數(shù)列的綜合應(yīng)用(參考版)
2025-06-21 04:17本頁面
【正文】 bn=123456…2n12n.因為n+1n+2nn+1,n∈N*,所以當(dāng)n≥2時,Tn2=121234345656…2n12n2n12n121223344556…2n22n12n12n=14n.即Tn12n,n≥2.又當(dāng)n=1時,T1=12≥121=12成立,綜上,當(dāng)n∈N*時,Tn≥12n成立.【新題快遞】1.【2015高考浙江，文10】已知是等差數(shù)列，公差不為零．若，成等比數(shù)列，且，則 ， ．【答案】【解析】由題可得，故有，又因為，即，所以.2. 【2016高考四川文科】（本小題滿分12分）已知數(shù)列{ }的首項為1， 為數(shù)列的前n項和， ，其中q0， .（Ⅰ）若 成等差數(shù)列，求的通項公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線 的離心率為 ，且 ，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）已知的遞推式，一般是寫出當(dāng)時，兩式相減，利用，得出數(shù)列的遞推式，從而證明為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式得到結(jié)論；（Ⅱ）先利用雙曲線的離心率定義得到的表達式，再由解出的值，最后利用等比數(shù)列的求和公式求解計算.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以雙曲線的離心率.，3. 【2014四川，文19】設(shè)等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖象上（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，學(xué)科網(wǎng)函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：據(jù)題設(shè)可得，.（1）當(dāng)時，將相除，可得商為常數(shù)，從而證得其為等比數(shù)列.（2）首先可求出在處的切線為，令得，由此可求出，.所以，這個數(shù)列用錯位相消法可得前 項和.4.【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等差數(shù)列滿足：，且、成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式.（Ⅱ）記為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.（Ⅱ）當(dāng)時，顯然，不存在正整數(shù)，使得.當(dāng)時，令，即，解得或（舍去）此時存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41.綜上所述，當(dāng)時，不存在正整數(shù)；當(dāng)時，存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41.27。b3bn,求證:Tn≥12nn∈N*.【解析】(1)設(shè)公差為d(d≠0),因為S5=25,所以5a1+542d=25,即a1+2d=5.因為a2,a5,a14成等比數(shù)列,所以(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,即6a1d3d2=0.因為d≠0,所以d=2a1,所以a1=1,d=2.則an=a1+(n1)d=2n1.(2)因為bn=an2n=2n12n,所以Tn=b1b3臨沂模擬)已知公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,S5=25,且a2,a5,a14成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)設(shè)bn=an2n,Tn=b1n14+14112+…+141n11n=1214n。Sn1,得an=12 (n=1),12n2n2(n≥2).因為Sn2=14n214n(n1)=141n11n(n≥2),S12=14,所以當(dāng)n≥2時,S12+S22+…+Sn2=14+1422+…+14Sn1,得1Sn1Sn1=2(n≥2),所以數(shù)列1Sn是以1S1=1a1=2為首項,以d=2為公差的等差數(shù)列,所以1Sn=1S1+(n1)Sn1(n≥2),所以SnSn1=2Sn2n+162成立的正整數(shù)n的最小值為6.14.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=12,an=2Sn2n+1,所以Sn+n2n+1],兩式相減,得Sn=2+22+23+…+2nn2n),2Sn=[122+223+…+(n1)122n=n12an,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn+n(a1+7d),解得:a1=2,d=1.所以an=n+1,Sn=n(2+n+1)2=n22+32n.(2)由題知=n2+λ(n+1),若使{}為單調(diào)遞增數(shù)列,則+1=(n+1)2+λ(n+2)[n2+λ(n+1)]=2n+1+λ0對一切n∈N*恒成立,即:λ2n1對一切n∈N*恒成立,又φ(n)=2n1是單調(diào)遞減的,所以當(dāng)n=1時,φ(n)max=3,所以λ3.【加固訓(xùn)練】(2016若不存在,請說明理由.【解題提示】(1)設(shè)公差為d,構(gòu)造方程組求出a1,d,進而可求an,Sn.(2)利用+10恒成立求解.【解析】(1)設(shè)公差為d,由S3=9,a52=a34(14n1)14(3n+1)4n,整理得:Tn=n42+…+343+…+(3n+1)4n,④③④得:3Tn=4+34+74+10青島模擬)已知數(shù)列an與bn滿足:a1+a2+a3+…+an=log2bnn∈N*.若an為等差數(shù)列,且a1=2,b3=64b2.(1)求an與bn.(2)設(shè)=an+n+1淄博模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足a2+a4=10,點Pn(n,an)對任意的n∈N*,都有向量=(1,2),則數(shù)列{an}的前n項和Sn= .【解析】由題意可知,Pn+1(n+1,an+1),所以=(1,an+1an)=(1,2),所以an+1an=2,所以數(shù)列an是以2為公差的等差數(shù)列,又a2+a4=10,所以a1=1,an=2n1,Sn=1+3+…+(2n1)=n2.答案:n211.(2016(n1)(n1)25]=130(n2+15n9).當(dāng)n=1時,a1=S1=16,適合上式,綜上可知,an=130(n2+15n9).令an,即130(n2+15n9),解得6
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