21直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(完整版)
【正文】 較簡捷，本題要注意運用直線方程的點斜式時，斜率是否存在，解答時要分斜率不存在 (α =90176。OB 6(其中 O 為原點 )，求 k 的取值范圍． 解： (1)設(shè)雙曲線 2C 的方程為22ax22by? =1，則 3142 ???a ，再由 222 cba ?? 得 2b =1, 故 2C 的方程為 13 22 ??yx ． (2)將 2??kxy 代入 14 22 ??yx ,得 0428)41( 22 ???? kxxk . 由直線 l 與橢圓 1C 恒有兩個不同的交點得 △ 1= 0)14(16)41(16)28( 2222 ????? kkk ,即 412?k ． ① 將 2??kxy 代入 13 22 ??yx ，得 0926)31( 22 ???? kxxk ． 由直線 l 與雙曲線 2C 恒有兩個不同的交點 BA、 ，得 ???????????????0)1(36)31(36)26(03122222kkkk 即 312?k 且 12?k ． ② 設(shè) ),(),( BBAA yxByxA ,則 ?? BA xx 231 26 kk?， BAxx =231 9k??． 由 OA 時，弦長 AB 為通徑長．∴ AB =2p =?90sin22p． 當(dāng) ? ≠ 90176。OB 6 得 BAxx + BAyy 6，而 BAxx + BAyy = BAxx +( 2?Akx )( 2?Bkx ) ＝ 2)(2)1( 2 ???? BABA xxkxxk =22 31 9)1( kk ????+ ?k2 231 26 kk?+2= 13 7322 ??kk ， 于是 13 7322 ??kk 6，即 13 131522 ??kk 0 解此不等式得 15132?k 或 312?k , ③ 由 ①、②、③得 ?? 241 k 31 或 ?? 21513 k 1, 故 k 的取值范圍為 (1513,1??)∪ ( 33? , 21? )∪ (21 , 33 )∪ (1513,1)． 小結(jié) ：此題是一個橢圓與雙曲線的混合問題，應(yīng)熟練掌握橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，注意分清兩者中 a 、 b 、 c 之間的關(guān)系， (2)中利用直線與橢圓，雙曲線相交構(gòu)造關(guān)于 k 的不等式組，準確合理的計算是成功的關(guān)鍵． 【 鞏固練習(xí) 】 一、選擇題： 1．直線 123 ?? xy與曲線92y 4xx?=1 的公共點個數(shù)為 ( ) A ． 1 個 B ． 2 個 C ． 3 個 D ． 4 個 2．設(shè)直線 l ： 022 ??? yx 關(guān)于原點對稱的直線為 l? ,若 l? 與橢圓 1422 ?? yx 的交 點為 BA、 ， P 為橢圓上動點，則使 △ PAB 面積為21的點 P 的個數(shù)為 （ ）
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