【正文】 9 頁 共 35 頁 121222xxxyyy?? ???? ????? 221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p? ? ? 221212 24yyxx p?? 又因 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? 1 2 1 2x x y y? ? ? ? ? 221212 24yyyy p?? ? ? 1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ? ? 212 4y y p? ? ?? 2 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 211( ) ( 2 )2 4 4 4x x y yx y y y y y yp p p?? ? ? ? ? ? ? 221 ( 2 )ypp?? 所以圓心的軌跡方程為 222y px p?? 設(shè)圓心 C 到直線 x2y=0 的距離為 d,則 22 221| ( 2 ) 2 || 2 | | 2 2 |5 5 5y p yx y y py ppd p??? ? ?? ? ? 22| ( ) |5y p pp??? 第 20 頁 共 35 頁 當 y=p 時 ,d 有最小值5p,由題設(shè)得 2555p ? 2p??. 解法 2: 設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則 121222xxxyyy?? ???? ????? 221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p? ? ? 221212 24yyxx p?? 又因 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? 1 2 1 2x x y y? ? ? ? ? 221212 24yyyy p?? ? ? 1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ? ? 212 4y y p? ? ?? 2 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 211( ) ( 2 )2 4 4 4x x y yx y y y y y yp p p?? ? ? ? ? ? ? 221 ( 2 )ypp?? 所以圓心的軌跡方程為 222y px p?? 設(shè)直線 x2y+m=0 到直線 x2y=0 的距離為 255 ,則 2m?? 第 21 頁 共 35 頁 因為 x2y+2=0 與 222y px p?? 無公共點 , 所以當 x2y2=0 與 222y px p?? 僅有一個公共點時 ,該點到直線 x2y=0 的距離最小值為255 222 2 0 (2 )2 (3)xyy p x p? ? ??? ??? 將 (2)代入 (3)得 222 2 2 0y p y p p? ? ? ? 224 4( 2 2 ) 0p p p? ? ? ? ? ? ??? 解法 3: 設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則 121222xxxyyy?? ???? ????? 圓心 C 到 直線 x2y=0 的距離為 d,則 12 12| ( ) |25xx yyd? ??? 221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p? ? ? 221212 24yyxx p?? 又因 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? 1 2 1 2x x y y? ? ? ? ? 第 22 頁 共 35 頁 221212 24yyyy p?? ? ? 1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ? ? 212 4y y p? ? ?? 221 2 1 2 2 2 21 2 1 2 1 21| ( ) ( ) || 2 4 ( ) 8 |45 4 5y y y y y y y y p y y ppd p? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2212( 2 ) 445y y p pp? ? ?? 當 122y y p?? 時 ,d 有最小值5p,由題設(shè)得 2555p ? 2p??. 點評：本小題考查了平面向量的基本運算 ,圓與拋物線的方程 .點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識 ,以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力。 題型 4：知識交匯題 例 7．（ 06 遼寧 ,20） 已知點 11( , )Ax y , 22( , )Bx y 12( 0)xx? 是拋物線 2 2 ( 0)y px p??上的兩個動點 , O 是坐標原點 ,向量 OA ,OB 滿足 O A O B O A O B? ? ?.設(shè)圓 C 的方程為 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? (I) 證明線段 AB 是圓 C 的直徑 。 1 25a ? ,b12=c12a12=3620=16. 所以所求雙曲線的標準方程為 22120 16xy??。 設(shè)所求雙曲線的標準方程為 22112211 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?。 (經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意 .) （ 2 ） ①由題意可設(shè)所求橢圓的標準方程為 221xyab??(ab0),其半焦距c=6, 2 2 2 2122 1 1 2 1 2 6 5a P F P F? ? ? ? ? ? ?∴ 35a? ,b2=a2c2=9。 O 第 16 頁 共 35 頁 已知圓的方程為（ x+2） 2+(y－ 1)2=5,所以圓心 M 的坐標為（ － 2， 1） . 從而可設(shè)直線 l 的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓 C 的方程得 （ 4+9k2） x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－ 27=0. 因為 A， B 關(guān)于點 M 對稱 . 所以 .294 9182 2221 ??? ???? k kkxx 解得98?k， 所以直線 l 的方程為 ,1)2(98 ??? xy 即 8x9y+25=0. (經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意 ) 解法二： (Ⅰ )同解法一 . (Ⅱ )已知圓的方程為（ x+2） 2+(y－ 1)2=5,所以圓心 M 的坐標為（ － 2， 1） . 設(shè) A， B 的坐標分別為（ x1,y1） ,(x2,y2).由題意 x1? x2 且 ,1492121 ?? yx ① ,1492222 ?? yx ② 由① － ②得： .04 ))((9 ))(( 21212121 ?????? yyyyxxxx ③ 因為 A、 B 關(guān)于點 M 對稱，所以 x1+ x2=－ 4， y1+ y2=2。 解析：（ 1） 解法一： (Ⅰ )因為點 P 在橢圓 C 上，所以 62 21 ??? PFPFa ，a=3. 在 Rt△ PF1F2 中， ,52212221 ??? PFPFFF故橢圓的半焦距 c= 5 ，從而 b2=a2－ c2=4，所以橢圓 C 的方程為 49 22 yx ? ＝ 1。1F 、 39。1F 、 39。 （ 2）（ 06 江蘇， 17） 已知三點 P（ 5， 2）、 1F （－ 6， 0）、 2F （ 6， 0）。 或y1y2=2， 如果 y1y2=－ 6， 可證得直線 AB 過點 (3,0)；如果 y1y2=2, 可證得直線 AB 過點 (－1,0),而不過點 (3,0)。 （ 3） 證明： ① 設(shè)過點 T(3,0)的直線 l 交拋物線 y2=2x 于點 A(x1,y1)、 B(x12,y2). 當直線 l的鈄率下存在時 ,直線 l的方程為 x=3,此時 ,直線 l與拋物線相交于 A(3, 6 )、B(3,－ 6 )， ∴ OBOA? =3。 解法 2：由（Ⅰ）得 A（－ 2， 0）， B（ 2， 0） .設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2）， 則－ 2x12，－ 2x22，又 MN 的中點 Q 的坐標為（ 2 21 xx? ， 2 21 yy ? ）， 依題意，計算點 B 到圓心 Q 的距離與半徑的差 21 1 2 3 4 2 2 4BAMN第 14 頁 共 35 頁 2BQ － 241MN ＝ ( 2 21 xx? － 2）2＋（2 21 yy ?） 2－41[(x1－ x2)2＋ (y1－ y2)2] ＝（ x1－ 2) (x2－ 2)＋ y1y1 ○ 3 又直線 AP 的方程為 y＝ )2(21 1 ?? xx y，直線 BP 的方程為 y＝ )2(22 2 ?? xx y， 而點兩直線 AP 與 BP 的交點 P 在準線 x＝ 4 上， ∴2626 2 21 1 ??? x yx y，即 y2＝2)23 1 12 ??x yx（ ○ 4 又點 M 在橢圓上，則 1342121 ?? yx ，即 )4(43 2121 xy ?? ○ 5 于是將 ○ 4 、 ○ 5 代入 ○ 3 ，化簡后可得 2BQ － 241MN＝ 0)2)(245 21 ??xx－（. 從而，點 B 在以 MN 為直徑的圓內(nèi)。 BP ＝25（ 2－ x0） . ∵ 2－ x00，∴ BM （ 2）（Ⅰ）依題意得 a＝ 2c， ca2 ＝ 4，解得 a＝ 2， c＝ 1，從而 b＝ 3 . 第 13 頁 共 35 頁 故橢圓的方程為 134 22 ?? yx. （Ⅱ）解法 1：由（Ⅰ）得 A（－ 2， 0）， B（ 2， 0） .設(shè) M（ x0， y0） . ∵ M 點在橢圓上，∴ y0＝43（ 4－ x02） . ○ 1 又點 M異于頂點 A、 B，∴－ 2x02，由 P、 A、 M 三點共線可以得 P（ 4，260 0?xy） . 從而 BM ＝（ x0－ 2， y0）， BP ＝（ 2， 2600?xy ） . ∴ BM （ 3）（ 06 上海理， 20）在平面直角坐標系 x Oy 中，直線 l 與拋物線 2y ＝ 2x 相交于A、 B 兩點。 （ 2）（ 06 湖北理， 20）設(shè) ,AB分別為橢圓 22 1( , 0 )xy abab? ? ?的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且 4x? 為它的右準線。處理韋達定理以及判別式問題啊是解題的關(guān)鍵。 下同解法一。 所以，所求直線方程為 14 2 4 0y? ? ? ? 解法二：由題意知直線 l 的斜率存在且不為零。 解法 2：令 22 3 ( 0)m k m? ? ?，則 2223km??。 又 0S? ， 20 2S? ? ? ，從而 AOBS 的最大值為 22S? ， 第 10 頁 共 35 頁 此時代入方程（ *）得 424 28 49 0kk? ? ?， 142k? ??。 原點 O 到直線 l 的距離221d k? ? 。 （ Ⅱ ） 解 法 一 ： 由 題 意 知 直 線 l 的 斜 率 存 在 ， 設(shè) 直 線 l 的方程為第 9 頁 共 35 頁 1 1 2 22 , ( , ) , ( , )y k x A x y B x y?? 由 22212y kxx y????? ????，消去 y 得關(guān)于 x 的方 程： 22(1 2 ) 8 6 0k x k x? ? ? ?， 由直線 l 與橢圓相交于 A、 B 兩點， 220 64 24( 1 2 ) 0kk? ? ? ? ? ?，解得 2 32k ?。 ∴ S△ ABC的最大值是 2 。 于是 S△ ABC=14 4114 144 222???? ?? k kk kk。 ③當直線 BC 垂直于 x 軸時 ,BC=2,因此 △ ABC 的面積 S△ ABC=1。 （ 2）① 由已知得橢圓的半長軸 a=2,半焦距 c= 3 ,則半短軸 b=1， 又橢圓的焦點在 x 軸上 , ∴ 橢圓的標準方程為 14 22 ??yx 。 解析：（ 1） 依題意可設(shè) P(0,1)， Q(x,y),則 |PQ|= x2+(y－ 1)2 ，又因為 Q 在橢圓上， 所以， x2=a2(1－ y2)， |PQ|2= a2(1－ y2)+y2－ 2y+1=(1－ a2)y2－ 2y+1+a2， =(1－ a2)(y－ 11－ a2 )2－ 11－ a2+1+a2 。 （ 3）（ 06 山 東文， 21） 已知橢圓的中心在坐標原點 O，焦點在 x 軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距