【正文】 本資料來源于《七彩教育網(wǎng)》 全國名校高考專題訓練 08 圓錐曲線 三、解答題 (第三部分 ) 5 (河北省正定中學 2022 年高三第五次月考 )已知直線 l 過橢圓 E: 2222xy??的右焦點F ，且與 E相交于 ,PQ兩點 . (1)設 1 ()2OR OP OQ??（ O 為原點），求點 R 的軌跡方程； (2)若直線 l 的傾斜角為 60176。，求 11| | | |PF QF?的值 . 解： (1)設 1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )P x y Q x y R x y 1 1 2 211( ) ( , ) [ ( , ) ( , ) ]22O R O P O Q x y x y x y? ? ? ? ?121222xxxyyy?? ??????? ??? 由 22 2 22 2 12xx y y? ? ? ? ?， 易 得 右 焦 點 (1,0)F （ 2分） 當直線 lx? 軸時， 直線 l 的方程是： 1x? ，根據(jù)對稱性可知 (1,0)R 當 直線 l 的斜率存在時，可設 直線 l 的方程為 ( 1)y k x?? 代入 E有 2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k x k? ? ? ? ?28 8 0k?? ? ? 。 212 2421kxx k?? ?（ 5分） 于是 ( , ):Rxy x? 212222 2 1xx kk? ? ?。 ( 1)y k x?? 消去參數(shù) k 得 2220x y x? ? ? 而 (1,0)R 也適上式，故 R 的軌跡方程是 2220x y x? ? ? （ 8分） (2)設橢圓另一個焦點為 39。F ， 在 39。PFF? 中 039。 120 , | 39。 | 2 ,P F F F F? ? ?設 ||P m? ，則 | 39。 | 2 2PF m?? 由余弦定理得 2 2 2 0( 2 2 ) 2 2 2 c os 120m m m? ? ? ? ? ? ?2 2 1m?? ? 同理，在 39。QFF? ，設 ||QF n? ，則 | 39。 | 2 2QF m?? 也由余弦定理得 2 2 2 0( 2 2 ) 2 2 2 c os 60n n n? ? ? ? ? ? ?22 2 1n?? ? 于是 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 22| | | | 2 2P F Q F m n ??? ? ? ? ? ? （ 12分） 5 (河南省開封市 2022屆高三年級第一次質量檢 )雙曲線 )0,0(12222 ???? babyax 的左、右焦點分別為 F F2， O為坐標原點，點 A在雙曲線的右支上，點 B在雙曲線左準線上， ., 22 OBOAOAOFABOF ???? （ 1）求雙曲線的離心率 e； P Q o x y F （ 2）若此雙曲線過 C（ 2， 3 ），求雙曲線的方程； （ 3）在（ 2）的條件下， D D2分別是雙曲線的虛軸端點（ D2在 y軸正半軸上），過 D1的直線 l交雙曲線 M、 N， lNDMD 求直線,22 ? 的方程。 解：（ 1） ?? ,2 ABOF 四邊形 F2ABO是平行四邊形 0,0)( 22 ???? BFOAOBOFOA 即 ,2BFOA?? ∴四邊 形 F2ABO是菱形 . ∴ .|||||| 22 cOFAFAB ??? 由雙曲線定義得|| ||,2|| 11 ABAFecaAF ??? ,122 ???? ec ca ,022 ??? ?ee )1(2 舍去???? ee （ 2） ,2 ace ?? 22 3,2 abac ??? ，雙曲線方程為 ,13 2222 ?? ayax 把點 C )3,2( 代入有 , 34 222 ???? aaa ∴雙曲線方程 .193 23 ?? yx （ 3） D1（ 0，－ 3）， D2（ 0， 3），設 l的方程為 ),(),(,3 2211 yxNyxMkxy ?? 則由 0186)3(19332222 ??????????????kxxkyxkxy 因 l與與雙曲線有兩個交點， .3???k 221221 3 18,3 6 kxxkkxx ????????? 99)(3,3 186)( 212122122121 ?????????????? xxkxxkyykxxkyy ,),3,(),3,( 22222112 NDMDyxNDyxMD ?????? 09)(3 112121 ???????? yyyyxx , 18393 18 222 ?????????? kkk 即 .5???k 故所求直線 l方程為 3535 ????? xyxy 或 5 (河南省濮陽市 2022年高三摸底考試 )直線 AB過拋物線 x2＝ 2py(p0)的焦點 F，并與其相交于 A、 B兩點， Q是線段 AB的中點， M是拋物線的準線與 y軸的交點， O是坐標原點． (1)求 MN 178。 MB 的取值范圍； (2)過 A、 B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于 N點． 求證： MN 178。 OF ＝ 0， NQ ∥ OF ． 5設圓滿足 :（ 1）截直線 y=x所得弦長為 2。（ 2）被直線 y=－ x分成的一段劣弧所在的扇形面積是圓面積的 14倍．在滿足條件（ 1）、（ 2）的所有圓中 ,求圓心到直線 x+3y=0 的距離最小的圓的的方程． 解： 設所求圓的圓心為 P（ a,b） ,半徑為 r, 則 P到直線 y=x、直線 y=－ x的距離分別為2ba? 、2ba? ． ???（ 2 分） 由題設知圓 P截直線 y=－ x所得劣弧所對圓心角為 90176。 , 圓 P截直線 y=－ x 所得弦長為 2 r,故 r2= ????????? 222r（2ba? ） 2， 即 r2=（ a+b） 2， ????????（ 4分） 又圓 P截直線 y=x 所得弦長為 2，所以有 r2=1+ 2 )( 2ba? , 從而有 2262a ab b? ? ?． ????????（ 6分） 又點 P到直線 x+3y=0 的距離為 d=103ba? , 所以 10d2=|a+3b|2=a2+6ab+9b2=8b2+2≥ 2????????（ 8分） 當且僅當 b=0時上式等號成立 , 此時 5d2=1,從而 d 取得最小值 ,由此有 a=177。 2 ,r= 2 ． ????（ 10 分） 于是所求圓的方程為（ x－ 2 ） 2+y2=2 或（ x－ 2 ） 2+y2=2????（ 12分） 5 (河南省許昌市 2022年上期末質量評估 )已知橢圓 ＋ y2＝ l的左焦點為 F， O為坐標原點． ( I )求過點 O、 F，并且與橢圓的左準線 l相切的圓的方程 ； (Ⅱ )設過點 F的直線交橢圓于 A、 B兩點，并且線段 AB 的中點在直線 x＋ y＝ 0上，求直線 AB的方程． 5 (黑龍江省哈爾濱九中 2022年第三次模擬考試 )已知 )0,3(?P ,點 R 在 y 軸上，點 Q 在 x的正半軸上，點 M 在直線 RQ 上，且 0??RMPR MQRM 23, ?? . （ 1）當 R 在 y 軸上移動時，求 M 點軌跡 C； （ 2）若曲線 C 的準線交 x 軸于 N ，過 N 的直線交曲線 C 于兩點 AB ，又 AB 的中垂線交 x 軸于點 E ，求 E 橫坐標取值范圍； （ 3）在（ 2）中， ABE? 能否為正三角形 . 解： (1)設 MQRMyxM 23),(11 ??則由得 )28,0( ?R 又由 0??RMPR 得 .0)23,).(28,3( ?? yx 即 xy 42 ? ?????????? 4分 (2)由 (1)知 N（－ 1， 0）設得： )1( ?? xky 由 0)2(2)1( .4 22222 ??????? ?? ? kxkxkxky xy 得 由 010 2 ???? kk 且得 設 ),(),( 2211 yxByxA 對 kxxkyyk kkxx 4)2(221212221 ???????? ∴ AB的中點為 )2,2(22 kkk? ∴ AB的中點為 )2(1222k kxkky ????? 令 312020 ???? kxy 得 即 x0＞ 3. 5 (湖北省八校高 2022 第二次聯(lián)考 )已知 A,B是拋物線 ? ?2 20x py p??上的兩個動點， O 為坐標原點，非零向量 ,OAOB 滿足 OA OB OA OB? ? ?． （Ⅰ）求證：直線 AB 經過一定點； （Ⅱ）當 AB 的中點到直線 20yx??的距離的最小值為 255時，求 p 的值 ． 解： O A O B O A O B? ? ?, OA OB?? .設 A,B 兩點的坐標為（ 11,xy），（ 22,xy）則 221 1 2 22 , 2x py x py??. （ 1）經過 A， B兩點的直線方程為 2 1 1 2 1 1( )( ) ( )( ).x x y y y y x x? ? ? ? ? 由 221212,xxyypp??，得 22212 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) .22xxx x y y x xpp? ? ? ? ? 211 2 1 1()2xxx x y y x xp?? ? ? ? ?. 令 0x? ，得2111()2xxy y xp?? ? ?, 122xxy p? ??. 1 2 1 2 0,OA OB x x y y? ? ? ?從而 221212 2 04xxxx p??. 120xx? (否則 , ,OAOB 有 一個為零向 量 ), 212 4xx p? ?? . 代入①，得 2yp? ， AB? 始終經過定點 ? ?0,2p . ?????（ 6分） （ 2 ） 設 AB 中 點 的 坐 標 為 ( ,xy ) ，則 1 2 1 22 , 2 ,x x x y y y? ? ? ? 221 2 1 2 1 22 2 2 ( )x x py py p y y? ? ? ? ? ?. 又 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 ( ) 8x x x x x x x x p? ? ? ? ? ? ?, 224 8 4x p py? ? ? ， 即 21 2y x pp??.?????① AB的中點到直線 20yx??的距離 25yxd ??. 將①代入，得 22 211 12 2 ( ) ()5 5 5x p x x p p x p ppp pd? ? ? ? ??? ? ?. 因為 d的最小值為 2 5 2 5, , 2555p p? ? ? ?. ?????（ 12分） （若用導數(shù)求切線的斜率為 2的切點坐標，參考給分 .） 5 (湖北省三校聯(lián)合體高 2022屆 2月測試 )已知半圓 )0(422 ??? yyx ，動圓 M 與此半圓相切且與 x 軸相切。 （ 1）求動圓圓心 M 的軌跡方程。 （ 2）是否存在斜率為 31 的直線 l ，它與（ 1）中所得軌跡由左到右順次交于 A、 B、 C、 D 四個不同的點，且滿足 |AD|=2|BC|？若存在，求出 l 的方程，若不存在，說明理由。 （ 1）設動圓圓心 ),( yxM ，作 MN ⊥ x 軸于點 N ①若兩圓外切： 2|||| ?? MNMO ，則 222 ??? yyx 化簡得： 44222 ???? yyyx ? )1(42 ?? yx )0( ?y ????? 3分 ②若兩圓內切： ||2|| MNMO ?? ，則 yyx ??? 222 ? 222 44 yyyx ???? ? )1(42 ??? yx )0( ?y ????? 5分 綜上，動圓圓心的軌跡方程是 )1(42 ?? yx )0( ?y 及 )1(42 ??? yx )0( ?y ??? 6分 其圖象為兩條拋物線位于 x 軸上方的部分，如圖所示。 （ 2）假設直線 l 存在，可設 l 的方程為 ?y 31 bx? 。 依題意得，它與曲線 )1(42 ?? yx 交于點 DA, ，與曲線 )1(42 ??? yx 交于點 CB, 。 即 0121243 2 ???? bxx ① 0121243 2 ???? bxx ② ?||AD 231)(1? || DA xx ? ， ?||BC 231)(1? || CB xx ? ? ?||AD 2 ||BC ? || DA xx ? =2 || CB xx ? ?y 31 bx? )1(42 ?? yx ?y 31