數(shù)列的綜合應(yīng)用(存儲版)
【正文】 1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于 ( )(2n+3) (n+4)(2n+3) (n+4)【解析】(x)=kx+1(k≠0),則(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(22+1)+(24+1)+…+(22n+1)=2n2+3n=n(2n+3).3.(2016因此可考慮借助數(shù)形結(jié)合的思想思考數(shù)列問題.(2)可將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,借助函數(shù)的知識,如單調(diào)性、最值來解決.(1)函數(shù)方法:即構(gòu)造函數(shù),通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式,通過對關(guān)于正實數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式.(2)放縮方法:數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到.(3)比較方法:作差或者作商比較. 【題組通關(guān)】1.(2016保定模擬)將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表:a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10……記表中的第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1. Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,且滿足 =1(n≥2). (1)證明數(shù)列 成等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式.(2)上表中,若從第三行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列,= 時,求上表中第k(k≥3)行所有項的和.考向三 數(shù)列的實際應(yīng)用問題【典例3】(2016天津模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差和首項都不等于0,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,則 = ( ) 【加固訓練】{an}的公比為q,前n項和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,則公比q為 ( ) 2.(2016太原模擬)下表是一個由正數(shù)組成的數(shù)表,數(shù)表中各行依次成等差數(shù)列,各列依次成等比數(shù)列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.a1,1a1,2a1,3a1,4…a2,1a2,2a2,3a2,4…a3,1a3,2a3,3a3,4…a4,1a4,2a4,3a4,4………………求數(shù)列{an,2}的通項公式.【解題導引】(1)求出第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為原數(shù)列的第幾項,再求解.(2)構(gòu)造方程組求出等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比.(2)設(shè)第一行組成的等差數(shù)列的公差是d,各列依次組成的等比數(shù)列的公比是q(q0),則a2,3=qa1,3=q(1+2d)?q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)?q2(1+d)=8,解得d=1,q=,2=2?an,2=22n1=2n.【規(guī)律方法】數(shù)列中常見的圖表問題及解題關(guān)鍵(1)分組型:數(shù)列的通項公式已知,.(2)混排型:,將所求問題所在行或列的基本量求出.(3)遞推公式型:圖表或數(shù)陣是按某種遞推關(guān)系得到的,解決這類問題的關(guān)鍵是求出遞推公式,再由遞推公式求出通項公式.【變式訓練】(2016第8年付款x元,過2年欠款全部還清時,所付款連同利息之和為x(1+10%)2元。濱州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差數(shù)列{bn}中b2=5,且公差d=2.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式.(2)是否存在正整數(shù)n,使得a1b1+a2b2+…+anbn60n?若存在,求出n的最小值,若不存在,請說明理由.【解析】(1)a1=1,an+1=2Sn+1,所以當n≥2時,an=2Sn1+1,相減得:an+1=3an(n≥2),又a2=2a1+1=3,所以a2=3a1,所以數(shù)列{an}是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,an=3n1.又b2=b1+d=5,所以b1=3,bn=2n+1.(2)an煙臺模擬)《萊因德紙草書》:把100個面包分給5個人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的17是較小的兩份之和,問最小的一份為 ( ) 【解析】,ad,a,a+d,a+2d(其中d0),則(a2d)+(ad)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20,由17(a+a+d+a+2d)=a2d+ad,解得d=556,所以最小1份為a2d=201106=53.5.(2016123+300=316.【加固訓練】根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果,預測某種家用商品從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量Sn(單位:萬件)近似地滿足Sn=n90(21nn25)(n=1,2,…,12).按此預測,在本年度內(nèi), ( ),6月 ,7月,8月 ,9月【解析】,因為從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量為Sn(n=1,2,3,…,12).所以當n≥2時,an=SnSn1=n90(21nn25)n190[2142+…+(3n+1)4n1,③4Tn=44n(n∈N*).{an}的前n項和為Sn,S3=9,a3,a5,a8成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an及Sn.(2)若=n2+λan,n=1,2,3,…,問是否存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{}為單調(diào)遞增數(shù)列?若存在,請求出λ的取值范圍。2n,所以Sn=(12+222+…+nSn1(n≥2).求證:S12+S22+…+Sn2≤1214n.
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