【正文】 +x2)－2k=－.直線l：y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=－1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.解法3：設(shè)橢圓方程為直線不平行于y軸，否則AB中點在x軸上與直線中點矛盾。|PF2|,依雙曲線定義，有|PF1|－|PF2|=4,依已知條件有|PF1|四．對考試大綱的理解高考圓錐曲線試題一般有3題(1個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計22分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)為主, 難度在中等以下，一般較容易得分，解答題常作為數(shù)學(xué)高考中的壓軸題，綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力，重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 往往結(jié)合平面向量進行求解，在復(fù)習(xí)應(yīng)充分重視。c+h)y=177。c+h,k)=177。c+k)y=177。c+h,k)x=177。準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外.x=177。2a,｜F2F2｜＞2a}.點集{M｜ ｜MF｜=點M到直線l的距離}.圓 形標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(a＞b＞0)=1(a＞0,b＞0)y2=2px(p＞0)頂 點A1(a,0),A2(a,0)。高三數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)系列(8) 圓錐曲線 一、知識結(jié)構(gòu)在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)；這條曲線叫 做方程的曲線.點與曲線的關(guān)系 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y 0)=0；點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)≠0兩條曲線的交點 若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則 f1(x0,y0)=0點P0(x0,y0)是C1，C2的交點 f2(x0,y0) =0方程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒有 交點.圓的定義點集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定點O為圓心，定長r為半徑.圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(xa)2+(yb)2=r2圓心在坐標(biāo)原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程當(dāng)D2+E24F＞0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(,，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=當(dāng)D2+E24F=0時，方程表示一個點(,)。當(dāng)D2+E24F＜0時，方程不表示任何圖形.點與圓的位置關(guān)系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標(biāo)為(x0,y0)，則｜MC｜＜r點M在圓C內(nèi)，｜MC｜=r點M在圓C上，｜MC｜＞r點M在圓C內(nèi)，其中｜MC｜=.(3)直線和圓的位置關(guān)系①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系直線與圓相交有兩個公共點直線與圓相切有一個公共點直線與圓相離沒有公共點②直線和圓的位置關(guān)系的判定(i)判別式法(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d=與半徑r的大小關(guān)系來判定.、雙曲線和拋物線橢圓、雙曲線和拋物線的基本知識見下表.曲線性質(zhì)橢 圓雙曲線拋物線軌跡條件點集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a＝點集：{M｜｜MF1｜｜MF2｜.=177。B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)O(0,0)軸對稱軸x=0,y=0長軸長：2a短軸長：2b對稱軸x=0,y=0實軸長：2a 虛軸長：2b對稱軸y=焦 點F1(c,0),F2(c,0)焦點在長軸上F1(c,0),F2(c,0)焦點在實軸上F(，0)焦點對稱軸上焦 距｜F1F2｜=2c，c=｜F1F2｜=2c,c=準(zhǔn) 線x=177。準(zhǔn)線垂直于實軸，且在兩頂點的內(nèi)側(cè).x=準(zhǔn)線與焦點位于頂點兩側(cè)，且到頂點的距離相等.離心率e=,0＜e＜1e=,e＞1e=1 平面內(nèi)的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之 比是一個常數(shù)e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率.當(dāng)0＜e＜1時，軌跡為橢圓當(dāng)e=1時，軌跡為拋物線當(dāng)e＞1時，軌跡為雙曲線坐標(biāo)變換 在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做 ，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點 的坐標(biāo)與曲線的方程.坐標(biāo)軸的平移 坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫 做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸.坐標(biāo)軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是9x,y)，在新坐標(biāo)系x ′O′y′中的坐標(biāo)是(x′,y′).設(shè)新坐標(biāo)系的原點O′在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則 x=x′+h x′=xh(1) 或(2) y=y′+k y′=yk公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.方 程焦 點焦 線對稱軸橢圓+=1(177。+hx=hy=k+ =1(h,177。+kx=hy=k雙曲線=1(177。+kx=hy=k=1(h,177。+kx=hy=k拋物線(yk)2=2p(xh)(+h,k)x=+hy=k(yk)2=2p(xh)(+h,k)x=+hy=k(xh)2=2p(yk)(h, +k)y=+kx=h(xh)2=2p(yk)(h, +k)y=+kx=h二、知識點、能力點提示(一)曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點說明 在求曲線方程之前必須建立坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件列出等式進行化簡 .特別是在求出方程后要考慮化簡的過程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求 ，要求會判斷 曲線間有無交點，會求曲線的交點坐標(biāo).三、 考綱中對圓錐曲線的要求：考試內(nèi)容：. ；. ；. ；考試要求：. (1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程；. (2)掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)；. (3)掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)；. (4)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。求圓錐曲線的方程【復(fù)習(xí)要點】求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標(biāo)軸上時，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小.【例題】【例1】 雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點FF2，P為雙曲線上一點，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_________.解：設(shè)F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1||PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.答案：1【例2】 已知圓C1的方程為，橢圓C2的方程為，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。故可設(shè)直線，，，則，， 所以所求的橢圓方程為：【例4】 如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OPOP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程.解：以O(shè)為原點，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0)由e2=，得.∴兩漸近線OPOP2方程分別為y=x和y=－x設(shè)點P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),則由點P分所成的比λ==2,得P點坐標(biāo)為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①即x1x2= ②由①、②得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.【例5】 過橢圓C：上一動點P引圓O：x2 +y2 =b2的兩條切線PA、PB，A、B為切點，直線AB與x軸，y軸分別交于M、N兩點。解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2， y2)切線PA：，PB：∵P點在切線PA、PB上，∴∴直線AB的方程為(2)在直線AB方程中，令y=0，則M(，0)；令x=0，則N(0，)∴ ①∵2b=8 ∴b=4 代入①得a2 =25, b2 =16∴橢圓C方程： （注：不剔除xy≠0，可不扣分）(3) 假設(shè)存在點P(x0，y0)滿足PA⊥PB，連接OA、OB由|PA|=|PB|知，四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA| ∴ ① 又∵P點在橢圓C上 ∴ ②由①②知x∵ab0 ∴a2 －b20(1)當(dāng)a2－2b20，即ab時，橢圓C上存在點，由P點向圓所引兩切線互相垂直；(2)當(dāng)a2－2b20，即bab時，橢圓C上不存在滿足條件的P點【例6】 已知橢圓C的焦點是F1（－，0）、F2（，0），點F1到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為，過F2點且傾斜角為銳角的直線l與橢圓C交于A、B兩點，使得|F2B|=3|F2A|. （1）求橢圓C的方程；（2）求直線l的方程.解：（1）依題意，橢圓中心為O（0，0），點F1到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，a2=b2+c2=1+3=4∴所求橢圓方程為（2）設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線與l交于點P，作AM⊥，AN⊥，垂足分別為M、N. 由橢圓第二定義，得同理|BF2|=e|BN|由Rt△PAM～Rt△PBN，得…9分的斜率.∴直線l的方程【例7】 已知點B（－1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足（1）求點P的軌跡C對應(yīng)的方程；（2）已知點A（m,2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，判斷：直線DE是否過定點？試證明你的結(jié)論.（3）已知點A（m,2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率kk2滿足k1當(dāng)k=177。方法二:同上得 設(shè)點M (3cosα，2sinα)，N (3cosβ,2sinβ) 則有由上式消去α并整理得, 由于 ∴ ， 解得為所求. 方法三：設(shè)法求出橢圓上的點到點D的距離的最大值為5，最小值為1.進而推得的取值范圍為。5)的橢圓被直線3x－y－2=0截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為( )二、填空題3．直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點P，若過點P且以雙曲線12x2－4y2=3的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為_________.4．已知圓過點P(4，－2)、Q(－1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，則該圓的方程為_________.三、解答題5．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F，M是橢圓上的任意點，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以