【正文】 bx? )1(42 ??? yx 即 234)( +34 )1212( ?b =4[ 234)( － 34 )1212( ?b 得 ?b 32 ????? 11 分 將其代入方程①得 2??Ax ?Dx 310 因為曲線 )1(42 ?? yx 的橫坐標范圍為 ),2()2,( ????? ? ，所以這樣的直線 l 不存在。????? 13分 5 (湖北省鄂州市 2022 年高考模擬 )已知橢圓 )0(12222 ???? babyax 的左、右焦點分別是 F1（－ c， 0）、 F2（ c， 0）， Q是橢圓外的動點，滿足 .2|| 1 aQF ? 點 P 是線段 F1Q與該橢圓的交點，點 T在線段 F2Q上，并且滿足 .0||,0 22 ??? TFTFPT （Ⅰ）設 x 為點 P的橫坐標，證明1||cFP a xa??； （Ⅱ）求點 T的軌跡 C的方程； （Ⅲ）試問：在點 T 的軌跡 C 上，是否存在點 M，使△ F1MF2的面積 S= .2b 若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在， 請說明理由． 解 （Ⅰ）設點 P的坐標為（ x,y） ,由 P（ x,y）在橢圓上，得 22 2 2 2 21 2| | ( ) ( ) bF P x c y x c b xa? ? ? ? ? ? ?2( ) .caxa?? 又由 ,xa?? 知 0ca x c aa? ? ? ? ?， 所以1| | .cFP a xa?? （Ⅱ） 當 0|| ?PT 時，點（ a ， 0）和點（－ a ， 0）在軌 跡上． 當 | | 0PT? 且 2| | 0TF? 時，由 2| | | | 0PT TF??，得 2PT TF? ． 又 2| | | |PQ PF? ，所以 T為線段 F2Q的中點． 在△ QF1F2中，11| | | |2OT FQ a??，所以有 2 2 y a?? 綜上所述，點 T的軌跡 C的方程是 2 2 y a?? （Ⅲ） C上存在點 M（ 00,yx ）使 S= 2b 的充要條件是 2 2 20020,1 2 | | .2x y ac y b? ???? ????③④ 由③得 ay ?|| 0 ，由④得 .|| 20 cby ? 所以，當 cba 2? 時，存在點 M，使 S= 2b ； 當cba 2?時，不存在滿足條件的點 M． 當cba 2?時， 1 0 0 2 0 0( , ) , ( , )M F c x y M F c x y? ? ? ? ? ? ?， 由 2 2 2 2 2 21 2 0 0M F M F x c y a c b? ? ? ? ? ? ?， 1 2 1 2 1 2| | | | c osM F M F M F M F F M F? ? ? ?， 21 2 1 21 | | | | s in2S M F M F F M F b? ? ? ?，得 .2tan 21 ?? MFF 【總結點評】平面向量與橢圓的綜合問題是《考試大綱》所 強調(diào)的問題，應熟練掌握其解題技巧，一般地，在這類問題 種，平面向量只起“背景”或“結論”的作用，幾乎都不會 在向量的知識上設置障礙，所考查的核心內(nèi)容仍然是解析幾 何的基本方法和基本思想，比如本題（Ⅰ）本質(zhì)是焦半徑公 式，核心內(nèi) 容還是橢圓的第二定義的轉化思想．（Ⅱ） 由 “ PT 其實為線段 QF2的垂直平分線”可聯(lián)想到下面的題目：如右圖， Q 為長軸為 2a 橢圓上一動點， QP是∠ F1QF2的外角平分線，且 F1P⊥ QP，延長 F2Q，使 F2Q與 F1P交于點 M，則 |QF1|=|QM|，所以點 M的軌跡是以 F2為圓心 2a為半徑的圓，進一步可得到 P的軌跡是以 O為圓心 a為半徑的圓． 60 、 ( 湖 北 省 黃 岡 市 麻 城 博 達 學 校 2022 屆 三 月 綜 合 測 試 ) 已知直線)0(101 2222 ??????? babyaxyx 與橢圓 相交于 A、 B 兩點， M 是線段 AB 上的一點，BMAM ?? ，且點 M 在直線 xyl 21: ? 上 . （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）若橢圓的焦點關于直線 l的對稱點在單位圓 122 ??yx 上，求橢圓的方程 . 解：（Ⅰ）由 BMAM ?? 知 M是 AB的中點， 設 A、 B兩點的坐標分別為 ),(),( 2211 yxByxA 由 02)(:.1,0122222222222 ???????????????baaxaxbabyaxyx得 222212122221 22)(,2 ba bxxyyba axx ??????????， ∴ M點的坐標為 ),(222222 ba bba a ?? 4分 又 M點的直線 l上： 02222222 ????? ba bba a 222222 2)(22 cacaba ?????? .22??? ace 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 cb? ，不妨設橢圓的一個焦點坐標為 )0,(),0,( bFbF 設 關于直線 l： xy 21? 上的對稱點為 ),( 00 yx ， 則有?????????????????????????.5453:.0222,1210000000bybxybxbxy解得 10分 由已知 ,1)54()53(,1 222020 ????? bbyx 12 ??b ，∴所求的橢圓的方程為 12 22 ??yx 12分 6 (湖北省黃岡市 2022 年秋季高三年級期末考試 )在△ ABC 中 23AC? ， B 是橢圓22154xy??在 x軸上方的頂點， l 是雙曲線 222xy? ?? 位于 x 軸下方的準線，當 AC在直線 l 上運動時。 (1)求△ ABC外接圓的圓心 P的軌跡 E的方程； (2)過定點 3(0, )2F 作互相垂直的直線 12,ll，分別交軌跡 E 于 M、 N 和 R、 Q，求四邊形 MRNQ面積的最小值。 解：（ 1）由橢圓方程 22154xy??及雙曲線方程 222xy? ?? 可得點 (0,2),B 直線 l 方程是1y?? 2 3,AC?? 且 AC 在直線 l 上運動。 可設 ( 3 , 1 ) , ( 3 , 1 ) ,A m C m? ? ? ? 則 AC 的垂直平分線方程為 xm? ① AB 的垂直平分線方程為 1 3 3()2 2 2mmyx??? ? ? ② P 是△ ABC的外接圓圓心， ?點 P的坐標 (, )xy 滿足方程①和② 由①和②聯(lián)立消去 m 得 26xy? 故圓心 P的軌跡 E 的方程為 2 6xy? (2)由圖可知，直線 1l 和 2l 的斜率存在且不為零，設 1l 的方程為 32y kx??， 12ll? ， 2l? 的方程為 132yxk?? ? 由???y＝ kx＋ 32y＝ 16x2 得 2 6 9 0x kx? ? ? △ = 226 36 0,k ? ? ?直線 1l 與軌跡 E交于兩點。 設 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y，則 1 2 1 26 , 9x x k x x? ? ?。 2 2 2 2 21 2 1 2| | 1 ( ) 4 1 3 6 3 6 6 ( 1 ) .M N k x x x x k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 同 理可得：21| | 6(1 ).RQ k???四邊形 MRNQ的面積 22221 1 1| | | | 1 8 ( 2 ) 1 8 ( 2 2 ) 7 2 .2S M N R Q k kkk? ? ? ? ? ? ? ? ? 當且僅當 221k k?，即 1k?? 時，等號成立。 故四邊形 MNRQ的面積的最小值為 72。（ 13 分） 6 (湖北省荊門市 2022屆上期末 )已知 F F2為雙曲線 C： 221xyab??的左、右焦點， O為坐標原點 ， P 在雙曲線的左支上，點 M 在右準線上，且滿足： 1FO PM? ，11()| | | |OF OMOP O F O M?? ? ?（λ＞ 0） （ 1）求此雙曲線的離心率； （ 2）若過點 N（ 2 ， 3 ）的雙曲線 C的虛軸端點分別為 BB2（ B1在 y軸正半軸上），點 A、 B在雙曲線上，且 22B A B B?? ，110BA BB??，求雙曲線 C和直線 AB的方程 . 解：（ 1）法一：依題意四邊形 OF1PM為菱形，設 P（ x， y）則 F1（－c， 0）， M（ 2ac ， y） 222 2 212 2 2 2221 2| | | | ( )()0 ( ) 0abF O OM y c xcca b a cF M OP c x y y? ?? ? ? ? ? ?? ??? ????? ? ? ? ? ? ???代入 221xyab??得 4 2 22 2 2 1b a ca c c??? 化簡得 e＝ 2 ????? 4分 法二： 1FO PM? ? OF1PM 為平行四邊形， 又 11()| | | |OF OMOP O F O M?? ? ?（λ＞ 0）知 P在 1FOM? 的角平分線上 ∴四邊形 OF1PM為菱形，且邊長為 c ，∴ 2122P F a P F a c? ? ? ? ??? 4分 由第二定義知 2 ,PF ePM?即 221ac eece? ? ? ? ? 又 12ee? ? ? （ 2）2 2 2221232231a b c ac ba cab?? ?? ??? ??? ? ???????? ????∴雙曲線 C的方程為 22 13yx ?? ????? 8分 ∵ 22B A B B?? ∴ 過 B2的直線交曲線 C于 A、 B 兩點，且 11BA BB? 設直線 AB： 3y kx?? 代入 22 13yx ??得 223 ) 2 3 6 0k x kx? ? ? ?（ 2223 ( 6 , 3 ) ( 3 , 6 )( 2 3 ) 2 4 ( 3 ) 0k kkk? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???0 設 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）由 11BA BB? 21 2 1 2 1 2 1 2222( 3 3 ) ( 3 3 ) 0 ( 1 ) 2 3 ( ) 12 06 2 3( 1 ) 2 3 12 0 533x x k x k x k x x k x xkk k kkk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ∴直線 AB的方程為 53yx?? ? 6 (湖北省荊州市 2022屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測 )如圖，已知 EF、 為平面上的兩個定點， G 為動點， | | 6EF? ， | | 10FG? 且 2EH EG? ，0HPGE? （ P 是 HP 和 GF 的交點） ⑴建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼登蟪鳇c P 的軌跡方程； ⑵若點 P 的軌跡上存在兩個不同的點 A、 B ，且線段 AB 的中垂線與EF （或 EF 的延長線）相交于一點 C ，證明： 9||5OC? （ O 為 EF的中點） 解：⑴如圖 1，以 EF 所在的直線為 x 軸， EF 的中垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系 FEHPG 圖 1xyPHGO FE 圖 2xyOCBAPHGFE 由題設 2 , 0E H E G H P G E?? ?| | | |PG PE? ，而 | | | | | | 10 6PF PE FG? ? ? ? ?點 P 是以 EF、 為焦點、長軸長為 10 的橢圓，故點 P 的軌跡方程為 22125 16xy?? （ 6分） ⑵如圖 2，設 1 1 2 2 0( , ) , ( , ) , ( , 0)A x y B x y C x， ? 12xx? ，且 | | | |CA CB? ， 即 2 2 2 21 0 1 2 0 2( ) ( )x x y x x y? ? ? ? ?，又 A、 B 在軌跡上， ? 2 2 2 21 1 2 21, 12 5 1 6 2 5 1 6x y x y? ? ? ?即 2 2 2 21 1 2 21 6 1 61 6 , 1 62 5 2 5y x y x? ? ? ? 代入整理得： 222 1 0 2 192