【正文】 ＋ an q2) ＝ 5 anq ? 2 q2－ 5 q ＋ 2 ＝ 0 ? q ＝12或 2 ，又因為 ??????an是遞增數(shù)列， 所以 q ＝ 2. 由 a25＝ a10得 a5＝ q5＝ 32 ，所以 a1＝2 ， an＝ a1qn － 1＝ 2n. [ 答案 ] 2 n 第 9講 │ 要點熱點探究 變式題 (1) 數(shù)列 { an} 中， an ＋ 1＝ 3 an＋ 2( n ∈ N ＋ ) ，且 a10＝ 8 ，則 a4＝ ( ) A ．－8081 B.181 C.127 D ．－2627 (2) 在公比為整數(shù)的等比數(shù)列 { an} 中，若 a1＋ a4＝ 18 ， a2＋a3＝ 12 ，則該數(shù)列的前 8 項之和等于 ( ) A ． 510 B ． 540 C ． 570 D ． 630 第 9講 │ 要點熱點探究 [ 解析 ] (1) 由 an ＋ 1＝ 3 an＋ 2 ，得 an ＋ 1＋ 1 ＝ 3( an＋ 1) ，即數(shù)列{ an＋ 1} 是公比為 3 的等比數(shù)列，所以 a10＋ 1 ＝ ( a4＋ 1) 310 － 4，所以 a4＋ 1 ＝181，所以 a4＝－8081. (2) 設公比為 q ，a1＋ a4a2＋ a3＝1 ＋ q3q ＋ q2 ＝1812，即1 － q ＋ q2q＝32，即2 q2－ 5 q ＋ 2 ＝ 0 ，由于 q 為整數(shù)，故得 q ＝ 2 ，代入 a1＋ a4＝ 18 ，解得 a1＝ 2 ，故 S8＝2 ? 1 － 28?1 － 2＝ 510. [ 答案 ] (1) A (2) A 第 9講 │ 要點熱點探究 ? 探究點 四 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 例 4 [ 2022 湖北卷 ] 已知等差數(shù)列 { an} 前三項的和為－ 3 ，前三項的積為 8. (1) 求等差數(shù)列 { an} 的通項公式； (2) 若 a2， a3， a1成等比數(shù)列，求數(shù)列 {| an|} 的前 n 項和． 第 9講 │ 要點熱點探究 [ 思考流程 ] (1) ( 已知 ){ an} 為等差數(shù)列， a1＋ a2＋ a3＝－ 3 ，a1 a2 a3＝ 8 ? ( 目標 ) 求等差數(shù)列的通項公式 ? ( 方法 ) 列出方程求解首項和公差，根據通項公式得通項； (2) ( 已知 ) a2， a3， a1成等比數(shù)列 ? ( 目標 ) 數(shù)列的前 n 項和 ? 確定數(shù)列 {| an|} 通項公式，按照項的符號分段求解． 第 9講 │ 要點熱點探究 解： (1) 設等差數(shù)列 { an} 的公差為 d ，則 a2＝ a1＋ d ， a3＝ a1＋ 2 d . 由題意得????? 3 a1＋ 3 d ＝－ 3 ，a1? a1＋ d ?? a1＋ 2 d ? ＝ 8 ， 解得????? a1＝ 2 ，d ＝－ 3 ，或????? a1＝－ 4 ，d ＝ 3. 所以由等差數(shù)列通項公式可得 an＝ 2 － 3( n － 1) ＝－ 3 n ＋ 5 ，或 an＝－ 4 ＋ 3( n － 1) ＝ 3 n － 7. 故 an＝－ 3 n ＋ 5 ，或 an＝ 3 n － 7. (2) 當 an＝－ 3 n ＋ 5 時， a2， a3， a1分別為－ 1 ，－ 4,2 ，不成等比數(shù)列； 當 an＝ 3 n － 7 時， a2， a3， a1分別為－ 1,2 ，－ 4 ，成等比數(shù)列，滿足條件． 第 9講 │ 要點熱點探究 故 | an| ＝ |3 n － 7| ＝????? － 3 n ＋ 7 ， n ＝ 1 ， 2 ，3 n － 7 ， n ≥ 3. 記數(shù)列 {| an|} 的前 n 項和為 Sn. 當 n ＝ 1 時， S1＝ | a1| ＝ 4 ；當 n ＝ 2 時， S2＝ | a1| ＋ | a2| ＝ 5 ； 當 n ≥ 3 時， Sn＝ S2＋ | a3| ＋ | a4| ＋ ? ＋ | an| ＝ 5 ＋ (3 3 － 7) ＋ (3 4 － 7 )＋ ? ＋ (3 n － 7) ＝ 5 ＋? n － 2 ? [2 ＋ ? 3 n － 7 ? ]2＝32n2－112n ＋ 10. 當 n ＝ 2 時，滿足此式． 綜上， Sn＝????? 4 ， n ＝ 1 ，32n2－112n ＋ 10 ， n ＞ 1. 第 9講 │ 要點熱點探究 [ 點評 ] 在求一個數(shù)列的絕對值的前 n 項和時 ， 一般思路是根據其項的符號分段求解 ， 但也可從原數(shù)列的前 n 項出發(fā) ， 通過適當?shù)淖儞Q從整體上求解 ． 規(guī)律技巧提煉 第 9講 │ 規(guī)律技巧提煉 ? 規(guī)律 根據數(shù)列的通項 an與前 n 項和的關系求解數(shù)列的通項公式時考慮兩個方面，一方面是根據 Sn ＋ 1－ Sn＝ an ＋ 1把數(shù)列中的和轉化為數(shù)列的通項之間的關系；另一方面是根據 an ＋ 1＝ Sn ＋ 1－ Sn把數(shù)列中的通項轉化為和的關系，先求 Sn再求 an. ? 技巧 判斷數(shù)列 { an} 是不是等差數(shù)列的方法有： (1) 根據等差數(shù)列的定義，即證明 an ＋ 1－ an＝ d ( 常數(shù) ) ； (2) 證明 an ＋ 1＝an＋ an ＋ 22；(3) 證明其通項公式是關于 n 的一次函數(shù) ( 這樣的等差數(shù)列公差不等于零 ) 等．判斷數(shù)列 { an} 為等比數(shù)列的基本方法是定義法． 第 9講 │ 規(guī)律技巧提煉 ? 易錯 關系式 an＝????? S1， n ＝ 1 ，Sn－ Sn － 1， n ≥ 2 ，一定要注意分n ＝ 1 ， n ≥ 2 兩種情況，在求出結果后，看看這兩種情況能否整合在一起．三個數(shù) a ， b ， c 成等差數(shù)列的充要條件是 b ＝a ＋ c2，但三個數(shù) a ， b ， c 成等比數(shù)列的必要條件是 b2＝ ac . 命題立意追溯 第 9講 │ 命題立意追溯 創(chuàng)新意識 —— 證明新定義的數(shù)列為等差、等比數(shù)列 示例 [ 2022 江蘇卷 ] 已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列 { an} 和 { bn}滿足： an ＋ 1＝an＋ bna2n＋ b2n， n ∈ N*. (1) 設 bn ＋ 1＝ 1 ＋bnan， n ∈ N*，求證：數(shù)列????????????bnan2是等差數(shù)列； (2) 設 bn ＋ 1＝ 2 bnan， n ∈ N*，且 { an} 是等比數(shù)列，求 a1和 b1的值． 第 9講 │ 命題立意追溯 [ 命題闡釋 ] 本題命制點 為通過新定義來構造等差、等比數(shù)列，考查創(chuàng)新意識 ． 先定義一個新數(shù)列，然后要求根據定義的條件推斷這個新數(shù)列的一些性質或者判斷一個數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題，是近年來高考中逐漸興起的一類問題，這類問題一般性質新穎，難度不大，常給人耳目一新的感覺 ． 第 9講 │ 命題立意追溯 [ 思考流程 ] ( 1 )( 條件 ) 已知兩個數(shù)列 { an} 和 { bn} 的遞推關系 ? ( 目標 ) 得出新數(shù)列????????????bnan2是等差數(shù)列 ? ( 方法 ) 利用等差 、等比數(shù)列的性質和定義 ． ( 2 )( 條件 ) 已知數(shù)列的遞推關系 ? ( 目標 ) 求出 a1和 b1的值 ? ( 方法 ) 借助反證法進行判斷 ． 第 9講 │ 命題立意追溯 解： (1) 由題設知 an ＋ 1＝an＋ bna2n＋ b2n＝bn ＋ 11 ＋??????bnan2， 所以bn ＋ 1an ＋ 1＝ 1 ＋bnan2，從而bn ＋ 1an ＋ 12－bnan2＝ 1( n ∈ N*) ， 所以數(shù)列????????????bnan2是以 1 為公差的等差數(shù)列． (2) 因為 an0 ， bn0 ，所以? an＋ bn?22≤ a2n＋ b2n( an＋ bn)2， 從而 1 an ＋ 1＝an＋ bna2n＋ b2n≤ 2 .(*) 設等比數(shù)列 { an} 的公比為 q ，由 an0 知 q 0. 下證 q ＝ 1. 第 9講 │ 命題立意追溯 若 q 1 ，則 a1＝a2q a2≤ 2 ，故當 n lo gq2a1時， an ＋ 1＝a1qn 2 ，與 (*) 矛盾； 若 0 q 1 ，則 a1＝a2q a21 ，故當 n l ogq1a1時， an ＋ 1＝ a1qn1 ，與 (*) 矛盾． 綜上， q ＝ 1 ，故 an＝ a1( n ∈ N*) ，所以 1 a1≤ 2 . 第 9講 │ 命題立意追溯 又 bn ＋ 1＝ 2 bnan＝2a1 bn( n ∈ N*) ，所以 { bn} 是公比為2a1的等比數(shù)列．若 a1≠ 2 ，則2a11 ，于是 b1 b2 b3. 又由 a1＝a1＋ bna21＋ b2n得 bn＝a1177。 a212 － a21a21－ 1， 所以 b1， b2， b3中至少有兩項相同 ， 矛盾．所以 a1＝ 2 ， 從而 bn＝a1177。 a212 － a21a21－ 1＝ 2 . 所以 a1＝ b1＝ 2 . 第 9講 │ 命題立意追溯 [ 跟蹤練 ] 已知數(shù)列 { a n } 的前 n 項和為 S n ， 且 2 S n ＝ 3 a n － 2 n ( n∈ N*) ． 求證 ： 數(shù)列 {1 ＋ a n } 是等比數(shù)列 ， 并求數(shù)列 { a n } 的通項公式 a n . 第 9講 │ 命題立意追溯 證明： 當 n ≥ 2 時 ， 2 an＝ 2 Sn－ 2 Sn － 1＝ 3 an－ 2 n － 3 an － 1＋ 2 ( n － 1 ) ， 即 n ≥ 2 時 ， an＝ 3 an － 1＋ 2 ， 從而有 n ≥ 2 時 ， an＋ 1 ＝ 3 ( an － 1＋ 1 ) ． 又 2 a1＝ 2 S1＝ 3 a1－ 2 ， 得 a1＝ 2 ， 故 a1＋ 1 ＝ 3 ≠ 0 ， 故數(shù)列 {1 ＋ an} 是等比數(shù)列 ， 則有 an＋ 1 ＝ 3 3n － 1＝ 3n， 故 an＝ 3n