數(shù)列模型及數(shù)列的綜合應(yīng)用(參考版)
2025-05-18 08:56本頁面
【正文】 qi － 1＝ j (12)i. 【 知識(shí)要點(diǎn) 】 1． 數(shù)列綜合問題中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想 (1)用函數(shù)的觀點(diǎn)與思想認(rèn)識(shí)數(shù)列 ， 將數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式視為定義在正整數(shù)集或其有限子集 {1,2， ?， n}上的函數(shù) ． (2)用方程的思想處理數(shù)列問題 ， 將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列基本量的方程 ． (3)用轉(zhuǎn)化化歸的思想探究數(shù)列問題 ， 將問題轉(zhuǎn)化為等差 、 等比數(shù)列的研究 ． (4)數(shù)列綜合問題常常應(yīng)用分類討論思想、特殊與一般思想、類比聯(lián)想思想、歸納猜想思想等． 2． 數(shù)列應(yīng)用問題 利用數(shù)列模型解決的實(shí)際問題稱為數(shù)列應(yīng)用問題 ． 在實(shí)際問題中 ， 有很多問題都可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題進(jìn)行處理 ， 如經(jīng)濟(jì)上涉及的利潤(rùn) 、 成本 、 效益的增減問題 ，在人口數(shù)量的研究中涉及的增長(zhǎng)率問題以及金融中涉及的利率問題 ， 都與數(shù)列問題相聯(lián)系 ． 處理數(shù)列應(yīng)用問題的基本思想與處理函數(shù)應(yīng)用問題的基本思想是一致的 ． 3． 數(shù)列應(yīng)用問題的解決 數(shù)列應(yīng)用問題的處理方法與函數(shù)應(yīng)用問題處理的方法及步驟基本一致 ． 數(shù)列應(yīng)用題的解法一般是根據(jù)題設(shè)條件， 建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系 (即等差數(shù)列或等比數(shù)列模型 )， 然后利用相關(guān)的數(shù)列知識(shí)定型解模 ． 建模是關(guān)鍵 ， 首先要分析研究實(shí)際問題的對(duì)象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) ， 其次要找出所含元素的數(shù)量關(guān)系 ， 從而確定為何種數(shù)學(xué)模型 ． 建模的過程也是一個(gè)把文字語言翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語言的過程 ． 解模的過程就是運(yùn)算的過程 ， 首先判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列 ， 確定首項(xiàng) 、 公差 (比 )、 項(xiàng)數(shù)是什么 ， 能分清 an， Sn， 然后選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?． 最后的程序是回驗(yàn) ，即把數(shù)學(xué)問題的解客觀化 ， 針對(duì)實(shí)際問題的約束條件合理修正 ， 使其成為實(shí)際問題的解 ． 一、數(shù)列模型及應(yīng)用 例 1 某企業(yè) 2 0 1 1 年的純利潤(rùn)為 5 0 0 萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年 ( 2 0 1 2 年 ) 起每年比上一年純利潤(rùn)減少 20 萬元．今年初該企業(yè)一次性投入資金6 0 0 萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第 n 年 ( 今年為第一年 ) 的利潤(rùn)為 5 0 0 ( 1＋12n ) 萬元 ( n 為正整數(shù) ) ． ( 1 ) 設(shè)從今年起的前 n 年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為 A n 萬元，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為 B n 萬元 ( 需扣除技術(shù)改造資金 ) ，求 A n 、 B n 的表達(dá)式； ( 2 ) 依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？ 【解析】 ( 1 ) 依題設(shè)， A n ＝ ( 5 0 0 － 2 0 ) ＋ ( 5 0 0 － 4 0 ) ＋ ?＋ ( 5 0 0 － 20 n ) ＝ 490 n － 10 n2； B n ＝ 5 0 0 [ ( 1 ＋12) ＋ (1 ＋122 ) ＋ ? ＋ (1 ＋12n )] － 600 ＝ 500 n －5 0 02n － 100. ( 2 ) Bn－ An＝ ( 5 0 0 n －5 0 02n － 1 0 0 ) － ( 4 9 0 n － 10 n2) ＝ 10 n2＋ 10 n －5 0 02n － 100 ＝ 1 0 [ n ( n ＋ 1) －502n － 1 0 ] 因?yàn)楹瘮?shù) y ＝ x ( x ＋ 1) －502x － 10 在 (0 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)，當(dāng) 1 ≤ n ≤ 3 時(shí)， n ( n ＋ 1) －502n － 10 ≤ 12 －508－ 10＜ 0 ；當(dāng) n ≥ 4 時(shí)， n ( n ＋ 1) －502n － 10 ≥ 20 －5016－ 10＞ 0 ，所以僅當(dāng) n ≥ 4 時(shí)， Bn＞ An. 所以至少經(jīng)過 4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)． 【 點(diǎn)評(píng) 】 本題關(guān)鍵是仔細(xì)審題，列出數(shù)列通項(xiàng)，然后利用數(shù)列求和公式和數(shù)列單調(diào)性求解． 例 2 某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為 a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加 d ( d ＞ 0) ，因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目 a1， a2， ? ，是一個(gè)公差為 d 的等差數(shù)列．與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利．這就是說，如果固定年利率為 r ( r ＞ 0) ，那么，在第 n 年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a1 ( 1 ＋ r )n － 1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a2(1 ＋ r )n － 2， ? . 以 Tn表示到第 n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額． ( 1 ) 寫出 T n 與 T n － 1 ( n ≥ 2) 的遞推關(guān)系式； ( 2 ) 求證： T n ＝ A n ＋ B n ，其中 { A n } 是一個(gè)等比數(shù)列，{ B n } 是一個(gè)等差數(shù)列． 【解析】 ( 1 ) Tn＝ Tn － 1 ( 1 ＋ r ) ＋ an ( n ≥ 2) ． ( 2 ) T1＝ a1，對(duì) n ≥ 2 反復(fù)使用上述關(guān)系式， 得 Tn＝ Tn － 1 ( 1 ＋ r ) ＋ an＝ Tn － 2 ( 1 ＋ r )2＋ an － 1 ( 1 ＋ r ) ＋an＝ ? ＝ a1 ( 1 ＋ r )n － 1＋ a2 ( 1 ＋ r )n － 2＋ ? ＋ an － 1 ( 1 ＋ r )＋ an.① 在 ① 式兩端同乘 (1 ＋ r ) ，得 ( 1 ＋ r ) Tn＝ a1 ( 1 ＋ r )n＋a2 ( 1 ＋ r )n － 1＋ ? ＋ an － 1 ( 1 ＋ r )2＋ an ( 1 ＋ r ) ． ② ② － ① ，得 rTn＝ a1 ( 1 ＋ r )n＋ d [ ( 1 ＋ r )n － 1＋ (1 ＋ r )n － 2＋ ? ＋ (1 ＋ r )] － an＝dr[(1 ＋ r )n－ 1 － r ] ＋ a1 ( 1 ＋ r )n－an, 即 Tn＝a1r ＋ dr2 (1 ＋ r )n－drn －a1r ＋ dr2 . 如果記 An＝a1r ＋ dr2 (1 ＋ r )n， Bn＝－a1r ＋ dr2 －drn ， 則 Tn＝ An＋ Bn，其中 { An} 是以a1r ＋ dr2 (1 ＋ r ) 為首項(xiàng)，以 1 ＋ r ( r ＞ 0) 為公比的
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