數(shù)列的綜合應用(1)(編輯修改稿)
2025-06-19 09:11 本頁面
【文章內容簡介】 021年新建住房 400萬平方米 ， 其中有 250萬平方米是中低價房 ， 預計在今后的若干年內 ,該市每年新建住房面積平均比上一年增長 8%.另外 ， 每年新建住房中 ， 中低價房的面積均比上一年增加 50萬平方米 .那么 ， 到哪一年底 ， （ 1） 該市歷年所建中低價房的累計面積 （ 以 2021年為累計的第一年 ） 將首次不少于 4 750萬平方米 ？ （ 2） 當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面 積 的 比例 首 次大 于 85% ？ （ 參 考數(shù) 據(jù)：≈ ,≈ ,≈ ) （ 1） 要求學生會把實際問題轉化為數(shù)學 問題 :Sn=250n+ 50=25n2+225n≥ 4 750. (2)an＞ ,bn=400 . 解 （ 1） 設中低價房的面積形成的數(shù)列為 {an}， 由題意可知 {an}是等差數(shù)列 ， 其中 a1=250,d=50, 則 an=250+(n1) 50=50n+200 Sn=250n+ 50=25n2+225n, 令 25n2+225n≥ 4 750, 即 n2+9n190≥ 0,而 n是正整數(shù) ， ∴ n≥ 10. 因此到 2021年底 ， 該市歷年所建中低價房的累計面 積將首次不少于 4 750萬平方米 . 思維啟迪2)1( ?nn2)1( ?nn（ 2） 設新建住房面積形成數(shù)列 {bn}， 由題意可知 {bn}是 等 比 數(shù) 列 ， 其中 b1=400,q=, 則bn=400( )n1. 由題意可知 an＞ , 即 50n+200＞ 400( )n1 . 當 n=5時 ， a5＜ , 當 n=6時 ， a6＞ , 因此滿足上述不等式的最小正整數(shù) n為 6. 因此到 2021年底 ， 當年建造的中低價房的面積占該年 建造住房面積的比例首次大于 85%. 解決此類問題的關鍵是如何把實際問題轉化為數(shù)學問題 ， 通過反復讀題 ， 列出有關信息 ， 轉化為數(shù)列的有關問題 ， 這也是數(shù)學實際應用的具體體現(xiàn) . 探究提高 知能遷移 3 某市 2021年共有 1萬輛燃油型公交車 , 有關部門計劃于 2021年投入 128輛電力型公交車 , 隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加 50%, 試問 : (1)該市在 2021年應該投入多少輛電力型公交車 ? (2)到哪一年底 ,電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的 ?(lg 657=,lg 2=, lg 3=) 解 (1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列 {an},其中 a1=128,q=,則在 2021年應該投入的電力型公交車為 a7=a1 q6=128 =1 458（ 輛 ） . 31（ 2） 記 Sn=a1+a2+? +an， 依據(jù)題意 ， 得 ＞ ， 于是 Sn= ＞ 5 000（ 輛 ） ， 即 ＞ 兩邊取常用對數(shù) ， 則 nlg ＞ lg 即 n＞ ≈ ,又 n∈ N*， 因此 n≥ 8. 所以到 2021年底 ， 電力型公交車的數(shù)量開始超過該 市公交車總量的 . 31nnSS?00010)(1 2 8?? n .32657,326572lg3lg2lg5657lg??31方法與技巧 （ 比 ） 數(shù)列的性質 ， 熟悉它們的推導過程是解題的關鍵 .兩類數(shù)列性質既有相似之處 ，又有區(qū)別 ， 要在應用中加強記憶 .同時 ， 用好性質也會降低解題的運算量 ， 從而減少差錯 . ， 經常要根據(jù)條件列方程 （ 組 ） 求解 ， 在解方程組時 ， 仔細體會兩種情形中解方程組的方法的不同之處 . 思想方法 感悟提高 ， 它和函數(shù) 、 方程 、 三角形 、不等式等知識相互聯(lián)系 ， 優(yōu)化組合 ， 無形中加大了綜合的力度 .解決此類題目 ， 必須對蘊藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學思想有所了解 ， 深刻領悟它在解題中的重大作用 ， 常用的數(shù)學思想方法有：“ 函數(shù)與方程 ” 、 “ 數(shù)形結合 ” 、 “ 分類討論 ” 、“ 等價轉換 ” 等 . ， 人口的增長 、 產量的增加 、 成本的降低 、 存貸款利息的計算 、 分期付款問題等 ，都可以利用數(shù)列來解決 ， 因此要會在實際問題中抽象出數(shù)學模型 ， 并用它解決實際問題 . 失誤與防范 n項和公式要分兩種情況：公比等于1和公比不等于 1的情況 ，要注意這方面的練習 . ， 要學會建模 ， 對應哪一類數(shù)列 ， 進而求解 . ， 證明數(shù)列的不等式要用到放縮法 . 一 、 選擇題 {an}中 ， a2， a3， a1成等 差數(shù)列 ， 則 的值為 （ ） A. B. C. D. 或 解析 設 {an}的公比為 q (q＞ 0)， 由 a3=a2+a1, 得 q2q1=0， 解得 q= . 因此 B 214354aaaa??215?215?215?215?251?251?.2 514354 ????? q
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