數(shù)列的綜合應(yīng)用-全文預(yù)覽
【正文】 8】已知等差數(shù)列滿足：，且、成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式.（Ⅱ）記為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.（Ⅱ）當(dāng)時，顯然，不存在正整數(shù)，使得.當(dāng)時，令，即，解得或（舍去）此時存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41.綜上所述，當(dāng)時，不存在正整數(shù)；當(dāng)時，存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41.27。b3b3n14+14112+…+141n11n=1214n。Sn1,得1Sn1Sn1=2(n≥2),所以數(shù)列1Sn是以1S1=1a1=2為首項,以d=2為公差的等差數(shù)列,所以1Sn=1S1+(n1)2n+162成立的正整數(shù)n的最小值為6.14.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=12,an=2Sn2n+1],兩式相減,得Sn=2+22+23+…+2nn122n=n(a1+7d),解得:a1=2,d=1.所以an=n+1,Sn=n(2+n+1)2=n22+32n.(2)由題知=n2+λ(n+1),若使{}為單調(diào)遞增數(shù)列,則+1=(n+1)2+λ(n+2)[n2+λ(n+1)]=2n+1+λ0對一切n∈N*恒成立,即:λ2n1對一切n∈N*恒成立,又φ(n)=2n1是單調(diào)遞減的,所以當(dāng)n=1時,φ(n)max=3,所以λ3.【加固訓(xùn)練】(20164(14n1)14(3n+1)4n,整理得:Tn=n43+…+(3n+1)4n,④③④得:3Tn=4+34+10淄博模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足a2+a4=10,點Pn(n,an)對任意的n∈N*,都有向量=(1,2),則數(shù)列{an}的前n項和Sn= .【解析】由題意可知,Pn+1(n+1,an+1),所以=(1,an+1an)=(1,2),所以an+1an=2,所以數(shù)列an是以2為公差的等差數(shù)列,又a2+a4=10,所以a1=1,an=2n1,Sn=1+3+…+(2n1)=n2.答案:n211.(201612n1+300,因此a4=128a+b2a+b21,所以log(a+c)(a2+c2)=log2(42ac)=1或log26.4.(2016北京高考)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,則“q1”是“{an}為遞增數(shù)列”的 ( ) 【解析】0,q1時,{an}是遞減數(shù)列。青島模擬)已知函數(shù)f(x)= 若數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是__________.3.(2016陜西高考)設(shè)fn(x)=x+x2+…+xn1,n∈N,n≥2.命題方向2:數(shù)列與不等式的綜合問題【典例5】(2014第9年付款x元,過1年欠款全部還清時,所付款連同利息之和為x(1+10%)元。合肥模擬)正整數(shù)按下列方法分組:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,記第n組中各數(shù)之和為An。德州模擬)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:12 34 5 67 8 9 10… … … … …按照以上排列的規(guī)律,第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為________.(2)(2016第十六節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 [自我反饋]1．已知正項等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比數(shù)列{bn}滿足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，則log2(a2＋b2)＝( )A．－1或2 B．0或2C．2 D．1解析：選C 由題意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a，解得an＝2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項都是正數(shù))，又bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2.2．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝m(m為正整數(shù))，an＋1＝若a6＝1，則m所有可能的取值為( )A．{4,5} B．{4,32}C．{4,5,32} D．{5,32}解析：選C an＋1＝注意遞推的條件是an(而不是n)為偶數(shù)或奇數(shù)．由a6＝1一直往前面推導(dǎo)可得a1＝4或5或32.3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＝6，若將a1，a4，a5都加上同一個數(shù)，所得的三個數(shù)依次成等比數(shù)列，則所加的這個數(shù)為________．解析：由題意知等差數(shù)列{an}的公差d＝＝2，則a4＝8，a5＝10，設(shè)所加的數(shù)為x，依題意有(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得x＝－11.答案：－114．某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________．解析：設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an}，由題意可知它是等比數(shù)列，且首項為2，公比為2，所以由題意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.答案：65．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且首項b1＝1，b4＝8.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)若數(shù)列{}滿足＝abn，求數(shù)列{}的前n項和Tn.解：(1)∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2，∴當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1亦滿足上式，故an＝2n－1(n∈N*)．又數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2.∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)＝abn＝2b
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