPA 于 A, 同時(shí)， BC⊥ 平面 BPA 于 B， ∴△ PBA是 △ PCD 在平面 PBA上的射影 , 設(shè)平面 PBA與平面 PDC 所成二面角大小為 θ, cosθ=S△ PAB/S△ PCD= /2 θ=450。即平面 BAP 與平面 PDC 所成二面角的大小為 45176。 由題意 ： 平面 ?ABC 平面 11BBCC ， BCAO? ， ∴ ?AO 平面 11BBCC ， 以 O 為原點(diǎn)， 建立如圖 6 所示空間直角坐標(biāo)系， 則 ）（ 323,0,0A， ）（ 0,0,23B， ）（ 0,0,29D， ）（ 0,323,231B， ∴ ）（ 323,0,29 ??AD， ）（ 0,323,31 ??DB， ）（ 0,323,01 ?BB， 由題意 ?1BB 平面 ABD ， ∴ ）（ 0,323,01 ?BB 為 平面 ABD 的法向量。 評(píng)析 ： （ 1）用法向量的方法處理二面角的問題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問題時(shí)的三步曲：“找 ——證 ——求 ”直接簡(jiǎn)化成了一步曲： “計(jì)算 ”，這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象能力，但實(shí)質(zhì)不然，向量法對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神 ； （ 2）此法在處理二面角問題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取)23,1,23(2 ????n 時(shí)， 會(huì)算得 21,c os 21 ???? nBB ，從而所求二面角為 ?120 ，但依題意只為 ?60 。 題型 4：異面直線間的距離 例 7． 如圖，已知正方體ＡＢＣＤ－ 1A 1B 1C1D棱長(zhǎng)為 a ， 第 9 頁 共 25 頁 求異面直線ＢＤ與 1B Ｃ的距離． 解法一：連結(jié)ＡＣ交ＢＤ的中點(diǎn)Ｏ，取 1CC 的中點(diǎn)Ｍ，連結(jié)ＢＭ交 CB1 于Ｅ，連 1AC ，則 1// ACOM ，過Ｅ作ＥＦ／／ＯＭ交ＯＢ于Ｆ，則 1//ACEF 。 由 BCBDCDBB VV1111 ?? ?，即 ? ? aaha ????? 22213124331，得 ah 33? ． 解法三．（轉(zhuǎn)化為面面距）易證平面 CDB 11 ／／平面 BDA1 ，用等體積法易得Ａ到平面 BDA1 的距離 為 a33 。 設(shè) BE=x ， CE=ME= xa? ， EN= x22， MN== ? ?2221 xax ??= 22 223 aaxx ??=3232322 aax ??????? ?。 ( 2, 2, 0)DB?? ， 22( , , 2)CS ?? 。 解 法 一 ： 連 結(jié) Ｂ Ｆ ， Ｂ Ｇ ，2222121 ??????? FABES B E F ， 又Ｅ，Ｆ分別是 ＡＢ，Ａ Ｄ的中點(diǎn)，,43,2221 ACCHBDEF ???? 2222 24432 ??????????? CHGCGH 22?。 例 10．（ 1）（ 06 安徽 ） 多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn) A 在平面 ? 內(nèi)，其余頂點(diǎn)在 ? 的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn) A 相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到 ? 的距離分別為 1， 2 和 4， P 是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則 P 到平面 ? 的距離可能是： ______（寫出所有正確結(jié)論的 編號(hào) ． ． ） ① 3； ② 4； ③ 5； ④ 6； ⑤ 7 （ 2） 平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn) A 在平面 ? 內(nèi)，其余頂點(diǎn)在 ? 的同側(cè)，已知其中有兩個(gè)頂點(diǎn)到 ? 的距離分別為 1 和 2 ，那么剩下的一個(gè)頂點(diǎn)到平面 ? 的距離可能是：① 1； ② 2； ③ 3； ④ 4； 以上結(jié)論正確的為 ______________。（ 1）求點(diǎn) 1B 到直線 AC 的距離。 （ 2）因?yàn)?AC 與平面 BD 1C 交于ＡＣ的中點(diǎn)Ｄ，設(shè) EBCCB ?? 11 ，則 1AB //DE，所以 1AB //平面 BDC1 ，所以 1AB 到平面 BD 1C 的距離等于Ａ點(diǎn)到平面 BD 1C 的距離，等于Ｃ點(diǎn)到平面 BD 1C 的距離，也就等于三棱錐 1BDCC? 的高。 求 AE 與平面 ? 間的距離？ 分析：設(shè) AP 、 AE 、 EC 的單位向量分別為 1e 、 2e 、3e ，選取 { 1e ， 2e ， 3e }作為空間向量的一組基底。 3． 求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn)： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置； ②作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理； ③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視 .二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點(diǎn)在于找到面的垂線。 ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時(shí)?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì)。 （ 2）空間向量的應(yīng)用 ① 理解直線的方向向量與平面的法向量 ； ② 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系 ； ③ 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理） ； ④ 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。 三．要點(diǎn)精講 1．空間向量的概念 向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。 說明：①由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長(zhǎng)的有向線段表示；②平面向量?jī)H限于研究同一平面內(nèi)的平移，而第 16 頁 共 25 頁 空間向量研究的是空間的平移。 注意 ：當(dāng)我們說 a? 、 b? 共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說 a? 、 b? 平行時(shí)，也具有同樣的意義。 ⑶ 若直線 l∥ a? ， lA? ， P 為 l 上任一點(diǎn)， O 為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo) OP的表達(dá)式。 ⑶ 結(jié)合三角形法則記憶方程。 共面向量定理 如果兩個(gè)向量 a? 、 b? 不共線，則向量 p? 與