【正文】 ）知在 ABM? 中， ABFM? ，因而 ||||21 FMABS ?? . .1214)4(214214141)2()2(||212122212221 yy xxxxxxFM???? ??????????????????? 因?yàn)?||,|| BF AF 分別等于 A、 B 到拋物線準(zhǔn)線 1??y 的距離，所以 221 1212|||||| ???????? ?????????? ????yyBFAFAB. 于是 3121||||21 ???????? ???? ??FMABS， 由 21 ????，可知 4?S ，且當(dāng) 1?? 時(shí)， S 取得最小值 4. 評(píng)析 本例將向量與解析幾何結(jié)合在一起，考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力 . 主要考 查拋物線的定義與幾何性質(zhì)，曲線切線的求法，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，向量的數(shù)量積，向量的坐標(biāo)表示，均值不等式及函數(shù)的最值，同時(shí)考查了設(shè)而不求的數(shù)學(xué) . 解決這類問題，關(guān)鍵要理清知識(shí)順序，弄明白未知與已知的關(guān)系，在計(jì)算也變形的過程中逐步展開思維，尋找突破口，提高自己分析問題、解決問題的能力 . 例 3 一般地，我們稱離心率 2 15??e 的橢圓為“黃金橢圓” . 已知橢圓 )0(1: 2222 ???? babyaxE 的一個(gè)焦點(diǎn)為 )0)(0,( ?c c F ， P， Q 為橢圓 E 上的任意兩點(diǎn)，M 為 線段 PQ 的中點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . （ 1）試證：若 a， b， c 不是等比數(shù)列，則橢圓 E 一定不是“黃金橢圓”； （ 2）設(shè) E 為黃金橢圓，問：是否存在過點(diǎn) F、 P 的直線 l，使 l 與 y 軸的交點(diǎn) R 滿足PFRP 2?? ？若存在，求直線 l 的斜率 k；若不存在，請(qǐng)說明理由 . （ 3）設(shè) E 為黃金橢圓，若直線 PQ 和 OM 的斜率分別為 PQk 和 OMk ，證明 PQk 12222 ?? byax （ ab0）的四個(gè)頂點(diǎn)為 A、 B、 C、 D，若四邊形 ABCD 的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)， 則橢圓的離心率是 215? L 過橢圓 12222 ?? byax （ ab0）的頂點(diǎn) A（ a,0）、 B(0,b),如果坐標(biāo)原點(diǎn)到直線 L的距離為 2a ， 則橢圓的離心率是 36 ，橢圓 22xyab??1( ab??0)的焦距為 2，以 O 為圓心， a 為半徑作圓，過點(diǎn) 2,0ac??????作圓的兩切線互相垂直，則離心率 e = 22 17. 設(shè) 橢 圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的 離 心 率 為 1e 2? ， 右 焦 點(diǎn) 為 ( 0)Fc， ， 方 程2 0ax bx c? ? ? 的兩個(gè)實(shí)根分別為 1x 和 2x ，則點(diǎn) 12()P x x， （ A ） Ａ．必在圓 222xy??內(nèi) Ｂ．必在圓 222xy??上 Ｃ．必在圓 222xy??外 Ｄ．以上三種情形都有可能 二 、構(gòu)造 ac， 的齊次式，解出 e 1．已知橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則 橢圓的離心率是 53 2． 以橢圓的右焦點(diǎn) F2 為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于 M、 N 兩點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為 F1，直線 MF1 與圓相切， 則 橢圓的離心率是 13? 3． 以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) F 為圓心作一個(gè)圓，使該圓過橢圓的中心 O 并且與橢圓交于 M、 N 兩點(diǎn)，如果 ∣ MF∣ =∣ MO∣ ， 則 橢圓的離心率是 13? 4． 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F 、 F2，過 F2 作橢圓 長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn) P，若 △ F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 21? 5． 已知 F F2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 F1 且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，若△ ABF2 是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是 33 6． 設(shè) 12FF、 分別是橢圓 ? ?22 10xy abab? ? ? ?的左、右焦點(diǎn)， P 是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為3c （ c 為半焦距）的點(diǎn)，且 1 2 2FF F P? ，則橢圓的離心率是 22 三 、 尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形。 是橢圓22ax +22by =1（ a＞ b＞ 0） 上一點(diǎn)， 21 FF、 是橢圓的左右焦點(diǎn)，已知,2, 1221 ?? ???? FPFFPF ,321 ?? PFF 橢圓的離心率為 ?e 13? 21 FF、 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 是橢圓上一點(diǎn)，若 ?? 75,15 1221 ???? FPFFPF ， 則橢圓的離心率為 36 ，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為 2 ，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 1，則該橢圓的離心率為 22 2222 byax ? =1（ a＞ b＞ 0）的右焦點(diǎn)為 F1，右準(zhǔn)線為 l1，若過 F1 且垂直于 x 軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn) F1到 l1 的距離，則橢圓的離心率是 21 。 橢圓 )0(,12222 ???? babyax 短軸端點(diǎn)為 P 滿足 21 PFPF ? ，則橢圓的離心率為?e 22 。 專題： 橢圓 的離心率問題 一 、直接求出 ac， 或求出 a 與 b 的比值 ， 以 求解 e 。 (2) 由 題 設(shè) 可 知 M 、 N 關(guān)于 y 軸 對(duì) 稱 ， 設(shè)1 1 1 1 1( , ) , ( , ) ( 0)M x y N x y x??,由 AMN? 的垂心為 B，有 21 1 130 ( ) ( ) 04B M A N x y b y b? ? ? ? ? ? ? ?。 【解析】考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點(diǎn)三角形來確認(rèn)方程。 （ 2022江西理數(shù) ） 21. （本小題滿 分 12分） 設(shè)橢圓221 : 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?，拋物線 222 :C x by b??。 （ 1）由直線過點(diǎn)（ 1， 3）及斜率可得直線方程，直線與雙曲線交于 BD兩點(diǎn)的中點(diǎn)為（ 1，3），可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo) 公式找出 A,B的關(guān)系式即求得離心率。 |BF|=17證明：過 A、 B、 D三點(diǎn)的圓與x軸相切。 18（ 07 全國(guó) 2 文）．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，則橢圓的離心率等于（ D ） A． 13 B． 33 C． 12 D． 32 19（ 07 江蘇理 3）．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上，一條漸近線方程為 20xy??，則它的離心率為（ A） A． 5 B． 52 C． 3 D． 2 （注意 焦點(diǎn)在 y 軸上） 20．設(shè) 12FF， 分別是橢圓 221xyab??（ 0ab?? ）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在 ,P使線段 1PF 的中垂線過點(diǎn) 2F ，則橢圓離心率的取值范圍是（ D ） A． 202??? ????， B． 303??? ????， C． 212???? ???， D． 313???? ???， 22 32323a c acc c ec+ = ? ? 21（ 07 湖南文）．設(shè) 12FF， 分別是橢圓 221xyab??（ 0ab?? ）的左、右焦點(diǎn)， P 是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為 3c （ c 為半焦距）的點(diǎn)，且 1 2 2| | | |F F F P? ，則橢圓的離心率是（ D ） A． 312? B． 12 C． 512? D． 22 22（ 07 北京文 4）．橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的焦點(diǎn)為 1F ， 2F ，兩條準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)分別為 MN， ，若 12MN F F?≤ ，則該橢圓離心率的取值范圍是（ D ） Ａ． 102??? ???， Ｂ． 202??? ????， Ｃ． 112??????， Ｄ． 212???? ???， 23. （ 2022 重 慶 卷 文 ） 已 知 橢 圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的 左 、 右 焦 點(diǎn) 分 別 為12( , 0), ( , 0)F c F c? ，若橢圓上存在一點(diǎn) P 使1 2 2 1s in s inacP F F P F F? ，則該橢圓的離心率的取值范圍為 ． 【答案】 ? ?2 1,1? . 解法 1，因?yàn)樵?12PFF? 中，由正弦定理得 211 2 2 1s in s inP F P FP F F P F F? 則由已知，得1 2 1 1acPF PF? ，即 12aPF cPF? 設(shè)點(diǎn) 00( , )xy 由焦點(diǎn)半徑公式，得 1 0 2 0,PF a e x PF a e x? ? ? ?則00( ) ( )a a e x c a e x? ? ? 記得0 ( ) ( 1)( ) ( 1)a c a a ex e c a e e??????由橢圓的幾何性質(zhì)知0 ( 1)( 1)aex a aee ?? ? ? ??則，整理得 2 2 1 0,ee? ? ? 解得 2 1 2 1 ( 0 , 1 )e e e? ? ? ? ? ?或 ， 又，故橢圓的離心率( 2 1,1)e?? 24.(2022 湖南卷理 )已知以雙曲線 C 的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為 60 o ，則雙曲線 C 的離心率為 62 【解析】 連虛軸一個(gè)端點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)及原點(diǎn)的三角形，由條件知，這個(gè)三角形的兩邊直角分別是 ,(bcb 是虛半軸長(zhǎng)， c 是焦半距 ) ，且一個(gè)內(nèi)角是 30? ，即得 tan30bc ?? ，所以 3cb? ，所以 2ab? ，離心率 3622ce a? ? ? 25.（ 2022全國(guó)一理 15）在 ABC△ 中， AB BC? ， 7cos 18B?? ．若以 AB， 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) C ，則該橢圓的離心率 e? ． 38 26（ 2022 遼寧文數(shù)） 設(shè)雙曲 線 的一個(gè)焦點(diǎn)為 F ，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為 B ,如果直線 FB 與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲 線的離心率為 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 312? （ D） 512? 解析：選 x 軸上，設(shè)其方程為： 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?， 則一個(gè)焦點(diǎn)為 ( ,0), (0, )F c B b 一條漸近線斜率為： ba，直線 FB 的斜率為： bc?， ( ) 1bbac? ? ? ??， 2b ac?? 22 0c a ac? ? ? ，解得 512ce a ??? . 27（ 2022 四川理數(shù)） （ 9）橢圓 22 1( )xy abab? ? ? ? ?的右焦點(diǎn) F ，其右準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)為 A，在橢圓上存在點(diǎn) P 滿足線段 AP 的垂直平分線過點(diǎn) F ，則橢圓離心 率的取值范 圍是 （ A） 20,2??? ???? （ B） 10,2??? ??? （ C） ?21,1? ?? （ D） 1,12?????? 解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn) P，使得 線段 AP 的垂直平分線過點(diǎn) F ， 即 F 點(diǎn)到 P 點(diǎn)與 A 點(diǎn)的距離相等 而 |FA|＝ 22abccc?? ， |PF|∈ [a－ c,a＋ c]，于是 2bc ∈ [a－ c,a＋ c] 即 ac－ c2≤ b2≤ ac＋ c2 ∴ 2 2 22 2 2ac c a ca c ac c? ? ? ???? ? ????1112caccaa? ????? ? ? ??? 或 又 e∈ (0,1)故 e∈ 1,12?????? 答案： D 28（ 2022 廣東文數(shù)） 、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 C. 52 D. 51 （ 2022全國(guó)卷 1文數(shù)） (16)已知 F 是橢圓 C 的一個(gè)焦點(diǎn)， B 是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段 BF 的延長(zhǎng)線交 C 于 點(diǎn) D ， 且 BF 2FD?uur uur ，則 C 的離 心率為 . 33 【命題意圖】 本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想 ,本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問題的捷徑 . 【 解析 1】如圖， 22||B F b c a? ? ?, 作 1DD y? 軸 于點(diǎn) D1,則由 BF 2FD?uur uur ，得 1| | | | 2| | | | 3O F B FD D B D??,所以 1 33| | | |22D D O F c??, 即 32D cx ?,由橢圓的第二定義得 2233| | ( )22a c cF D e aca? ? ? ?