數(shù)列的綜合應(yīng)用-展示頁
2025-06-27 04:17本頁面
【正文】 從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列,= 時(shí),求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和.考向三 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題【典例3】(2016合肥模擬)正整數(shù)按下列方法分組:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,記第n組中各數(shù)之和為An。青島模擬)下面給出了一個(gè)三角形數(shù)陣,已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列,從第3行起,每一行的數(shù)成等比數(shù)列,(i,j∈N*),則a43=______.【加固訓(xùn)練】1.(2016德州模擬)將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:12 34 5 67 8 9 10… … … … …按照以上排列的規(guī)律,第n行(n≥3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為________.(2)(2016天津模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差和首項(xiàng)都不等于0,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,則 = ( ) 【加固訓(xùn)練】{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,則公比q為 ( ) 2.(2016第十六節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 [自我反饋]1．已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比數(shù)列{bn}滿足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，則log2(a2＋b2)＝( )A．－1或2 B．0或2C．2 D．1解析：選C 由題意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a，解得an＝2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項(xiàng)都是正數(shù))，又bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2.2．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝m(m為正整數(shù))，an＋1＝若a6＝1，則m所有可能的取值為( )A．{4,5} B．{4,32}C．{4,5,32} D．{5,32}解析：選C an＋1＝注意遞推的條件是an(而不是n)為偶數(shù)或奇數(shù)．由a6＝1一直往前面推導(dǎo)可得a1＝4或5或32.3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＝6，若將a1，a4，a5都加上同一個(gè)數(shù)，所得的三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，則所加的這個(gè)數(shù)為________．解析：由題意知等差數(shù)列{an}的公差d＝＝2，則a4＝8，a5＝10，設(shè)所加的數(shù)為x，依題意有(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得x＝－11.答案：－114．某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________．解析：設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an}，由題意可知它是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2，所以由題意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.答案：65．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n2，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且首項(xiàng)b1＝1，b4＝8.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{}滿足＝abn，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1亦滿足上式，故an＝2n－1(n∈N*)．又?jǐn)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2.∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)＝abn＝2bn－1＝2n－1.Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n.所以Tn＝2n＋1－2－n.考向一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【典例1】(2016濟(jì)南模擬)已知{an}是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列{bn}滿足b1=4,b4=20,且{bnan}是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.【母題變式】“{bnan}是等比數(shù)列”變?yōu)椤皗bnan}是等差數(shù)列”,其他條件不變,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.“b1=4,b4=20,且{bnan}是等比數(shù)列”變?yōu)椤癮n+2an1= ”,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo),確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題,如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等,確定解題的順序.(2),如果等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能,在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等,這些細(xì)節(jié)對解題的影響也是巨大的.提醒:在不能使用同一公式進(jìn)行計(jì)算的情況下要注意分類討論,分類解決問題后還要注意結(jié)論的整合.【變式訓(xùn)練】(2016泰安模擬)已知數(shù)列{an}是公差大于零的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且a1=1,b1=2,b2a2=1,a3+b3=13.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)=anan+1,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn.因?yàn)閐0,所以d=2,q=2,an=1+2(n1)=2n1,bn=22n1=2n,即an=2n1(n∈N*),bn=2n(n∈N*).考向二 數(shù)列中的圖表問題【典例2】(1)(2016太原模擬)下表是一個(gè)由正數(shù)組成的數(shù)表,數(shù)表中各行依次成等差數(shù)列,各列依次成等比數(shù)列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2
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