高一數(shù)學(xué)數(shù)列中的綜合問題(存儲版)
【正文】 和最大時，以 16 萬美元出售該廠．問哪種方案最合算？ 第 28講 │ 要點探究 [ 解答 ] 由題意知，每年的經(jīng)費是以 12 為首項， 4 為公差的等差數(shù)列，設(shè)純利潤與年數(shù)的關(guān)系為 f ( n ) ， 則 f ( n ) ＝ 50 n －????????12 n ＋n ( n － 1 )24 － 72 ＝－ 2 n2＋ 40 n － 72. (1) 獲取純利潤就是要求 f ( n )0 ， ∴ － 2 n2＋ 40 n － 72 0 ， 解得 2 n 18 . 由 n ∈ N 知從第三年開始獲利． 第 28講 │ 要點探究 (2) ① 年平均利潤＝f ? n ?n＝ 40 － 2??????n ＋36n≤ 16. 當(dāng)且僅當(dāng) n ＝ 6 時取等號． 故此方案先獲利 6 16 ＋ 48 ＝ 144( 萬美元 ) ，此時 n ＝ 6. ② f ( n ) ＝－ 2( n － 10)2＋ 1 28. 當(dāng) n ＝ 10 時， f ( n )m a x＝ 128. 故第 ② 種方案共獲利 1 28 ＋ 16 ＝ 144( 萬美元 ) ， 故比較兩種方案，獲利都是 144 萬美元． 但第 ① 種方案只需 6 年，而第 ② 處方案需 10 年，故選擇第 ① 種方案． 第 28講 │ 規(guī)律總結(jié) 規(guī)律總結(jié) 1 ．在等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題中，方程和函數(shù)思想占有重要位置，如通過方程求解基本量、如通 過函數(shù)研究運動變化情況，在本節(jié)中要體會函數(shù)與方程 思想的應(yīng)用． 2 ．?dāng)?shù)列本身就是一種函數(shù)，在函數(shù)的觀點下研究數(shù)列問題是研究數(shù)列的方法之一． 3 ．?dāng)?shù)列中不等式問題一般是關(guān)于正整數(shù)的不等式，解決不等式問題的方法都可以用來解決數(shù)列中的不等式，但要注意在使用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列中的不等式時要把 離散的正整數(shù)變量轉(zhuǎn)化為在 (0 ， + ∞ ) 上的函數(shù)． 。65第 28講 │ 數(shù)列中的綜合問題 第 28講 數(shù)列中的綜合問題 第 28講 │ 知識梳理 知識梳理 1 ．等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合 等差數(shù)列中最基本的量是其首項 a1和公差 d ，等比數(shù)列中最基本的量是其首項 a1和公比 q ，在等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題中就是根據(jù)已知的條件建立方程組求解出這兩個數(shù)列的基本量解決問題的． 2 ．?dāng)?shù)列和函數(shù) 等差數(shù)列的通項公式和前 n 項和公式分別是關(guān)于 n 的一次和二次函數(shù)，等比數(shù)列的通項公式和前 n 項和公式在公比不等于 1 的情況下是公比 q 的方冪的函數(shù)，可以根據(jù)函數(shù)的觀點解決數(shù)列問題． 第 28講 │ 知識梳理 3 ． 數(shù)列和不等式 數(shù)列問題往往和不等式問題相交匯 ， 通過數(shù)列的通項以及求和 ， 然后解決一個不等式問題 ， 這類不等式是關(guān)于正整數(shù)的不等式 ， 可以通過比較法 ， 基本不等式法 ， 導(dǎo)數(shù)方法和數(shù)學(xué)歸納法解決 ． 第 28講 │ 知識梳理 4 ．?dāng)?shù)列的應(yīng)用題 解決數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟是： (1) 根據(jù)實際問題的要求，識別是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，用數(shù)列表示問題的已知； (2) 根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識，以及實際問題的要求建立數(shù)學(xué)模型； (3) 求出數(shù)學(xué)模型，根據(jù)求解結(jié)果對實際問題作出結(jié)論． 要點探究 第 28講 │ 要點探究 ? 探究點 1 等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合 例 1 [ 2 0 1 0 43????????11104－ b????????1 ＋1110
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