【正文】 N|=4.點(diǎn)A到直線l的距離為d=.∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)(5+m)(5+m)≤2()3=128.∴S△≤8,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時(shí)取等號(hào).故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.【例19】 已知雙曲線C：2x2－y2=2與點(diǎn)P(1，2)。(1)求過(guò)P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0………………(*)(ⅰ)當(dāng)2－k2=0,即k=177。時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)(ⅱ)當(dāng)2－k2≠0,即k≠177。時(shí)Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①當(dāng)Δ=0,即3－2k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).②當(dāng)Δ＞0,即k＜,又k≠177。,故當(dāng)k＜－或－＜k＜或＜k＜時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).③當(dāng)Δ＜0，即k＞時(shí)，方程(*)無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=177。,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k＞時(shí)，l與C沒(méi)有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB==2但漸近線斜率為177。,結(jié)合圖形知直線AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.【例20】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(－4，0)、F2(4，0)，過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.故橢圓方程為=1.(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(－x1)+(－x2)=2,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0==4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.①②得 ①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,即9=0(x1≠x2)將 (k≠0)代入上式，得94+25y0(－)=0(k≠0)即k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立).由點(diǎn)P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.由點(diǎn)P(4，y0)在線段BB′(B′與B關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部，得－＜y0＜,所以－＜m＜.解法二：因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P(4,y0)，所以直線AC的方程為y－y0=－(x－4)(k≠0) ③將③代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－259k2=0所以x1+x2==8,解得k=y0.(當(dāng)k=0時(shí)也成立)(以下同解法一).【例21】 已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓相切．過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得和交于兩點(diǎn)，和軸交于點(diǎn)，并且點(diǎn)在線段上，又滿足．（1）求雙曲線的漸近線的方程；（2）求雙曲線的方程；（3）橢圓的中心在原點(diǎn)，它的短軸是的實(shí)軸．如果中垂直于的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，求橢圓的方程．解：（1）設(shè)雙曲線的漸近線的方程為：，則由漸近線與圓相切可得：．所以，．雙曲線的漸近線的方程為：．（2）由（1）可設(shè)雙曲線的方程為：．把直線的方程代入雙曲線方程，整理得．則 （＊）∵ ，共線且在線段上，∴ ，即：，整理得：將（＊）代入上式可解得：．所以，雙曲線的方程為．（3）由題可設(shè)橢圓的方程為：．下面我們來(lái)求出中垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡．設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，則．兩式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分．又由題，這個(gè)軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，所以，．所以，橢圓S的方程為：．點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，把直線投影到坐標(biāo)軸上（也即化線段的關(guān)系為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系）是常用的簡(jiǎn)化問(wèn)題的手段；有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，常常用到“設(shè)而不求”的方法；判別式和韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的常用工具）．【例22】 設(shè)拋物線過(guò)定點(diǎn)，且以直線為準(zhǔn)線．（1）求拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且線段恰被直線平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍． 解：（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，則其焦點(diǎn)為．由拋物線的定義可知：． 所以，． 所以，拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程為： ． （2）因?yàn)槭窍襇N的垂直平分線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由MN所唯一確定．所以，要求的取值范圍，還應(yīng)該從直線與軌跡相交入手．顯然，直線與坐標(biāo)軸不可能平行，所以，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得： 由于與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，所以，即：．（＊） 又線段恰被直線平分，所以，． 所以，． 代入（＊）可解得：．下面，只需找到與的關(guān)系，即可求出的取值范圍．由于為弦MN的垂直平分線，故可考慮弦MN的中點(diǎn)．在中，令，可解得：．將點(diǎn)代入，可得：．所以，．從以上解題過(guò)程來(lái)看，求的取值范圍，主要有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系，二是構(gòu)造一個(gè)有關(guān)參量的不等式．從這兩點(diǎn)出發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法：解法二．設(shè)弦MN的中點(diǎn)為，則由點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，可知：．兩式相減得：BB＇ＭＮＰ又由于，代入上式得：．又點(diǎn)在弦MN的垂直平分線上，所以，．所以，．由點(diǎn)在線段BB’上（B’、B為直線與橢圓的交點(diǎn)，如圖），所以，．也即：．所以，點(diǎn)評(píng)：解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，對(duì)于消元后的一元二次方程，必須討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式，有時(shí)借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便．涉及弦中點(diǎn)問(wèn)題，利用韋達(dá)定理或運(yùn)用平方差法時(shí)（設(shè)而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法．從構(gòu)造不等式的角度來(lái)說(shuō)，“將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0”與“弦MN的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)”是等價(jià)的．【例23】 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．又M是其準(zhǔn)線上一點(diǎn)．試證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．　　證明　依題意直線MA、MB、MF的斜率顯然存在，并分別設(shè)為，點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為A（，），B（，），M（，m）由“AB過(guò)點(diǎn)F（，0）”得　?。?將上式代入拋物線中得：可知　又依“及”可知　因此　而 故即直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．【例24】 已知=(x,0)，=(1，y)(1)求點(diǎn)P(x，y)的軌跡C的方程；(2)若直線：y=kx+m(km≠0)與曲線C交于A、B兩端，D(0，－1),且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍。解：（1）∵ ∴=0∴ 得∴P點(diǎn)的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3=0(*)顯然1－3k2≠0 △=（6km）2－4(－3m2－3)=12(m2+1)－3k20設(shè)x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)∴線段AB的垂直平分線方程為：將D(0，－1)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得：4m=3k2－1故m、k滿足，消去k2得：m2－4m0解得：m0或m4又∵4m=3k2－1－1 ∴m－故m.【直線與圓錐曲線練習(xí)】一、選擇題1．斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( ) B. C. D. 2．拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k≠0)交于A、B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( )=x1+x2 =x1x3+x2x3+x2+x3=0 +x2x3+x3x1=0二、填空題3．已知兩點(diǎn)M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.4．正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點(diǎn)在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_(kāi)________.5．在拋物線y2=16x內(nèi)，通過(guò)點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_________.三、解答題6．已知拋物線y2=2px(p＞0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|≤2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值.7．已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)AA2在x軸上，離心率e=的雙曲線過(guò)點(diǎn)P(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn)：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論.8．已知雙曲線C的兩條漸近線都過(guò)原點(diǎn)，且都以點(diǎn)A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)A1與A點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱.(1)求雙曲線C的方程.(2)設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A，斜率為k,當(dāng)0＜k＜1時(shí)，雙曲線C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為，試求k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo).直線與圓錐曲線參考答案一、：弦長(zhǎng)|AB|=≤.答案：C：解方程組,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,代入驗(yàn)證即可.答案：B二、：點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點(diǎn).答案：②③④：設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長(zhǎng)公式可求出|CD|的長(zhǎng)，利用|CD|的長(zhǎng)等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長(zhǎng).答案：18或50：設(shè)所求直線與y2=16x相交于點(diǎn)A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).即kAB=8.故所求直線方程為y=8x－15.答案：8x－y－15=0三、：(1)設(shè)直線l的方程為：y=x－a,代入拋物線方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,∴a≤－.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn) C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,則有x==p.∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－(x－a－p),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,0）點(diǎn)N到AB的距離為從而S△NAB=當(dāng)a有最大值－時(shí)，S有最大值為p2.：(1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.(2)P、AA2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，∴kl=∴l(xiāng)的方程為y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0.∵Δ=16－428＜0,∴所求直線l不存在.：(1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=177。1.即漸近線為y=177。x,又點(diǎn)A關(guān)于y=x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，).∴a==b,所求雙曲線C的方程為x2－y2=2.(2)設(shè)直線l：y=k(x－)(0＜k＜1,依題意B點(diǎn)在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為.設(shè)直線l′：y=kx+m,應(yīng)有,化簡(jiǎn)得m2+2km=2. ②把l′代入雙曲線方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2 ③②、③兩式相減得k=m,代入③得m2=,解設(shè)m=,k=,此時(shí)x=,y=.故B(2,).