高三數(shù)學(xué)等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題(存儲(chǔ)版)
【正文】 a、 x、 b和 b、 y、 c都成等差數(shù) 列，則 = _________. ycxa ?(8 ,+∞ ) 第 11項(xiàng) a11=29 2 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn,已知 a3=12,S120,S130. (1)求公差 d的取值范圍； (2)指出 S S … 、 S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由 . (2)解法一：由 d＜ 0可知 a1a2a3… a12a13 , 因此，在 S1， S2， … ， S12中 Sk為最大值的條件為： 5.(1)解：依題意有： ????????????????????0212131302111212,12211311213daSdaSdaaak≥ 0且 ak+1＜ 0, ?????????0)2(0)3(33dkadka即∵ a3=12, ,122 123????????dkddkd ∵ d ＜ 0 , ∴ 2－ ＜ k≤ 3－ d12d12∵ － ＜ d＜－ 3 ,∴ ＜－ ＜ 4,得 ＜ k＜ 7. 解之得公差 d的取值范圍為－ ＜ d＜－ 3. 72472427 d12因?yàn)?k是正整數(shù)，所以 k=6,即在 S1， S2， … ， S12中， S6最大 . 解法二：由 d＜ 0得 a1a2… a12a13，因此，若在 1≤ k≤12 中有自 然數(shù) k,使得 ak≥0, 且 ak+1＜ 0, 則 Sk是 S1， S2， … ， S12中的最大值 .由等差數(shù)列性質(zhì)得， 當(dāng) m、 n、 p、 q∈ N*,且 m+n=p+q時(shí)， am+an=ap+aq. 所以有： 2a7=a1+a13= S13＜ 0, 132 ∴ a7＜ 0, a7+a6=a1+a12= S120, 61∴ a6≥ － a70,故在 S1， S2， … ， S12中 S6最大 . 解法三： 依題意得： )(2)212()1(2 21 nnddndnnnaS n ???????222 )]245(21[,0,)245(8)]245(21[2 dnddddnd ????????? ?最小時(shí)， Sn最大； ∵ － ＜ d＜－ 3,∴ 6＜ (5－ )＜ . 72421d24 從而，在正整數(shù)中， 當(dāng) n=6時(shí)，［ n－ (5－ )］ 2最小，所以 S6最大 . 21d24點(diǎn)評(píng)： 該題的第 (1)問通過建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易 .第 (2)問難度較高，為求 {Sn}中的最大值 Sk,1≤k≤12,思路之一是知道 Sk為最大值的充要條件是 ak≥0且 ak+1＜ 0，思路之三是可視 Sn為 n的二次函數(shù)，借助配方法可求解 .它考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計(jì)算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點(diǎn) .而思路之二則是通過等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解 . {an}為等差數(shù)列，公差 d≠0,由 {an}中的部分項(xiàng)組成的 數(shù)列 a,a,…, a,… 為等比數(shù)列，其中 b1=1,b2=5,b3=17. (1)求數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式； (2)記 Tn=C b1+C b2+C b3+…+C bn , 求 1n2n3nnn nnnn bT??? 4lim解： (1)由題意知 a52=a131－ 1)+… +C (2( )2b …a2n＋1 n22＝ [a1＋ (2n－ 1)d]2－ [a1＋ (2n－ 2)d][a1＋ 2nd] ＝ a12＋ (4n－ 2)a1d＋ (2n－ 1)2d2－ [a12＋ (4n－ 2)a1d＋ (4n2－ 4n)d2] ＝ d 2 ＞ 0 (d ＞ 0) ∴ a ＞ a2n－ 130－ 1)+C lgq =n(2lg2+lg3)－ n(n－ 1)lg3 21=(－ ) (2) 設(shè) {an}、 {bn}
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