【正文】 an ＋ 1， Tn是數(shù)列 { bn} 的前 n 項和，試比較 Tn與16的大小． 第 10講 │ 要點熱點探究 解： (1) 由 Sn＋ Sn － 2＝ 2 Sn － 1＋ 2n － 1( n ≥ 3) 得 Sn－ Sn － 1＝ Sn － 1－ Sn － 2＋ 2n － 1( n ≥ 3) ， ∴ an＝ an － 1＋ 2n － 1( n ≥ 3) ，即 an－ an － 1＝ 2n － 1( n ≥ 3) ． 又 a2－ a1＝ 5 － 3 ＝ 2 ， ∴ an－ an － 1＝ 2n － 1( n ≥ 2) ， an＝ ( an－ an － 1) ＋ ( an － 1－ an － 2) ＋ ? ＋ ( a2－ a1) ＋ a1， 故數(shù)列 { an} 的通項公式為 an＝ 2n＋ 1. 第 10講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) ∵ bn＝2n － 1anan ＋ 1＝2n － 1? 2n＋ 1 ?? 2n ＋ 1＋ 1 ?＝12 ????????12n＋ 1－12n ＋ 1＋ 1， ∴ Tn＝ b1＋ b2＋ b3＋ ? ＋ bn ＝12 ??????????????13－15＋??????15－19＋ ? ＋????????12n＋ 1－12n ＋ 1＋ 1 ＝12 ????????13－12n ＋ 1＋ 1， 故 Tn16. 第 10講 │ 要點熱點探究 ? 探究點 三 數(shù)列 中 的 不等式 問題 例 3 設(shè)數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn， 已知 Sn＝ 2 an－ 2n ＋ 1( n ∈ N*) ． ( 1 ) 求數(shù)列 { an} 的通項公式 ； ( 2 ) 設(shè) bn＝ lo gann ＋ 12 ， 數(shù)列 { bn} 的前 n 項和為 Bn， 若存在整數(shù) m ，使對任意 n ∈ N*且 n ≥ 2 ， 都有 B3 n－ Bnm20成立 ， 求 m 的最大值 ． 第 10講 │ 要點熱點探究 解： (1) 由 Sn＝ 2 an－ 2n ＋ 1，得 Sn － 1＝ 2 an － 1－ 2n( n ≥ 2) ． 兩式相減，得 an＝ 2 an－ 2 an － 1－ 2n，即 an－ 2 an － 1＝ 2n( n ≥ 2) ． 于是an2n －an － 12n － 1 ＝ 1 ， 所以數(shù)列??????an2n 是公差為 1 的等差數(shù)列． 又 S1＝ 2 a1－ 22， 所以 a1＝ 4. 所以an2n ＝ 2 ＋ ( n － 1) ＝ n ＋ 1 ， 故 a n ＝ ( n ＋ 1)2n ＋ 1－ 22 n － 1≥ 128 ， 即 2n ＋ 1≥ 27，所以 n ＋ 1 ≥ 7 ，解得 n ≥ 6 ， 所以滿足不等式Tn－ 22 n － 1≥ 128 的最小 n 值為 6. 第 10講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 裂項法求數(shù)列的前 n 項和 例 2 已知數(shù)列 { an} 的各項均是正數(shù)，其前 n 項和為 Sn，滿足 Sn＝ 4 － an. (1) 求數(shù)列 { an} 的通項公式； (2) 設(shè) bn＝12 － log2an( n ∈ N*) ，數(shù)列 { bn 2n ＋ 1， 所以 Tn＝ 2 ＋ (2 n － 1) 2n ＋ 1 ＝－ 2 ＋ 2n ＋ 2－ (2 n ＋ 1) 2n ＋ 1， ② 第 10講 │ 要點熱點探究 ① － ② 得：－ Tn＝ 3 2 ＋ 2(22＋ 23＋ ? ＋ 2n) － (2 n ＋ 1) 2n， ① 2 Tn＝ 3 22＋ 5 23＋ ? ＋ (2 n － 1 ) 2n， 所以 Tn＝ 3 2 ＋ 5 22＋ 7 23＋ ? ＋ ( 2 n － 1 )2n ＋ 1 ＝－ 2n ＋ 1＋ 2 ＋ n 24＋ ? ＋ n 22＋ 3 江西卷 ] 已知數(shù)列 { an} 的前 n 項和 Sn＝ kcn－ k ( 其中 c ， k 為常數(shù) ) ，且 a2＝ 4 ， a6＝ 8 a3. (1) 求 an； (2) 求數(shù)列 { nan} 的前 n 項和 Tn. 第 10講 │ 要點熱點探究 [ 思考流程 ] ( 已知 ) Sn， a2， a6， a3滿足的關(guān)系 ? ( 目標(biāo) ) 求數(shù)列 { an} 的通項和 { nan} 的前 n 項和 ? ( 方法 ) 根據(jù)已知條件得方程求得 k ，進(jìn)而求出數(shù)列 { an} 的通項公式，使用錯位相減法求和即可 ． 第 10講 │ 要點熱點探究 錯位相減法求數(shù)列前 n 項和 解： (1) 由 Sn＝ kcn－ k ， 得 an＝ Sn－ Sn － 1＝ kcn－ kcn － 1( n ≥ 2) ， (3 分 ) 由 a2＝ 4 ， a6＝ 8 a3，得 kc ( c － 1) ＝ 4 ， kc5( c － 1) ＝ 8 kc2( c － 1) ， (5分 ) 解得????? c ＝ 2 ，k ＝ 2 ，所以 a1＝ S1＝ 2 ， an＝ kcn－ kcn － 1＝ 2n( n ≥ 2) ， 于是 an＝ 2n. (7 分 ) (2) Tn＝ ∑ni ＝ 1iai＝ ∑ni ＝ 1i 2n＝1? n － 1 ? 2n － 1－1n 2n 等． 第 10講 │ 主干知識整合 3 ． 常用求和方法 公式法 如 an＝ 2 ＋ 2 n ， an＝ 3n 分組法 如 an＝ 2 n ＋ 2n， an＝ ( － 1)nn ＋ 2 裂項法 如 an＝1n ? n ＋ 1 ?＝1n－1n ＋ 1 錯位相減法 如 an＝ (2 n － 1) 2n＝2 n － ? n － 1 ?n ? n － 1 ? aq? m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N*) ． [ 答案 ] (1)(3)(4) 第 9講 │ 教師備用例題 例 2 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x － cos x ， { a n } 是公差為π8的等差數(shù)列， f ( a 1 ) ＋ f ( a 2 ) ＋ ? ＋ f ( a 5 ) ＝ 5π ，則 [ f ( a 3 )]2－ a 1 a 5 ＝ ( ) A ． 0 B.116π2 C.18π2 D.1316π2 第 9講 │ 教師備用例題 [ 解析 ] D 設(shè) a3＝ α ，則 a1＝ α －π4， a2＝ α －π8， a4＝ α ＋π8， a5＝ α ＋π4， 由 f ( a1) ＋ f ( a2) ＋ ? ＋ f ( a5) ＝ 5π ， 得 2 5 α － c os??????α －π4＋ cos??????α －π8＋ c os α ＋ cos??????α ＋π8＋cos??????α ＋π4＝ 5π ， 即 10 α － ( 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 1)c os α ＝ 5π. [ 答案 ] D 第 9講 │ 教師備用例題 當(dāng) 0 ≤ α ≤ π 時，左邊是 α 的增函數(shù)，且 α ＝π2滿足等式； 當(dāng) α ＞ π 時， 10 α ＞ 10π ，而 ( 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 1) cos α ＜5cos α ≤ 5 ，等式不可能成立； 當(dāng) α ＜ 0 時， 10 α ＜ 0 ，而－ ( 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 1)c os α ＜ 5 ，等式也不可能成立． 故 a3＝ α ＝π2. [ f ( a3)]2－ a1a5＝ π2－??????α －π4??????α ＋π4＝1316π2. 第 9講 │ 教師備用例題 例 3 [ 20 12 a1 9 8a199＝ ( a1 0 0)1991 ，故 (4) 正確．本題綜合考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及分析問題的能力，試題比較符合高考命題的趨勢．在等比數(shù)列中最主要的性質(zhì)之一就是 am a1 0 0 a197a1 9 8＝ ( a99a1 0 0)991 ， (2) 不正確； T1 9 9＝ a1a2 a99a1 0 0 a212 － a21a21－ 1＝ 2 . 所以 a1＝ b1＝ 2 . 第 9講 │ 命題立意追溯 [ 跟蹤練 ] 已知數(shù)列 { a n } 的前 n 項和為 S n ， 且 2 S n ＝ 3 a n － 2 n ( n∈ N*) ． 求證 ： 數(shù)列 {1 ＋ a n } 是等比數(shù)列 ， 并求數(shù)列 { a n } 的通項公式 a n . 第 9講 │ 命題立意追溯 證明： 當(dāng) n ≥ 2 時 ， 2 an＝ 2 Sn－ 2 Sn － 1＝ 3 an－ 2 n － 3 an － 1＋ 2 ( n － 1 ) ， 即 n ≥ 2 時 ， an＝ 3 an － 1＋ 2 ， 從而有 n ≥ 2 時 ， an＋ 1 ＝ 3 ( an － 1＋ 1 ) ． 又 2 a1＝ 2 S1＝ 3 a1－ 2 ， 得 a1＝ 2 ， 故 a1＋ 1 ＝ 3 ≠ 0 ， 故數(shù)列 {1 ＋ an} 是等比數(shù)列 ， 則有 an＋ 1 ＝ 3 3n － 1＝ 3n， 故 an＝ 3n－ 1. 教師備用例題 第 9講 │ 教師備用例題 選題理由： 例 1 是研究數(shù)列的性質(zhì) ， 在正文中我們偏重計算 ， 這個題目作為補(bǔ)充 ； 例 2 是一道難度較大 、 技巧較高的試題 ， 其基本思想是構(gòu)造函數(shù) ， 使用函數(shù)的性質(zhì) ， 可供開闊學(xué)生思路用 ； 例 3 為等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 ， 可作探究點四的變式訓(xùn)練 ． 第 9講 │ 教師備用例題 例 1 設(shè) { an} 是公比為 q 的等比數(shù)列 ， 其前 n 項積為 Tn， 并滿足條件 a11 ， a99a1 00－ 10 ，a99－ 1a100－ 10 ， 給出下列結(jié)論 ： ( 1 ) 0 q 1 ； ( 2 ) T1 9 81 ； ( 3 ) a99a1 0 11 ； ( 4 ) 使 Tn1 成立的最小自然數(shù) n 等于 1 99 ， 其中正確結(jié)論的編號為 ________ ． 第 9講 │ 教師備用例題 [ 解析 ] 根據(jù)