數(shù)列的綜合應(yīng)用(1)-文庫(kù)吧
2025-04-24 09:11 本頁(yè)面
【正文】 等比數(shù)列 {bn}的前 n項(xiàng)和為 Tn, 已知 a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3S3=12, 求{an},{bn}的通項(xiàng)公式 . 解 設(shè) {an}的公差為 d， {bn}的公比為 q. 由 a3+b3=17得 1+2d+3q2=17, ① 由 T3S3=12得 q2+qd=4. ② 由 ① 、 ② 及 q＞ 0解得 q=2,d=2. 故所求的通項(xiàng)公式為 an=2n1,bn=3 2n1. 題型二 數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用 【 例 2】 （ 12分 ） 已知 f(x)=logax(a＞ 0且 a≠ 1)， 設(shè) f(a1),f(a2),? ,f(an) (n∈ N*)是首項(xiàng)為 4， 公差為 2的等差數(shù)列 . （ 1） 設(shè) a為常數(shù) ， 求證： {an}是等比數(shù)列； （ 2） 若 bn=anf(an),{bn}的前 n項(xiàng)和是 Sn,當(dāng) a= 時(shí) , 求 Sn. 利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得出 an的表達(dá)式 ，再利用表達(dá)式解決其他問題 . 2思維啟迪 （ 1） 證明 f(an)=4+(n1) 2=2n+2, ∵log aan=2n+2, 2分 ∴ an=a2n+2. ∴ （ n≥ 2） 為定值 . ∴{ an}為等比數(shù)列 . 5分 (2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2. 當(dāng) a= 時(shí) ， bn=(2n+2) ( )2n+2=(n+1)2n+2. 7分 Sn=2 23+3 24+4 25+? +(n+1) 2n+2 ① 2Sn=2 24+3 25+4 26+? +n 2n+2+(n+1) 2n+3② ① ② 得 Sn=2 23+24+25+? +2n+2(n+1) 2n+3 22222)1(2221aaaa aaa nnnnnn ????????2 2 =16+ (n+1) 2n+3 =16+2n+324n 2n+32n+3=n 2n+3. ∴ Sn=n 2n+3. 12分 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類： （ 1） 已知函數(shù)條件 ， 解決數(shù)列問題 .此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì) 、 圖象研究數(shù)列問題； （ 2）已知數(shù)列條件 ， 解決函數(shù)問題 .解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍 、 公式 、 求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形 . 探究提高 21)21(2 14?? ?n知能遷移 2 設(shè)等比數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn， 首項(xiàng) a1=1, 公比 q=f ( ≠ 1,0). （ 1） 證明： Sn=（ 1+ ） an； （ 2） 若數(shù)列 {bn}滿足 b1= ,bn=f(bn1) (n∈ N*, n≥ 2),求數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式 。 （ 3） 若 =1,記 =an ,數(shù)列 {}的前 n項(xiàng)和為 Tn,求證 :當(dāng) n≥ 2時(shí) ,2≤ Tn4. )(? ????1 ?? ?21? )11( ?nb (1)證明 ????????????11])1(1[1)1( 11nnnaqqaS?.)1(,)1()1(,)1()1(])1(1)[1(1111nnnnnnnaSaa?????????????????????????????????又 (2)解 .,1) (111 ???????? ???nnnnnbbbbbf???∴ 是首項(xiàng)為 =2,公差為 1的等差數(shù)列 . =2+(n1)=n+1,即 bn= ??????nb111bnb1 .11?n(3)證明 ∵ 當(dāng) =1時(shí) , ? ,)21( 1?? nna.)21()21(3)21(22121.)21()21(3)21(21.)21()11(32121nnnnnnnnTnTnbc????????????????????又 ∵ Tn+1Tn＞ 0, ∴ Tn單調(diào)遞增 .∴ Tn≥ T2=2. 故當(dāng) n≥ 2時(shí) ,2≤ Tn4. .4)21()21(4 12 ????? ?? nnn nT兩式相減得 .)21(])21(1[2)21()21()21()21(121 12nnnnnnnT???????? ??題型三 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 【 例 3】 假設(shè)某市 2
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