【正文】 . (2) 利用 “ 點(diǎn)差法 ” 求解，即若橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ，直線與橢圓交于點(diǎn) A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，且弦 AB 的中點(diǎn)為 M ( x0， y0) ，則 ????? x21a2 ＋y21b2 ＝ 1 ， ①x22a2 ＋y22b2 ＝ 1. ② 由 ① － ② 得 a2( y21 － y22 ) ＋ b2( x21 － x22 ) ＝ 0 ， ∴y 1 － y 2x 1 － x 2＝－b2a2 x 1 ＋ x 2y 1 ＋ y 2＝－b2a2 x 0y 0. 這樣就建立了中點(diǎn)坐標(biāo)與直線的斜率之間的關(guān)系，從而使問題能得以解決． 例 2 ： 已知雙曲線 C ： 2 x 2 － y 2 ＝ 2 ，點(diǎn) Q (1,1) ，試判斷以 Q 為中點(diǎn)的弦是否存在． 解 ： 假設(shè)以 Q 為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為 AB ，且 A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，則 2 x21－ y21＝ 2,2 x22－ y22＝ 2 ， 兩式相減得： 2( x1－ x2)( x1＋ x2) ＝ ( y1－ y2)( y1＋ y2) 又 ∵ x1＋ x2＝ 2 ， y1＋ y2＝ 2 ， ∴ 2( x1－ x2) ＝ y1－ y1， 即 kAB＝y(tǒng)1－ y2x1－ x2＝ 2 ， ∴ 弦 AB 所在直線方程為 y － 1 ＝ 2( x － 1) ， 即 y ＝ 2 x － 1. 由????? y ＝ 2 x － 12 x2－ y2－ 2，得 2 x2－ 4 x ＋ 3 ＝ 0. Δ ＝ 16 － 4 2 3 ＝－ 80 ， ∴ 直線 AB 與雙曲線無交點(diǎn)． ∴ 假設(shè)不正確，即以 Q 為中點(diǎn)的弦不存在 . 例 3： (1)求拋物線 y2 = 2x過點(diǎn) (2,0)的弦的中點(diǎn)軌跡 (2)求橢圓 14322?? yx的一組斜率為 2的平行弦 中點(diǎn)軌跡 直線方程。所在平分的弦被點(diǎn)求雙曲線 PQpyx )1,2(1222 ??(3) 變式題 一 ： 已知 A 、 B 是拋物線 C ： y2＝ 4 x 上的兩點(diǎn)，線段 AB的中點(diǎn)為 P (3,1) ，求線段 AB 的垂直平分線被拋物線截得的弦長(zhǎng)． [ 思路 ] 利用點(diǎn)差法求出直線 AB 的斜率，于是得出線段 AB的垂直平分線的斜率，從而得出線段 AB 的垂直平分線的方程，然后用弦長(zhǎng)公式求解． [ 解答 ] 方法一：設(shè) A 、 B 的坐標(biāo)為 A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，直線 AB 的斜率為 k ，則有 y21＝ 4 x1， y22＝ 4 x2， 兩式相減，得 y21－ y22＝ 4 x1－ 4 x2，即 k ＝y(tǒng)1－ y2x1－ x2＝4y1＋ y2. ∵ P ( 3,1) 是線段 AB 的中點(diǎn)， ∴ y1＋ y2＝ 2 ， ∴ k ＝y(tǒng)1－ y2x1－ x2＝4y1＋ y2＝ 2. ∴ 線段 AB 的垂直平分線所在直線的斜率為 k1＝－12，方程為 y － 1 ＝－12( x － 3) ， 即 x ＋ 2 y － 5 ＝ 0. 設(shè)該直線與拋物線交于 C ( x3， y3) ， D ( x4， y4) ， 將 y2＝ 4 x 代入 x ＋ 2 y － 5 ＝ 0 ，得 y2＋ 8 y － 20 ＝ 0 ， 則 y y4是上述方程的兩根． 于是 y3＋ y4＝－ 8 ， y3y4＝－ 20 ， ∴ | CD |＝??????1 ＋1k2 y 3 ＋ y 42－ 4 y3y4] ＝2＋ ＝ 12 5 . 即線段 AB 的垂直平分線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為 12 5 . 方法二：設(shè) A 、 B 的坐標(biāo)為 A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，當(dāng)直線AB 的斜率不存在時(shí)，點(diǎn) P ( 3,1) 不是線段 AB 的中點(diǎn)，故直線AB 斜率存在．設(shè)直線 AB 方程為 y ＝ k ( x － 3) ＋ 1 ，代入拋物線方程，消去 x ，得 ky2－ 4 y － 12 k ＋ 4 ＝ 0 ，則 y1＋ y2＝4k，∴y1＋ y22＝2k＝ 1 ，得 k ＝ 2. 以下同方法一． [ 點(diǎn)評(píng) ] 方法一叫做點(diǎn)差法，方法二是常規(guī)方法，在解直線被拋物線截得的中點(diǎn)弦問題時(shí)，這兩種方法都比較簡(jiǎn)便，若是解直線被橢圓或雙曲線截得的中點(diǎn)弦問題，則方法一較簡(jiǎn)便． 如下的變式題用點(diǎn)差法較容易求解． 過橢圓x28＋y26＝ 1 內(nèi)一點(diǎn) P (2,1) 作弦，若 P 是弦的中點(diǎn)，則該弦所在的直線方程是 ( ) A ． 2 x － 3 y ＋ 8 ＝ 0 B ． 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 C ． 3 x － 2 y ＋ 8 ＝ 0 D ． 3 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0 [ 思路 ] 利用點(diǎn)差法求解． D [ 解析 ] 設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為 A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，則有x218＋y216＝ 1 ，x228＋y226＝ 1. 兩方程相減，整理得 3( x1－ x2)( x1＋ x2) ＋ 4( y1－ y2)( y1＋ y2) ＝ 0 ， 即y1－ y2x1－ x2＝－（ x1＋ x2）4 （ y1＋ y2）. 由中點(diǎn)關(guān)系得 x1＋ x2＝ 4 ， y1＋ y2＝ 2 ， ∴y1－ y2x1－ x2＝－（ x1＋ x2）（ y1＋ y2）＝－32， 即弦所在的直線的斜率為－32， ∴ 弦所在的直線方程為 y － 1 ＝－32( x － 2) ，即 3 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0. 1 ．與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍的討論常用以下方法 ( 1 ) 結(jié)合圓錐曲線的定義，利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系； ( 2 ) 不等式 ( 組 ) 求解法，根據(jù)題意結(jié)合圖形 ( 如點(diǎn)在曲線內(nèi)等 ) 列出所討論的參數(shù)適合的不等式 ( 組 ) ，通過解不等式 ( 組 ) ，得出參數(shù)的變化范圍； ( 3 ) 函數(shù)值域求解法，把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)，選一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍； ( 4 ) 構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)，利用判別式求解； ( 5 ) 利用不等式，若能將問題轉(zhuǎn)化為 “ 和為定值 ” 或 “ 積為定值 ” ，則可以用基本不等式求解； 題型 四： 定點(diǎn)、最值問題 2 ．定點(diǎn)和定值問題 ( 1) 定點(diǎn)問題的求解步驟： 一選參變量：需要證明過定點(diǎn)的動(dòng)直線 ( 曲線 ) 往往隨著某一個(gè)量的變化而變化，可以選擇這個(gè)量為參變量 ( 當(dāng)涉及到的參變量較多時(shí)，也可以選擇多個(gè)參變量 ) ； 二求動(dòng)直線 ( 曲線 ) 方程：求出含上述參變量的動(dòng)直線 ( 曲線 )方程，并由其他條件減少參變量的個(gè)數(shù)，最終使方程中只含一個(gè)參變量； 三定點(diǎn)：求出定點(diǎn)坐標(biāo)．不妨設(shè)方程中所含參變量為 λ ，把方程寫為形如 f ( x ， y ) ＋ λg ( x ， y ) ＝ 0 的形式，然后解關(guān)于 x ， y的方程組????? （ x ， ） ＝ 0 ，g （ ， y ） ＝ 0 ，得到定點(diǎn)坐標(biāo)． 題型 四： 定點(diǎn)、最值問題 ( 2) 定值問題的求解步驟： 一選參變量：需要證明為定值的量在通常情況下應(yīng)該是一個(gè)變量，它會(huì)隨某個(gè)變量變化而變化，可選這個(gè)量為參變量( 有時(shí)可選多個(gè)參變量，再由其他條件消去多余的量，保留一個(gè)參變量 ) ； 二求函數(shù)解析式：把需要證明為定值的量表示成關(guān)于上述參變量的函數(shù)； 三定值：化簡(jiǎn)函數(shù)解析式得到定 值．由題目的結(jié)論可知要證明為定值的量必與參變量的變化無關(guān)，故求出的函數(shù)必為常數(shù)函數(shù)，所以只需對(duì)上述函數(shù)的解析式進(jìn)行必要的化簡(jiǎn)即可得到定值． 題型 四： 定點(diǎn)、最值問題 題型 四： 定點(diǎn)、最值問題 例 1 ： 已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓 C 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3 ，最小值為 1. (1) 求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 若直線 l ： y ＝ kx ＋ m 與橢圓 C 相交于 A 、 B 兩點(diǎn) ( A 、 B 不是左右頂點(diǎn) ) ，且以 AB 為直徑的圓過橢圓 C 的右頂點(diǎn)，求證：直線 l 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解析 ： (1) 由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ， 且 a ＋ c ＝ 3 ， a － c ＝ 1 ， ∴ a ＝ 2 ， c ＝ 1 ， ∴ b2＝ 3 ， ∴x24＋y23＝ 1. (2) 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，由????? y ＝ kx ＋ mx24＋y23＝ 1， 得 (3 ＋ 4 k2) x2＋ 8 mkx ＋ 4( m2－ 3) ＝ 0 ， Δ ＝ 64 m2k2－ 16(3 ＋ 4 k2)( m2－ 3 )0,3 ＋ 4 k2－ m20. 又 x1＋ x2＝－8 mk3 ＋ 4 k2 ， x 1 x 2 ＝4 ? m2－ 3 ?3 ＋ 4 k2 ， 所以 y1 y2＝ ( kx1＋ m ) ( kx2＋ m ) ＝ k2x1x2＋ mk ( x1＋ x2) ＋ m2 ＝3 ? m2－ 4 k2?3 ＋ 4 k2 . ∵ 以 AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn) D (2,0) ， ∴ kAD kBD＝－ 1 ， 即y1x1－ 2y2x2－ 2＝－ 1 ， ∴ y1y2＋ x1x2－ 2( x1＋ x2) ＋ 4 ＝ 0 ， 3 m2－ 4 k23 ＋ 4 k2 ＋4 m2－ 33 ＋ 4 k2 ＋16 mk3 ＋ 4 k2 ＋ 4 ＝ 0 ， 7 m2＋ 16 mk ＋ 4 k2＝ 0 ， 解得 m1＝－ 2 k ， m2＝－2 k7，且滿足 3 ＋ 4 k2－ m20. 當(dāng) m ＝－ 2 k 時(shí)， l ： y ＝ k ( x － 2) ，直線過定點(diǎn) (2,0) ，與已知矛盾； 當(dāng) m ＝－2 k7時(shí)， l ： y ＝ k ( x －27) ，直線過定點(diǎn)??????27， 0 . 綜上可知，直線 l 過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為??????27， 0 . . 2222( 2 ) 12 5 9( 1 ) 1 , | | .xyABx y A B?????是 橢 圓 上 任 意 一 點(diǎn) ， 為 圓上 任 意 一 點(diǎn) 求 的 范 圍例 2:(1)求橢圓 上的點(diǎn) 22 194xy??① 與定點(diǎn) (0,1)的最大距離； ② 與直線 2xy+10=0的最大距離。 22( 3 , 2 ) , ( 2 , 0 ) 131, | | | |2yA