【正文】 y=x為軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程.6．某拋物線(xiàn)形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng).7．已知圓C1的方程為(x－2)2+(y－1)2=,橢圓C2的方程為=1(a＞b＞0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB恰為圓C1的直徑，求直線(xiàn)AB的方程和橢圓C2的方程.參考答案一、：將直線(xiàn)方程變?yōu)閤=3－2y,代入圓的方程x2+y2+x－6y+m=0,得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0.整理得5y2－20y+12+m=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)則y1y2=,y1+y2=4.又∵P、Q在直線(xiàn)x=3－2y上，∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m－3=0，故m=3.答案：A：由題意，可設(shè)橢圓方程為： =1,且a2=50+b2,即方程為=1.將直線(xiàn)3x－y－2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C二、：所求橢圓的焦點(diǎn)為F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小，|PF1|+|PF2|最小，利用對(duì)稱(chēng)性可解.答案： =1：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2+(y－b)2=r2則有 由此可寫(xiě)所求圓的方程.答案：x2+y2－2x－12=0或x2+y2－10x－8y+4=0三、：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,則(a+c)(a－c)=a2－c2=b2,∴b2=4,設(shè)橢圓方程為 ①設(shè)過(guò)M1和M2的直線(xiàn)方程為y=－x+m ②將②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③設(shè)M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點(diǎn)為(x0,y0),則x0= (x1+x2)=,y0=－x0+m=.代入y=x,得,由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為： =1.：以拱頂為原點(diǎn)，水平線(xiàn)為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標(biāo)分別為(－10，－4）、(10，－4）設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2=－2py,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得100=－2p(－4),解得p=,于是拋物線(xiàn)方程為x2=－25y.由題意知E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－4)，E′點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2，將2代入得y=－,從而|EE′|=(－)－(－4)=.：由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減，得=0,即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化簡(jiǎn)得=－1,故直線(xiàn)AB的方程為y=－x+3,代入橢圓方程得3x2－12x+18－2b2=0.有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=,得，解得b2=8.故所求橢圓方程為=1.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開(kāi)考生“檔次”，有利于選拔的功能.，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.：涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線(xiàn)的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例1】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線(xiàn)y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,將m+n=2,代入得mx2=m2,∴|MN|=4.點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離為d=.∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)(1)求過(guò)P(1，2)點(diǎn)的直線(xiàn)l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)(ⅱ)當(dāng)2－k2≠0,即k≠177。,故當(dāng)k＜－或－＜k＜或＜k＜時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).③當(dāng)Δ＜0，即k＞時(shí)，方程(*)無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=177。,結(jié)合圖形知直線(xiàn)AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.【例4】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(－4，0)、F2(4，0)，過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿(mǎn)足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線(xiàn)的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b===1.(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(－x1)+(－x2)=2,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0==4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.①②得 ①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,即9=0(x1≠x2)將 (k≠0)代入上式，得94+25y0(－)=0(k≠0)即k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立).由點(diǎn)P(4，y0)在弦AC的垂直平分線(xiàn)上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.由點(diǎn)P(4，y0)在線(xiàn)段BB′(B′與B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng))的內(nèi)部，得－＜y0＜,所以－＜m＜.解法二：因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P(4,y0)，所以直線(xiàn)AC的方程為y－y0=－(x－4)(k≠0) ③將③代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－259k2=0所以x1+x2==8,解得k=y0.(當(dāng)k=0時(shí)也成立)(以下同解法一).【例5】 已知雙曲線(xiàn)G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線(xiàn)與圓相切．過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)，使得和交于兩點(diǎn)，和軸交于點(diǎn)，并且點(diǎn)在線(xiàn)段上，又滿(mǎn)足．（1）求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程；（2）求雙曲線(xiàn)的方程；（3）橢圓的中心在原點(diǎn)，它的短軸是的實(shí)軸．如果中垂直于的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是的漸近線(xiàn)截在內(nèi)的部分，求橢圓的方程．解：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為：，則由漸近線(xiàn)與圓相切可得：．所以，．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為：．（2）由（1）可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為：．把直線(xiàn)的方程代入雙曲線(xiàn)方程，整理得．則 （＊）∵ ，共線(xiàn)且在線(xiàn)段上，∴ ，即：，整理得：將（＊）代入上式可解得：．所以，雙曲線(xiàn)的方程為．（3）由題可設(shè)橢圓的方程為：．下面我們來(lái)求出中垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡．設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，則．兩式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線(xiàn)截在橢圓S內(nèi)的部分．又由題，這個(gè)軌跡恰好是的漸近線(xiàn)截在內(nèi)的部分，所以，．所以，橢圓S的方程為：．點(diǎn)評(píng)：解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題時(shí)，把直線(xiàn)投影到坐標(biāo)軸上（也即化線(xiàn)段的關(guān)系為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系）是常用的簡(jiǎn)化問(wèn)題的手段；有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，常常用到“設(shè)而不求”的方法；判別式和韋達(dá)定理是解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的常用工具）．【例6】 設(shè)拋物線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且以直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)．（1）求拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線(xiàn)與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且線(xiàn)段恰被直線(xiàn)平分，設(shè)弦MN的垂直平分線(xiàn)的方程為，試求的取值范圍． 解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，則其焦點(diǎn)為．由拋物線(xiàn)的定義可知：． 所以，． 所以，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的軌跡的方程為： ． （2）因?yàn)槭窍襇N的垂直平分線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由MN所唯一確定．所以，要求的取值范圍，還應(yīng)該從直線(xiàn)與軌跡相交入手．顯然，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸不可能平行，所以，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程得： 由于與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，所以，即：．（＊） 又線(xiàn)段恰被直線(xiàn)平分，所以，． 所以，． 代入（＊）可解得：．下面，只需找到與的關(guān)系，即可求出的取值范圍．由于為弦MN的垂直平分線(xiàn)，故可考慮弦MN的中點(diǎn)．在中，令，可解得：．將點(diǎn)代入，可得：．所以，．從以上解題過(guò)程來(lái)看，求的取值范圍，主要有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系，二是構(gòu)造一個(gè)有關(guān)參量的不等式．從這兩點(diǎn)出發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法：解法二．設(shè)弦MN的中點(diǎn)為，則由點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，可知：．兩式相減得：BB＇ＭＮＰ又由于，代入上式得：．又點(diǎn)在弦MN的垂直平分線(xiàn)上，所以，．所以，．由點(diǎn)在線(xiàn)段BB’上（B’、B為直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，如圖），所以，．也即：．所以，點(diǎn)評(píng)：解決直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，對(duì)于消元后的一元二次方程，必須討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式，有時(shí)借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便．涉及弦中點(diǎn)問(wèn)題，利用韋達(dá)定理或運(yùn)用平方差法時(shí)（設(shè)而不求），必須以直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交為前提，否則不宜用此法．從構(gòu)造不等式的角度來(lái)說(shuō)，“將直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0”與“弦MN的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)”是等價(jià)的．【例7】 設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)．又M是其準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)．試證：直線(xiàn)MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．　　證明　依題意直線(xiàn)MA、MB、MF的斜率顯然存在，并分別設(shè)為，點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為A（，），B（，），M（，m）由“AB過(guò)點(diǎn)F（，0）”得　?。?將上式代入拋物線(xiàn)中得：可知　又依“及”可知　因此　而 故即直線(xiàn)MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．【例8】 已知=(x,0)，=(1，y)(1)求點(diǎn)P(x，y)的軌跡C的方程；(2)若直線(xiàn)：y=kx+m(km≠0)與曲線(xiàn)C交于A、B兩端，D(0，－1),且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍。1.即漸近線(xiàn)為y=177。n= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例10】 如圖所示，拋物線(xiàn)y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線(xiàn)l與線(xiàn)段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線(xiàn)l的方程，并求△AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①∵直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1(5+m)(5+m)≤2()3=128.∴S△≤8,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時(shí)取等號(hào).故直線(xiàn)l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.【例11】 已知雙曲線(xiàn)C：2x2－y2=2與點(diǎn)P(1，2)。(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線(xiàn)C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0………………(*)(ⅰ)當(dāng)2－k2=0,即k=177。時(shí)Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①當(dāng)Δ=0,即3－2k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).②當(dāng)Δ＞0,即k＜,又k≠177。,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k＞時(shí)，l與C沒(méi)有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1