【正文】 13 分 C的中心為坐標原點 O，焦點在 y軸上，離心率 e = 22 ，橢圓上的點到焦點的最短本卷第 25 頁（ 共 33 頁） 距離為 1 22 , 直線 l 與 y 軸交于點 P（ 0， m）， 與橢圓 C 交于相異兩點 A、 B，且AP ＝ PB? ． （ 1）求橢圓方程； （ 2）若 OA＋ OB ＝ 4OP? ，求 m的取值范圍． （ 1）設(shè) C： y2a2＋x2b2＝ 1（ ab0），設(shè) c0， c2＝ a2－ b2，由條件知 ac＝ 22 ，ca＝22 ， ∴ a＝ 1， b＝ c＝ 22 ，故 C 的方程為： y2＋ x212＝ 1 5′ （ 2）由 AP→ ＝ λ PB→ ， OA＋ OB ＝ 4OP? ∴ λ ＋ 1＝ 4， λ ＝ 3 或 O點與 P點重合 OP→ = 0→ 7′ 當 O點與 P點重合 OP→ =0→ 時， m=0 當 λ ＝ 3時，直線 l與 y軸相交，則斜率存在。 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ? ? ? ?123, 0 , 3, 0AA? ，設(shè) ? ? ? ?1 0 0 2 0 0, , , P x y P x y則 所以 ? ? ? ?001 1 2 23 , 333yyP A y x P A y xxx? ? ???方 程 為 : 的 方 程 為 ： 兩式相乘得： ? ?222020 99yyxx? ? ?? 由于點 ? ?1 0 0,P x y 在橢圓上，所以 2 2 20 0 020 819 8 9 9x y yx? ? ? ? ??代入上式得 22198xy?? (2)已知動直線 l過點? ?0,4P,交拋物線 D于 A、 B兩點 . ??i若直線 l的斜率為 1,求 AB的長 ?！?4分 （ 2） 設(shè) 11( , )M x y ， 22( , )N x y ，將 y kx m??代入橢圓方程得 2 2 2( 4 3 ) 8 4 12 0k x k m x m? ? ? ? ?． 21 2 1 2228 4 1 2,4 3 4 3k m mx x x xkk??? ? ? ???……………… 6分 11y kx m??， 22y kx m??， 221 2 1 2 1 2( 2 ) ( )y y k x x k m x x m? ? ? ? ?， MN 為直徑的圓過點 A 0AM AN? ? ? ， 227 16 4 0m k m k? ? ? ?， 27mk? ?? 或 2mk?? 都滿足 0?? ，…………………… 9分 若 2mk?? 直線 l 恒過定點 (2,0) 不合題意舍去， 若 27mk?? 直線 l ： 2y k(x )7??恒過定點 2( ,0)7 。 …………… 4分 （Ⅱ）設(shè)直線 AE 方程為： 3( 1) 2y k x? ? ? ，代入 22143xy??得 2 2 23( 3 4 ) 4 ( 3 2 ) 4 ( ) 1 2 02k x k k x k? ? ? ? ? ? ? 設(shè) (x ,y )EEE , (x ,y )FFF ,因為點 3(1, )2A 在橢圓上，所以 2234 ( ) 1 22x 34F k k??? ? 32EEy kx k? ? ? ……… 8 分 又直線 AF的斜率與 AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以 — K代 K，可得 2234 ( ) 1 22x 34F k k??? ? 32EEy kx k? ? ? ? 所以直線 EF 的斜率 ( ) 2 12F E F EEF F E F Ey y k x x kK x x x x? ? ? ?? ? ??? 即直線 EF的斜率為定值，其值為 12 。 （ 1）求橢圓 C的方程； （ 2） E、 F是橢圓 C上的兩個動點，如果直線 AE的斜率與 AF 的斜率互為相反數(shù)，證明直線 EF 的斜率為定值，并求出這個定值。 （方法二）因為 1 2 222 2 2( 4 ) ( 2 ) 86m m m m mm m ma a a a aa a a? ? ? ?? ? ???? ? ? ?為數(shù)列 ??na 中的項， 本卷第 20 頁（ 共 33 頁） 故m+28 a 為整數(shù)，又由（ 1）知： 2ma? 為奇數(shù)，所以 2 2 3 1 , 1 , 2ma m m? ? ? ? ? ?即 經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有 2m? 。由垂徑定理，得：：圓心 1C 到直線 1l 與 2C 直線 2l 的距離相等。 時，求直線 PQ 的方程 . 解：（ 1）橢圓的標準方程為： 148 22 ?? yx （ 2）連接 QM， OP， OQ， PQ 和 MO 交于點 A， 有題意可得 M（ 4， m）， ∵∠PMQ=60 0 ∴∠OMP=30 0， ∵ 24)4(2422 22 ??????? mOMOP ， ∵m0,∴m=4,∴M( 4,4) ∴ 直線 OM的斜率 1??OMK ,有 MP=MQ,OP=OQ可 知 OM⊥PQ, 1?? PQK ,設(shè)直線 PQ的方程為 y=x+n ∵∠OMP=30 0,∴∠POM=60 0,∴∠OPA=30 0, 222 ??? OAOP? ,即 O到直線 PQ的距離為 2 , 222 ????? nn (負數(shù)舍去 ),∴PQ 的方程為 xy+2=0 C1： x 2＝ 4 y 的焦點為 F，曲線 C2與 C1關(guān)于原本卷第 18 頁（ 共 33 頁） 點對稱． (Ⅰ ) 求曲線 C2的方程； (Ⅱ) 曲線 C2 上是否存在一點 P（異于原點），過點 P作 C1的兩條切線 PA， PB，切點 A， B，滿足 | AB |是 | FA | 與 | FB | 的等差中項？若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請說明理由． (Ⅰ )解；因 為曲線 1C 與 2C 關(guān)于原點對稱，又 1C 的方程 2 4xy? ， 所以 2C 方程為 2 4xy?? ． ………… 5分 (Ⅱ )解：設(shè) 200( , )4xPx?， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y , 12xx? ． 214yx? 的導數(shù)為 12yx?? ，則切線 PA 的方程 1 1 11 ()2y y x x x? ? ?， 又 21114yx?，得1112y x x y??， 因點 P 在切線 PA 上 ,故 20 1 0 11142x x x y? ? ?． 同理 , 20 2 0 21142x x x y? ? ?． 所以直線 2001142x x x y? ? ?經(jīng)過 ,AB兩點， 即直線 AB 方程為 2001142x x x y? ? ?,即 2001124y x x x??， 代入 2 4xy? 得 220220x x x x? ? ?，則 1 2 02x x x?? , 21 2 0xx x?? ， 所以 2 2 2 20 1 2 1 2 0 01| | 1 ( ) 4 ( 8 2 )4A B x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 由拋物線定義得 1| | 1FA y??， 2| | 1FB y??． 所以 21 2 0 1 2 011| | | | ( ) 2 ( ) 222F A F B y y x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 由題設(shè)知， | | | | 2 | |FA FB AB??，即 2 2 2 20 0 03( 2 ) 4 (8 2 )2 x x x? ? ?， 解得 20 32 3 5223x ??，從而 2001 1 3 8 34 2 3yx ?? ? ?． 綜上，存在點 P 滿足題意，點 P 的坐標為 2 2 3 ( 8 3 1 3 ) 1 3 8 3( , )2 3 2 3? ? 或 2 2 3 ( 8 3 1 3 ) 1 3 8 3( , )2 3 2 3? ?? ． 本卷第 19 頁（ 共 33 頁） ………… 15 分 xoy 中，已知圓 221 : ( 3 ) ( 1) 4C x y? ? ? ?和圓 222 : ( 4) ( 5 ) 4C x y? ? ? ?， （ 1）若直線 l 過點 (4,0)A ，且被圓 1C 截得的弦長為 23，求直線 l 的方程； （ 2）設(shè) P 為平面上的點，滿足：存在過點 P 的無窮多對互相垂直的直線 1l 和 2l ，它們分別與圓 1C 和圓 2C 相交，且直線 1l 被圓 1C 截得的弦長與直線 2l 被圓 2C 截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點 P的坐標。 ∴直線 AB的方程為 y+43 = 21? (x+21 ),即 x+2y+2=0. 2 4yx? ，點 (1, 0)M 關(guān)于 y 軸的對稱點為 N ，直線 l 過點 M 交拋物線于 ,AB兩點． （ 1）證明：直線 ,NA NB 的斜率互為相反數(shù)； （ 2）求 ANB? 面積的最小值； （ 3）當點 M 的坐標為 ( ,0)m ， (0m? 且 1)m? ．根據(jù)（ 1）（ 2）推測并回答下列問題（不必說明理由）： ①直線 ,NA NB 的斜率是否互為相反數(shù)？ ② ANB? 面積的最小值是多少？ （ 1）設(shè)直線 l 的方程為 ? ?1 ( 0)y k x k? ? ?． 由 ? ?21,4,y k xyx? ? ??? ??? 可得 ? ?2 2 2 22 4 0k x k x k? ? ? ?． 設(shè) ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y，則 21 2 1 2224,1kx x x xk ?? ? ?． ∴ 12 4yy?? ∴ ? ?1, 0N ? 本卷第 17 頁（ 共 33 頁） 1 2 1 2221 2 1 2441 1 4 4N A N B y y y ykk x x y y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?221 2 2 1 2 1 1 22 2 2 21 2 1 24 4 4 4 ( 4 4 4 4 ) 04 4 4 4y y y y y y y yy y y y??? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?． 又當 l 垂直于 x 軸時，點 ,AB關(guān)于 x 軸，顯然 0,N A N B N A N Bk k k k? ? ? ?． 綜上， 0,N A N B N A N Bk k k k? ? ? ?． 5分 （ 2） ? ? ? ?21 2 1 2 1 2 1 24 4 8NA BS y y y y y y x x? ? ? ? ? ? ? ? ?=214 1 4k??． 當 l 垂直于 x 軸時， 4NABS? ? ． ∴ ANB? 面積的最小值等于 4 ． 10 分 （ 3）推測：① NA NBkk?? ； ② ANB? 面積的最小值為 4mm． 13 分 E：2222 byax ? =1（ a＞ b＞ o）的離心率 e= 22 ，且經(jīng)過點（ 6 ,1）， O 為坐標原點。 22:1xyC ab??的短軸長等于焦距，橢圓 C 上的點到右焦點 F 的最短距離為21? ． 本卷第 15 頁（ 共 33 頁） （ Ⅰ ） 求橢圓 C的方程； （ Ⅱ ） 過點 (2 0)E ， 且斜率為 ( 0)kk? 的直線 l 與 C 交于 M 、 N 兩點， P 是點 M 關(guān)于 x 軸的對稱點，證明： N F P、 、 三點共線 ． (I)由題可知： 2221bcac????? ? ??? ………… 2分 解得 2, 1ac??， 1b?? ?橢圓 C的方程為 2 2:12xCy??………………………… 4分 （ II） 設(shè)直線 l ： ( 2)y k x??， 11()M x y， ， 22()N x y， ， 11()P x y?， ， (1 0)F ， ， 由 22( 2)12y k xx y????? ????，得 2 2 2 2( 2 1 ) 8 8 2 0k x k x k? ? ? ? ?.………… 6分 所以 212 2821kxx k?? ?， 212 28221kxx k ?? ?. …………………… 8分 而 2 2 2 2( 1 ) ( 1 2 )F N x y x kx k? ? ? ? ?， ，uuur ，1 1 1 1( 1 ) ( 1 2 )F P x y x kx k? ? ? ? ? ? ?u ur ， ， ………… 10分 1 2 2 1( 1 )