高三數(shù)學(xué)圓錐曲線-資料下載頁
2024-11-10 00:28本頁面
【導(dǎo)讀】判斷直線l與圓錐曲線r的位置關(guān)系時(shí)，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線的方程F(x，Ax＋By＋C＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，線l與圓錐曲線相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，求軌跡方程時(shí)常采用的方法有。________：分析題設(shè)幾何條件，根。________：根據(jù)題設(shè)動(dòng)點(diǎn)軌跡的幾。________：相關(guān)點(diǎn)軌跡問題，主動(dòng)。_________：恰當(dāng)引入?yún)?shù)，將動(dòng)。＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，分析得出P在P′點(diǎn)處|PA|min.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，
【正文】 P 的坐標(biāo)． 【解析】 (1 ) 將 y2＝ x 代入 ( x － 4)2＋ y2＝ r2，并化簡得 x2－ 7 x ＋ 16 － r2＝ 0. ① E 與 M 有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程 ① 有兩個(gè)不等的正根 x x2， 由此得????? Δ ＝ ( － 7 )2－ 4 ( 16 － r2) ＞ 0 ，x1＋ x2＝ 7 ＞ 0 ，x1x2＝ 16 － r2＞ 0.解得154＜r2＜ 16 ， 又 r ＞ 0 ，所以 r 的取值范圍是 (152， 4) ． (2 ) 不妨設(shè) E 與 M 的四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為： A ( x1， x1) 、 B ( x1，－ x1) 、 C ( x2，－ x2) 、 D ( x2，x2) ， 則直線 AC 、 BD 的方程分別為 y － x1＝－ x2－ x1x2－ x1( x － x1) ， y ＋ x1＝x2＋ x1x2－ x1( x － x1) ， 解得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x1x2， 0) ． 設(shè) t ＝ x 1 x 2 ，由 t ＝ 16 － r2及 ( 1 ) 知 0 ＜ t ＜72. 由于四邊形 A BCD 為等腰梯形，因而其面積 S ＝12 (2 x 1 ＋ 2 x 2 ) | x 2 － x 1 |， 則 S2＝ ( x 1 ＋ x 2 ＋ 2 x 1 x 2 ) [( x 1 ＋ x 2 )2－ 4 x 1 x 2 ] ． 將 x 1 ＋ x 2 ＝ 7 ， x 1 x 2 ＝ t 代入上式，并令 f ( t )＝ S2，得 f ( t ) ＝ (7 ＋ 2 t )2 (7 － 2 t ) (0 ＜ t ＜72) ． 對(duì)上式求導(dǎo)得， f ′ ( t ) ＝－ 2 ( 2 t ＋ 7 ) (6 t － 7) ． 令 f ′ ( t ) ＝ 0 ，解得 t ＝76， t ＝－72( 舍去 ) ． 當(dāng) 0 ＜ t ＜76時(shí)， f ′ ( t ) ＞ 0 ； t ＝76時(shí)， f ′ ( t )＝ 0 ； 76＜ t ＜72時(shí)， f ′ ( t ) ＜ 0. 故當(dāng)且僅當(dāng) t ＝76時(shí)， f ( t ) 有最大值，即四邊形 ABCD 的面積最大，故所求的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (76， 0) ． 2 ． (2 0 0 9 年陜西 ) 已知雙曲線 C 的方程為y2a2－x2b2 ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) ，離心率 e ＝52，頂點(diǎn)到漸近線的距離為2 55. (1 ) 求雙曲線 C 的方程 ； (2 ) 如圖 ， P 是雙曲線 C 上一點(diǎn) ， A ， B 兩點(diǎn)在雙曲線 C 的兩條漸近線上 ， 且分別位于第一 、二象限 ． 若 AP→＝ λ PB→， λ ∈ [13， 2 ] ， 求 △ AO B 面積的取值范圍 ． 【解析】 (1 ) 由題意知，雙曲線 C 的頂點(diǎn) (0 ， a ) 到漸近線 ax － by ＝ 0 的距離為2 55， ∴aba2＋ b2 ＝2 55，即abc＝2 55， 由????????? abc＝2 55ca＝52，c2＝ a2＋ b2得????? a ＝ 2b ＝ 1c ＝ 5， ∴ 雙曲線C 的方程為y24－ x2＝ 1. (2 ) 由 (1 ) 知雙曲線 C 的兩條漸近線方程為 y ＝177。2 x . 設(shè) A ( m, 2 m ) ， B ( － n, 2 n ) ， m ＞ 0 ， n ＞ 0. 由 AP→＝ λ PB→得 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (m － λn1 ＋ λ，2 ( m ＋ λn )1 ＋ λ) ， 將 P 點(diǎn)坐標(biāo)代入y24－ x2＝ 1 ，化簡得 mn ＝( 1 ＋ λ )24 λ. 設(shè) ∠ AO B ＝ 2 θ ， ∵ t a n(π2－ θ ) ＝ 2 ， ∴ t a n θ ＝12，s i n 2 θ ＝45. 又 | OA |＝ 5 m ， | OB |＝ 5 n ， ∴ S △AOB＝12| OA | | OB | s i n 2 θ ＝ 2 mn ＝12( λ ＋1λ) ＋ 1. 記 S ( λ ) ＝12( λ ＋1λ) ＋ 1 ， λ ∈ [13， 2] ， 則 S ′ ( λ ) ＝12(1 －1λ2 ) ， 由 S ′ ( λ ) ＝ 0 得 λ ＝ 1 ，又 S ( 1 ) ＝ 2 ， S (13) ＝83， S (2 )＝94. ∴ 當(dāng) λ ＝ 1 時(shí)， △ AO B 的面積取得最小值 2 ，當(dāng) λ ＝13時(shí)， △ AO B 的面積取得最大值83，∴△ AO B 面積的取值范圍是 [ 2 ，83] ． ? 1．在解析幾何中，直線與曲線的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的問題進(jìn)行討論，但直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn) (即 Δ＝ 0)中須除去兩種情況，此直線才是曲線的切線，一是直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，二是直線與雙曲線的漸近線平行． ? 2．運(yùn)用圓錐曲線弦長公式時(shí)，注意結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和韋達(dá)定理求解． ? 3．求以某一定點(diǎn)為中點(diǎn)的圓錐曲線的弦的方程，有下面幾種方法： ? (1)將弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，兩式相減，即可確定弦的斜率，然后由點(diǎn)斜式得出弦的方程； ? (2)設(shè)弦的方程為點(diǎn)斜式，弦的方程與曲線方程聯(lián)立，消元后得到關(guān)于 x(或 y)的一元二次方程，用韋達(dá)定理求出中點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定弦的斜率 k，然后寫出弦的方程． (3 ) 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為 ( x 1 ， y 1 ) 、 ( x 2 ，y 2 ) ， 則有這兩點(diǎn)坐標(biāo)分別滿足曲線方程 ，又 (x 1 ＋ x 22，y 1 ＋ y 22) 為弦的中點(diǎn) ， 從而得到四個(gè)方程 ， 由這四個(gè)方程可以解出弦的兩個(gè)端點(diǎn) ， 從而求出弦的方程 ． ? 運(yùn)用以上方法，還可以解決以下問題：若已知圓錐曲線弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，求該弦的方程；若已知 AB所在弦的斜率，可求出圓錐曲線一組平行弦中點(diǎn)的軌跡方程；若 AB通過某已知點(diǎn)，則可求出這組圓錐曲線的中點(diǎn)的軌跡方程． ? 4．解答求曲線方程這類試題時(shí)首先要明確圓錐曲線的性質(zhì)，作好對(duì)圖形變化可能性的總體分析，選好相應(yīng)的解題策略和擬定好具體的方法，如參數(shù)的選取，相關(guān)點(diǎn)的變化規(guī)律及限制條件等等，注意將動(dòng)點(diǎn)的幾何特性用數(shù)學(xué)語言來表述． ? 在求軌跡方程問題中易出錯(cuò)的是對(duì)軌跡純粹性及完備性的忽略，因此，在求出曲線的方程之后，應(yīng)仔細(xì)地檢查有無 “ 不法分子 ” 摻雜其中，將其剔除；另一方面又要注意有無 “ 漏網(wǎng)之魚 ” 逍遙法外，將其捉回． 課時(shí)提能精練 點(diǎn)擊進(jìn)入鏈接
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