【正文】 a － 2a － 1 ＝ 3 1( 1 )21 a?? ? 0. 主頁 題 型 三數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用 f ( n ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上為單調(diào)遞減函數(shù)． f ( 1) ＝ ( a － 1) ＋ (3 a － 6) － 8 ＝ 4 a － 150. ∴ a 154 ， ∴ a 1 時， 4 aS n b n 恒成立． 綜上知， a ≤ 1 時， 4 aS n b n 恒成立． 探究提高 由 an＋ bn＝ 1得到 an的表達式 ， 然后利用裂項相消法求得 Sn， 將 4aSnbn轉(zhuǎn)化為 (a－ 1)n2＋ (3a－ 6)n－ 80對任意n∈ N*恒成立 ， 對 n2的系數(shù)分 a＝ 1， a1及 a1三種情況進行分類討論 ， 利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行分析 ， 從而求得使不等式成立的 a的取值范圍 ． a 1 時，對稱軸 n ＝－ 32 a － 2a － 1 ＝ 3 1( 1 )21 a?? ? 0. ( 3) a n ＝ 1 － b n ＝ 1n ＋ 3 ， ∴ S n ＝ a 1 a 2 ＋ a 2 a 3 ＋ ? ＋ a n a n ＋ 1 ＝ 14 5 ＋ 15 6 ＋ ? ＋ 1? n ＋ 3 ?? n ＋ 4 ? 11()45?? 11()56?? 11() 34nn? ? ??? ＝ 14 － 1n ＋ 4 ＝ n4 ? n ＋ 4 ? . ∴ 4 aS n － b n ＝ ann ＋ 4 － n ＋ 2n ＋ 3 ＝ ? a － 1 ? n 2 ＋ ? 3 a － 6 ? n － 8? n ＋ 3 ?? n ＋ 4 ? . 由條件可知 ( a － 1) n 2 ＋ (3 a － 6) n － 80 恒成立即可滿足條件． 設(shè) f ( n ) ＝ ( a － 1) n 2 ＋ 3( a － 2) n － 8 ， 則 a ＝ 1 時， f ( n ) ＝－ 3 n － 8 0 ，恒成立； a 1 時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立； a 1 時，對稱軸 n ＝－ 32 a － 2a － 1 ＝ 3 1( 1 )21 a?? ? 0. ( 3) a n ＝ 1 － b n ＝ 1n ＋ 3 ， ∴ S n ＝ a 1 a 2 ＋ a 2 a 3 ＋ ? ＋ a n a n ＋ 1 ＝ 14 5 ＋ 15 6 ＋ ? ＋ 1? n ＋ 3 ?? n ＋ 4 ? 11()45?? 11()56?? 11() 34nn? ? ??? ＝ 14 － 1n ＋ 4 ＝ n4 ? n ＋ 4 ? . ∴ 4 aS n － b n ＝ ann ＋ 4 － n ＋ 2n ＋ 3 ＝ ? a － 1 ? n 2 ＋ ? 3 a － 6 ? n － 8? n ＋ 3 ?? n ＋ 4 ? . 由條件可知 ( a － 1) n 2 ＋ (3 a － 6) n － 80 恒成立即可滿足條件． 設(shè) f ( n ) ＝ ( a － 1) n 2 ＋ 3( a － 2) n － 8 ， 則 a ＝ 1 時， f ( n ) ＝－ 3 n － 8 0 ，恒成立； a 1 時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立； a 1 時，對稱軸 n ＝－ 32 a － 2a － 1 ＝ 3 1( 1 )21 a?? ? 0. ( 3) a n ＝ 1 － b n ＝ 1n ＋ 3 ， ∴ S n ＝ a 1 a 2 ＋ a 2 a 3 ＋ ? ＋ a n a n ＋ 1 ＝ 14 5 ＋ 15 6 ＋ ? ＋ 1? n ＋ 3 ?? n ＋ 4 ? 11()45?? 11()56?? 11()34nn? ? ??? ＝ 14 － 1n ＋ 4 ＝ n4 ? n ＋ 4 ? . ∴ 4 aS n － b n ＝ ann ＋ 4 － n ＋ 2n ＋ 3 ＝ ? a － 1 ? n2 ＋ ? 3 a － 6 ? n － 8? n ＋ 3 ?? n ＋ 4 ? . 由條件可知 ( a － 1) n 2 ＋ (3 a － 6) n － 80 恒成立即可滿足條件． 設(shè) f ( n ) ＝ ( a － 1) n 2 ＋ 3( a － 2) n － 8 ， 則 a ＝ 1 時， f ( n ) ＝－ 3 n － 8 0 ，恒成立； a 1 時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立； a 1 時，對稱軸 n ＝－ 32 a － 2a － 1 ＝ 3 1( 1 )21 a?? ? 0. ( 3) a n ＝ 1 － b n ＝ 1n ＋ 3 ， ∴ S n ＝ a 1 a 2 ＋ a 2 a 3 ＋ ? ＋ a n a n ＋ 1 ＝ 14 5 ＋ 15 6 ＋ ? ＋ 1? n ＋ 3 ?? n ＋ 4 ? 11()45?? 11()56?? 11() 34nn? ? ??? ＝ 14 － 1n ＋ 4 ＝ n4 ? n ＋ 4 ? . ∴ 4 aS n － b n ＝ ann ＋ 4 － n ＋ 2n ＋ 3 ＝ ? a － 1 ? n2 ＋ ? 3 a － 6 ? n － 8? n ＋ 3 ?? n ＋ 4 ? . 由條件可知 ( a － 1) n 2 ＋ (3 a － 6) n － 80 恒成立即可滿足條件． 設(shè) f ( n ) ＝ ( a － 1) n 2 ＋ 3( a － 2) n － 8 ， 則 a ＝ 1 時， f ( n ) ＝－ 3 n － 8 0 ，恒成立； a 1 時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立； a 1 時，對稱軸 n ＝－ 32 4 ( a n － 1) ＋ ( a n － 1) 2 ＝ 0 ， ∴ ( a n － 1) ( 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1) ＝ 0. ∵ a 1 ＝ 2 ， ∴ a n ≠ 1 ， ∴ 4 a n ＋ 1 － 3 a n － 1 ＝ 0 ， ∴ a n ＋ 1 － 1 ＝ 34 ( a n － 1) ，且 a 1 － 1 ＝ 1 ， ∴ 數(shù)列 { a n － 1} 是首項為 1 ，公比為 34 的等比數(shù)列， ∴ a n － 1 ＝ 13()4 n ? ，即 13( ) 1 .4 nna ??? 主頁 變式訓(xùn)練 2( 3) b n ＝ 3( a n － 1) 2 － 4( a n ＋ 1 － 1) ， 令 b n ＝ y ， u ＝ 13()4 n ? ， 則 2113 [ ( ) ]24yu? ? ? 2 313 ( )24u? ? ? . ∵ n ∈ N * ， ∴ u 的值分別為 1 ， 34 ， 916 ， 2764 , ? , 經(jīng)比較 916 距 12 最近， ∴ 當(dāng) n ＝ 3 時， b n 有最小值是－ 189256 ， 當(dāng) n ＝ 1 時， b n 有最大值是 0. ( 3) b n ＝ 3( a n － 1) 2 － 4( a n ＋ 1 － 1) ， 令 b n ＝ y ， u ＝ 13()4 n ? ， 則 2113 [ ( ) ]24yu? ? ? 2 313 ( )24u? ? ? . ∵ n ∈ N * ， ∴ u 的值分別為 1 ， 34 ， 916 ， 2764 , ? , 經(jīng)比較 916 距 12 最近， ∴ 當(dāng) n ＝ 3 時， b n 有最小值是－ 189256 ， 當(dāng) n ＝ 1 時， b n 有最大值是 0. ( 3) b n ＝ 3( a n － 1) 2 － 4( a n ＋ 1 － 1) ， 令 b n ＝ y ， u ＝ 13()4 n? ， 則 2113 [ ( ) ]24yu? ? ? 2 313 ( )24u? ? ? . ∵ n ∈ N * ， ∴ u 的值分別為 1 ， 34 ， 916 ， 2764 , ? , 經(jīng)比較 916 距 12 最近， ∴ 當(dāng) n ＝ 3 時， b n 有最小值是－ 189256 ， 當(dāng) n ＝ 1 時， b n 有最大值是 0. ( 3) b n ＝ 3( a n － 1) 2 － 4( a n ＋ 1 － 1) ， 令 b n ＝ y ， u ＝ 13()4 n ? ， 則 2113 [ ( ) ]24yu? ? ? 2 313 ( )24u? ? ? . ∵ n ∈ N * ， ∴ u 的值分別為 1 ， 34 ， 916 ， 2764 , ? , 經(jīng)比較 916 距 12 最近， ∴ 當(dāng) n ＝ 3 時， b n 有最小值是－ 189256 ， 當(dāng) n ＝ 1 時， b n 有最大值是 0. ( 3) b n ＝ 3( a n － 1) 2 － 4( a n ＋ 1 － 1) ， 令 b n ＝ y ， u ＝ 13()4 n ? ， 則 2113 [ ( ) ]24yu? ? ? 2 313 ( )24u? ? ? . ∵ n ∈ N * ， ∴ u 的值分別為 1 ， 34 ， 916 ， 2764 , ? , 經(jīng)比較 916 距 12 最近， ∴ 當(dāng) n ＝ 3 時， b n 有最小值是－ 189256 ， 當(dāng) n ＝ 1 時， b n 有最大值是 0. ( 3) b n ＝ 3( a n － 1) 2 － 4( a n ＋ 1 － 1) ， 令 b n ＝ y ， u ＝ 13()4 n ? ， 則 2113 [ ( ) ]24yu? ? ? 2 313 ( )24u? ? ? . ∵ n ∈ N * ， ∴ u 的值分別為 1 ， 34 ， 916 ， 2764 , ? , 經(jīng)比較 916 距 12 最近， ∴ 當(dāng) n ＝ 3 時， b n 有最小值是－ 189256 ， 當(dāng) n ＝ 1 時， b n 有最大值是 0. ( 3) b n ＝ 3( a n － 1) 2 － 4( a n ＋ 1 － 1) ， 令 b n ＝ y ， u ＝ 13()4 n ? ， 則 2113 [ ( ) ]24yu? ? ? 2 313 ( )24u? ? ? . ∵ n ∈ N * ， ∴ u 的值分別為 1 ， 34 ， 916 ， 2764 , ? , 經(jīng)比較 916 距 12 最近， ∴ 當(dāng) n ＝ 3 時， b n 有最小值是－ 189256 ， 當(dāng) n ＝ 1 時， b n 有最大值是 0. 主頁 題 型 三數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用 【例 3 】 已知數(shù)列 { a n } , { b n } 滿足 a 1 ＝14, a n ＋ b n ＝ 1 , b n ＋ 1 ＝b n1 － a2n. ( 1) 求 b 1 ， b 2 ， b 3 ， b 4 ； ( 2) 求數(shù)列 { b n } 的通項公式； ( 3) 設(shè) S n ＝ a 1 a 2 ＋ a 2 a 3 ＋ ? ＋ a n a n ＋ 1 , 求實數(shù) a 為何值時 , 4 aS n b n . 解 : ( 1 ) b n ＋ 1 ＝ b n? 1 － an ?? 1 ＋ a n ?＝ b nbn ? 2 － b n ?＝ 12 － bn. ∵ a 1 ＝ 14 ,∴ b 1 ＝ 34 ， ∴ b 2 ＝ 45 ， b 3 ＝ 56 ， b 4 ＝ 67 . ( 2) ∵ b n ＋ 1 － 1 ＝ 12 － bn－ 1 ， ∴ 1bn ＋ 1 － 1＝ 2 － b nbn － 1＝－ 1 ＋ 1bn － 1. ∴ 數(shù)列 ????? ?????1b n － 1 是以－ 4 為首項，－ 1 為公差的等差數(shù)列 . ∴ 1bn － 1＝－ 4 － ( n － 1) ＝－ n － 3 ， ∴ b n ＝ 1 － 1n ＋ 3 ＝ n ＋ 2n ＋ 3 . 解 : ( 1 ) b n ＋ 1 ＝ b n? 1 － an ?? 1 ＋ a n ?＝ b nbn ? 2 － b n ?＝ 12 － bn. ∵ a 1 ＝ 14 ,∴ b 1 ＝ 34 ， ∴ b 2 ＝ 45 ， b 3 ＝ 56 ， b 4 ＝ 67 . ( 2) ∵ b n ＋ 1 － 1 ＝ 12 － bn－ 1 ， ∴ 1bn ＋ 1 － 1＝ 2 － b nbn － 1＝－ 1 ＋ 1bn － 1. ∴ 數(shù)列 ????? ?????1b n － 1 是以－ 4 為首項，－ 1 為公差的等差數(shù)列 . ∴ 1bn － 1＝－ 4 － ( n － 1) ＝－ n － 3 ， ∴ b n ＝ 1 － 1n ＋ 3 ＝ n ＋ 2n ＋ 3 . 解 : ( 1 ) b n ＋ 1 ＝ b n? 1 － an ?? 1 ＋ a n ?＝ b nbn ? 2 － b n ?＝ 12 － bn. ∵ a 1 ＝ 14 , ∴ b 1 ＝ 34 ， ∴ b 2 ＝ 45 ， b 3 ＝ 56 ， b 4 ＝ 67 . ( 2) ∵ b n ＋ 1 － 1 ＝ 12 － bn－ 1 ， ∴ 1bn ＋ 1 － 1＝ 2 － b nbn － 1＝－ 1 ＋ 1bn － 1. ∴ 數(shù)列 ????? ?????1b n － 1 是以－ 4 為首項，－ 1 為公差的等差數(shù)列 . ∴ 1bn － 1＝－ 4 － ( n － 1) ＝－ n － 3 ， ∴ b