【正文】 5 2 (均舍去 ) ??????? 5分 若 b≥ 3，則當(dāng) y = 3 時(shí)， | NH |2有最大值 2b2+18 ，所以由 2b2+18=50解得 b2=16 ∴所求橢圓方程為 x232 + y216 = 1?????? 7分 (ii) 設(shè) A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 )， Q( x0 , y0 )，則由???x1232 + y1216 = 1x2232 + y2216 = 1 兩式相減得x0+2ky0=0；???① ???????? 8分 又直線(xiàn) PQ⊥直線(xiàn) l，∴直線(xiàn) PQ 的方程為 y= 1k x 33 ，將點(diǎn) Q( x0 , y0 )坐標(biāo)代入得 y0= 1k x0 33 ???② ???????? 9分 由①②解得 Q( 2 33 k , 33 )，而點(diǎn) Q必在橢圓的內(nèi)部 ∴ x0232 + y0216 1，????? 10 分 由此得 k2 472 ，又 k≠ 0 ∴ 942 k 0或 0 k 942 故當(dāng) ( 942 , 0 ) ∪ ( 0 , 942 )時(shí)， A、 B兩點(diǎn)關(guān)于過(guò)點(diǎn) P、 Q、的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。 解： (1)、由幾何性質(zhì)知的取值范圍為： 22 ≤ e＜ 1?????? 3分 (2)、 (i) 當(dāng)離心率 e 取最小值 22 時(shí)，橢圓方程可表示為 x22b2 + y2b2 = 1 。 10′ 80、 (江西省鷹潭市 2022 屆高三第一次模擬 )橢圓 C： )0(,12222 ???? babyax 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 )0,(),0,( 21 cFcF ? ,M 是橢圓上一點(diǎn)，且 滿(mǎn)足 021 ?? MFMF 。 （ 2）直線(xiàn) l 經(jīng)過(guò) 1(0, )8F 且斜率存在，設(shè)斜率為 k（顯然 k≠ 0），截距為 18 ， 即直線(xiàn) l ： y=kx+18 由已知得： 12 121212 ( )yy xxx x k? ? ? ? ?? ≠ 0 即 l 的斜率存在時(shí)， AB 的中點(diǎn)不可能落在 y 軸上即題設(shè) A、 B點(diǎn)不存在。 證明：設(shè) A（ x1,y1） ,B(x2,y2)， AB 的中點(diǎn)落在 y 軸上即 x1＋ x2=0； ∵拋物線(xiàn) y=2x2的焦 點(diǎn) 1(0, )8F 3′ 充分性：當(dāng) AB的中點(diǎn)落在 y 軸上即 x1＋ x2=0時(shí)， y1=y2， A、 B關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn) l 即為 y軸，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)。 =13 ∴178。 =2313 34k? ? 12′ 由于 k可以取任意實(shí)數(shù)，故178。 =（ x1＋ 4,y1）178。的一束平行光線(xiàn)，將一個(gè)半徑為 3 的球投影在水平地面上，形成一個(gè)橢圓．若以該橢圓的中心為原點(diǎn)，較長(zhǎng)的對(duì)稱(chēng)軸為 x軸，建立平面直角坐標(biāo)系． （ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）若 球的某一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)在地面上的投影恰好分別落在橢圓邊界的 A、 B兩點(diǎn)上，且已知 C（－ 4， 0），求178。 令 2044,44 22 ????????? bbbbb ，∴直線(xiàn) l 過(guò)定點(diǎn)（ 2， 0）。由已知得 2 2 2 2 200 344 , ( ) ( ) 4 , 455x y b b b? ? ? ? ? ? ?，故所求的橢圓方程為 22184xy?? . 7 (江蘇省前黃高級(jí)中學(xué) 2022 屆高三調(diào)研 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線(xiàn) l 與拋物線(xiàn)xy 42 ? 相交于不同的 ,AB兩點(diǎn) . （Ⅰ）如果直線(xiàn) l 過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，求 OAOB? 的值； （Ⅱ）如果 4,OA OB? ?? 證明直線(xiàn) l 必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn) . 解：（Ⅰ）由題意：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為（ 1， 0） 設(shè) ,41: 2 xytyxl ??? 代入拋物線(xiàn) 消去 x 得 ),(),(,044 22112 yxByxAtyy 設(shè)??? 則 4,4 2121 ???? yytyy ， 21 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( ) 1O A O B x x y y ty ty y y t y y t y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 34144 22 ?????? tt （Ⅱ）設(shè) xybtyxl 4: 2 ??? 代入拋物線(xiàn) 消去 x，得 2 1 1 2 24 4 0 , ( , ) , ( , )y ty b A x y B x y? ? ? 設(shè)，則 y1+y2=4t ， y1y2=－ 4b。 2( 1)bcbc??＝－1． ??????????????? 12 分 解出 c ＝ 0 或 2 ，與 0 ＜ c ＜ 1 矛盾，????????????????????? 14分 所以直線(xiàn) AB 與 ⊙ P 不能相切． ?????????????????????? 15 分 評(píng)講建議： 此題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與圓以及橢圓的相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，從而大膽求出交點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于橢圓中 a， b， c的齊次等式得離心率的范圍．第二小題亦可以用平幾的知識(shí)：圓的切割線(xiàn)定理，假設(shè)直線(xiàn) AB 與⊙ P相切，則有 AB2＝ AF179。 由 A ． C ． M 三點(diǎn)共線(xiàn)有 2 0 200M yxx???，解得 22M xx y? ?．同理由 B ． C ． N 三點(diǎn)共線(xiàn)，解得 22N xx y? ?． 0?? NM xx? ， 22 422MN xxO M O N x x yy? ? ? ? ? ? ???， 化簡(jiǎn)得點(diǎn) C 的軌跡方程為 22 4( 0)x y x? ? ? （ 2）解略。 (1)求點(diǎn) C 的軌跡方程 E ； (2)若 Q 是 E 上任一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 在線(xiàn)段 OQ 上，求 ()PA PB PQ??的最小值。 解：（Ⅰ）易知 3,1,2 ??? cba 。 （Ⅰ）若 P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且 4521 ??PFPF， 求點(diǎn) P 的坐標(biāo)。 記 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y AB中點(diǎn) 00( , ),N x y 則 212 24 ,21kxx k? ? ? ? AB? 的垂直平分線(xiàn) NG 的方程為001 ( ).y y x xk? ? ? ? 令 0,y? 得 2 2 200 2 2 2 22 1 1 .2 1 2 1 2 1 2 4 210 , 0 ,2GGk k kx x k yk k k kkx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?點(diǎn) G橫坐標(biāo)的取值范圍為 1( ,0).2? ??????? 13分 72 、 ( 吉 林 省 吉 林 市 2022 屆 上 期 末 ) 拋物線(xiàn) C 的 方 程 為)0)(,(),0( 0002 ??? xyxPCaaxy 上一點(diǎn)過(guò)拋物線(xiàn)，作斜率為 21,kk 的兩條直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn) C 于 A ),(),( 2211 yxByx 兩點(diǎn)（ P、 A、 B 三點(diǎn)互不相同），且滿(mǎn)足).10(012 ????? ??? 且kk （ 1）求拋物線(xiàn) C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程； （ 2）設(shè)直線(xiàn) AB上一點(diǎn) M滿(mǎn)足 ,MABM ?? 證明：線(xiàn)段 PM的中點(diǎn)在 y軸上； （ 3）當(dāng) 1?? 時(shí)，若點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 1， — 1），求∠ PAB為鈍角時(shí)，點(diǎn) A的縱坐標(biāo)的取 值范圍 . 解：（ 1）由拋物線(xiàn) C 的方程 )0(2 ?? aaxy 得， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 .41),41,0( aya ??準(zhǔn)線(xiàn)方程為 ?????????????? 2分 （ 2）設(shè)直線(xiàn) PA的方程為 )(),( 020220 xxkyyPBxxkyy ?????? 的方程為直線(xiàn) 點(diǎn)??? ? ???2 0101100)(),(),( axy xxkyyyxAyxP 的坐標(biāo)是方程組和點(diǎn) 的解 將②式代入①式，得 000112 ???? yxkxkax ， ④ ⑤ 于是011101 , xakxakxx ???? 故 ③???????????????? 4分 又點(diǎn)??? ? ???2 0102200)(),(),( axy xxkyyyxByxP 的坐標(biāo)是方程組和點(diǎn) 的解 將⑤式代入④式，得 000222 ???? yxkxkax ， 于是022202 , xakxakxx ???? 故 ???????????????? 4分 由已知得， .,01212 xkaxkk ????? ?? 則 ⑥ 設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 .1,),( 12 ??? ???? xxxMABMyxMMM 則則 將③式和⑥式代入上式，得 .0,10000 ???????? xxxxxx MM 即?? 所以線(xiàn)段 PM 的中點(diǎn)在 y軸上 ???????????????????? 8分 （ 3 ） 因 為 點(diǎn) P （ 1 ，－ 1 ） 在 拋 物 線(xiàn).,1, 22 xyaaxy ????? 所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為所以上 由③式知 211211 )1(,1 ???????? kyxykx 得代入 將 1?? 代入⑥式得 211212 )1(,1 ??????? kyxykx 得代入 因此，直線(xiàn) PA、 PB分別與拋物線(xiàn) C的交點(diǎn) A、 B的坐標(biāo)為 21111111111211111112111211121)1(.02120,),12)(2(2)2(4)2(2)4,2(),2,2(,).12,1(),12,1(????????????????????????????????kyyAkkkABAPBAPP A BkkkkkkkkABAPkkABkkkAPkkkBkkkA滿(mǎn)足的縱坐標(biāo)又點(diǎn)或的取值范圍是求得故必有三點(diǎn)互不相同為鈍角且因?yàn)樗杂谑?故當(dāng) 411,021。過(guò)點(diǎn) F的直線(xiàn) l 交橢圓于 A、 B兩點(diǎn) ． （ 1）若直線(xiàn) l 的傾斜角 4??? ，求 AB ； （ 2）求弦 AB的中點(diǎn) M的軌跡； （ 3）設(shè)過(guò)點(diǎn) F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于 A、 B兩點(diǎn)， 線(xiàn)段 AB 的垂直平分線(xiàn)與 x 軸交于點(diǎn) G，求點(diǎn) G橫坐標(biāo)的取值 范圍 ． 解：（ 1） 直線(xiàn) l 方程為 1??xy 與 2 2 12x y??聯(lián)立得 2 12 4 4 23 4 0 33x x x x A B? ? ? ? ? ? ?， ??????? 4分 （ 2）設(shè) 弦 AB的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ），（），（），（ 2211 yxByxAyx 依題意有 ????????????????????????????12212122121212122222121xyxxyyyyyxxxyxyx1814121022222 ??????? yxyxx）（ ① ② 所以 弦 AB的中點(diǎn) M的軌跡是以 ），（ 021? 為中心，焦點(diǎn)在 x 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 1，短軸長(zhǎng)為 22 的橢圓。若以 B 為原點(diǎn)， BC 所在直線(xiàn)為 x軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖）： （Ⅰ）．求點(diǎn) M的軌跡方程； （Ⅱ）．若曲線(xiàn) S是由 點(diǎn) M的軌跡及其關(guān)于邊 AB 對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)組成的，等腰梯形 1 1 1 1ABCD的三邊 1 1 1 1 1 1,AB BC C D分別與曲線(xiàn) S 切于點(diǎn) ,PQR .求梯形1 1 1 1ABCD 面積的最小值 . 解：（ 1）如圖，設(shè) M（ x,y）， / 0( ,2)Bx ，又 E（ 0， b） 顯然直線(xiàn) l 的斜率存在，故不妨設(shè)直線(xiàn) l 的方程為 y=kx+b,則/ 0021 2BB xkkxk? ? ? ? ? ? 而 /BB 的中點(diǎn) 0( ,1)2x 在直線(xiàn) l上， 故 20 0 0( ) 1 12 2 4x x xbb? ? ? ? ? ? ?，① 由于 BEEBEM ??? ? 00( , ) ( 0 , ) ( , 2 ) 2xxx y b b x b yb??? ? ? ? ? ? ? ???代 入 ① 即 得2 14xy?? ? ，又 002x?? 點(diǎn) M的軌跡方程 2 14xy?? ? （ 02x??） 6分 （ 2）易知曲線(xiàn) S的方程為 2 14xy?? ? ( 2 2)x? ? ? 設(shè)梯形 1 1 1 1ABCD 的面積為 s ，點(diǎn) P