【正文】 高三數(shù)學第二輪專題復習系列(8) 圓錐曲線 一、知識結構在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)；這條曲線叫 做方程的曲線.點與曲線的關系 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y 0)=0；點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)≠0兩條曲線的交點 若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則 f1(x0,y0)=0點P0(x0,y0)是C1，C2的交點 f2(x0,y0) =0方程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒有 交點.圓的定義點集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定點O為圓心，定長r為半徑.圓的方程(1)標準方程圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(xa)2+(yb)2=r2圓心在坐標原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程當D2+E24F＞0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(,，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=當D2+E24F=0時，方程表示一個點(,)。當D2+E24F＜0時，方程不表示任何圖形.點與圓的位置關系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x0,y0)，則｜MC｜＜r點M在圓C內，｜MC｜=r點M在圓C上，｜MC｜＞r點M在圓C內，其中｜MC｜=.(3)直線和圓的位置關系①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系直線與圓相交有兩個公共點直線與圓相切有一個公共點直線與圓相離沒有公共點②直線和圓的位置關系的判定(i)判別式法(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d=與半徑r的大小關系來判定.、雙曲線和拋物線橢圓、雙曲線和拋物線的基本知識見下表.曲線性質橢 圓雙曲線拋物線軌跡條件點集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a＝點集：{M｜｜MF1｜｜MF2｜.=177。2a,｜F2F2｜＞2a}.點集{M｜ ｜MF｜=點M到直線l的距離}.圓 形標準方程+=1(a＞b＞0)=1(a＞0,b＞0)y2=2px(p＞0)頂 點A1(a,0),A2(a,0)。B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)O(0,0)軸對稱軸x=0,y=0長軸長：2a短軸長：2b對稱軸x=0,y=0實軸長：2a 虛軸長：2b對稱軸y=焦 點F1(c,0),F2(c,0)焦點在長軸上F1(c,0),F2(c,0)焦點在實軸上F(，0)焦點對稱軸上焦 距｜F1F2｜=2c，c=｜F1F2｜=2c,c=準 線x=177。準線垂直于長軸，且在橢圓外.x=177。準線垂直于實軸，且在兩頂點的內側.x=準線與焦點位于頂點兩側，且到頂點的距離相等.離心率e=,0＜e＜1e=,e＞1e=1 平面內的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之 比是一個常數(shù)e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數(shù)e稱為離心率.當0＜e＜1時，軌跡為橢圓當e=1時，軌跡為拋物線當e＞1時，軌跡為雙曲線坐標變換 在解析幾何中，把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做 ，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點 的坐標與曲線的方程.坐標軸的平移 坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫 做坐標軸的平移，簡稱移軸.坐標軸的平移公式 設平面內任意一點M，它在原坐標系xOy中的坐標是9x,y)，在新坐標系x ′O′y′中的坐標是(x′,y′).設新坐標系的原點O′在原坐標系xOy中的坐標是(h,k)，則 x=x′+h x′=xh(1) 或(2) y=y′+k y′=yk公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.方 程焦 點焦 線對稱軸橢圓+=1(177。c+h,k)x=177。+hx=hy=k+ =1(h,177。c+k)y=177。+kx=hy=k雙曲線=1(177。c+h,k)=177。+kx=hy=k=1(h,177。c+h)y=177。+kx=hy=k拋物線(yk)2=2p(xh)(+h,k)x=+hy=k(yk)2=2p(xh)(+h,k)x=+hy=k(xh)2=2p(yk)(h, +k)y=+kx=h(xh)2=2p(yk)(h, +k)y=+kx=h二、知識點、能力點提示(一)曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點說明 在求曲線方程之前必須建立坐標系，然后根據(jù)條件列出等式進行化簡 .特別是在求出方程后要考慮化簡的過程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求 ，要求會判斷 曲線間有無交點，會求曲線的交點坐標.三、 考綱中對圓錐曲線的要求：考試內容：. ；. ；. ；考試要求：. (1)掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，理解橢圓的參數(shù)方程；. (2)掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質；. (3)掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質；. (4)了解圓錐曲線的初步應用。四．對考試大綱的理解高考圓錐曲線試題一般有3題(1個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計22分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質為主, 難度在中等以下，一般較容易得分，解答題常作為數(shù)學高考中的壓軸題，綜合考查學生數(shù)形結合、等價轉換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力，重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關系, 往往結合平面向量進行求解，在復習應充分重視。求圓錐曲線的方程【復習要點】求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查識圖、畫圖、數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.定式——根據(jù)“形”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).定量——由題設中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關系，通過解方程得到量的大小.【例題】【例1】 雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點FF2，P為雙曲線上一點，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_________.解：設F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1||PF2|,依雙曲線定義，有|PF1|－|PF2|=4,依已知條件有|PF1||PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.答案：1【例2】 已知圓C1的方程為，橢圓C2的方程為，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解：由設橢圓方程為設 又 兩式相減，得 又即將由得解得 故所有橢圓方程【例3】 過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,設AB中點為(x0,y0),則kAB=－,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是－=－1,kAB=－1,設l的方程為y=－x+1.右焦點(b,0)關于l的對稱點設為(x′,y′),由點(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.∴所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=－x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x－1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.直線l：y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=－1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.解法3：設橢圓方程為直線不平行于y軸，否則AB中點在x軸上與直線中點矛盾。故可設直線，，，，，，，則，， 所以所求的橢圓方程為：【例4】 如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OPOP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程.解：以O為原點，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系.設雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0)由e2=，得.∴兩漸近線OPOP2方程分別為y=x和y=－x設點P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),則由點P分所成的比λ==2,得P點坐標為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①即x1x2= ②由①、②得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.【例5】 過橢圓C：上一動點P引圓O：x2 +y2 =b2的兩條切線PA、PB，A、B為切點，直線AB與x軸，y軸分別交于M、N兩點。(1) 已知P點坐標為(x0，y0 )并且x0y0≠0，試求直線AB方程；(2) 若橢圓的短軸長為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存在點P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請求出存在的條件；若不存在，請說明理由。解：(1)設A(x1，y1)，B(x2， y2)切線PA：，PB：∵P點在切線PA、PB上，∴∴直線AB的方程為(2)在直線AB方程中，令y=0，則M(，0)；令x=0，則N(0，)∴ ①∵2b=8 ∴b=4 代入①得a2 =25, b2 =16∴橢圓C方程： （注：不剔除xy≠0，可不扣分）(3) 假設存在點P(x0，y0)滿足PA⊥PB，連接OA、OB由|PA|=|PB|知，四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA| ∴ ① 又∵P點在橢圓C上 ∴ ②由①②知x∵ab0 ∴a2 －b20(1)當a2－2b20，即ab時，橢圓C上存在點，由P點向圓所引兩切線互相垂直；(2)當a2－2b20，即bab時，橢圓C上不存在滿足條件的P點【例6】 已知橢圓C的焦點是F1（－，0）、F2（，0），點F1到相應的準線的距離為，過F2點且傾斜角為銳角的直線l與橢圓C交于A、B兩點，使得|F2B|=3|F2A|. （1）求橢圓C的方程；（2）求直線l的方程.解：（1）依題意，橢圓中心為O（0，0），