數(shù)列的綜合應(yīng)用(完整版)
【正文】 干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外,每年新建住房中,到哪一年底,(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2015年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬(wàn)平方米?(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?(參考數(shù)據(jù):≈,≈,≈)答:到2024年底,該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米.(2)設(shè)新建住房的面積構(gòu)成數(shù)列{bn},由題意可知,{bn}是等比數(shù)列,其中b1=400,q=,則bn=400.由題意可知an,有250+(n1)50400.當(dāng)n=5時(shí),a5,當(dāng)n=6時(shí),a6,即滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.答:到2020年底,當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.【加固訓(xùn)練】1.(2016bn=(2n+1)濟(jì)寧模擬)已知a,b,c成等比數(shù)列,a,m,b和b,n,c分別成兩個(gè)等差數(shù)列,則am+等于 ( ) 【解析】=ac,2m=a+b,2n=b+c,則am+=an+cmmn=a(n1)(n1)25]=130(n2+15n9).當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=16,適合上式,綜上可知,an=130(n2+15n9).令an,即130(n2+15n9),解得6n,2,3,…,12,所以n=7或n=8.{an}為等差數(shù)列,a1=1,公差d≠0,a1,a2,a5成等比數(shù)列,則a2016的值為 .【解析】由已知得a22=a1a5,所以(1+d)2=1+4d,d=2,所以a2016=1+20152=4031.答案:40319.(20164+7若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題提示】(1)設(shè)公差為d,構(gòu)造方程組求出a1,d,進(jìn)而可求an,Sn.(2)利用+10恒成立求解.【解析】(1)設(shè)公差為d,由S3=9,a52=a32n),2Sn=[122+223+…+(n1)Sn1(n≥2),所以SnSn1=2Sn臨沂模擬)已知公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,S5=25,且a2,a5,a14成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=an2n,Tn=b1bn=123456…2n12n.因?yàn)閚+1n+2nn+1,n∈N*,所以當(dāng)n≥2時(shí),Tn2=121234345656…2n12n2n12n121223344556…2n22n12n12n=14n.即Tn12n,n≥2.又當(dāng)n=1時(shí),T1=12≥121=12成立,綜上,當(dāng)n∈N*時(shí),Tn≥12n成立.【新題快遞】1.【2015高考浙江，文10】已知是等差數(shù)列，公差不為零．若，成等比數(shù)列，且，則 ， ．【答案】【解析】由題可得，故有，又因?yàn)?，即，所?2. 【2016高考四川文科】（本小題滿分12分）已知數(shù)列{ }的首項(xiàng)為1， 為數(shù)列的前n項(xiàng)和， ，其中q0， .（Ⅰ）若 成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線 的離心率為 ，且 ，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）已知的遞推式，一般是寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，兩式相減，利用，得出數(shù)列的遞推式，從而證明為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)論；（Ⅱ）先利用雙曲線的離心率定義得到的表達(dá)式，再由解出的值，最后利用等比數(shù)列的求和公式求解計(jì)算.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以雙曲線的離心率.，3. 【2014四川，文19】設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，學(xué)科網(wǎng)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：據(jù)題設(shè)可得，.（1）當(dāng)時(shí)，將相除，可得商為常數(shù)，從而證得其為等比數(shù)列.（2）首先可求出在處的切線為，令得，由此可求出，.所以，這個(gè)數(shù)列用錯(cuò)位相消法可得前 項(xiàng)和.4.【2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等差數(shù)列滿足：，且、成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（Ⅱ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，顯然，不存在正整數(shù)，使得.當(dāng)時(shí)，令，即，解得或（舍去）此時(shí)存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在正整數(shù)；當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41.27。b3Sn1,得1Sn1Sn1=2(n≥2),所以數(shù)列1Sn是以1S1=1a1=2為首項(xiàng),以d=2為公差的等差數(shù)列,所以1Sn=1S1+(n1)2n+1],兩式相減,得Sn=2+22+23+…+2nn(a1+7d),解得:a1=2,d=1.所以an=n+1,Sn=n(2+n+1)2=n22+32n.(2)由題知=n2+λ(n+1),若使{}為單調(diào)遞增數(shù)列,則+1=(n+1)2+λ(n+2)[n2+λ(n+1)]=2n+1+λ0對(duì)一切n∈N*恒成立,即:λ2n1對(duì)一切n∈N*恒成立,又φ(n)=2n1是單調(diào)遞減的,所以當(dāng)n=1時(shí),φ(n)max=3,所以λ3.【加固訓(xùn)練】(201643+…+(3n+1)4n,④③④得:3Tn=4+3淄博模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足a2+a4=10,點(diǎn)Pn(n,an)對(duì)任意的n∈N*,都有向量=(1,2),則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn= .【解析】由題意可知,Pn+1(n+1,an+1),所以=(1,an+1an)=(1,2),所以an+1an=2,所以數(shù)列an是以2為公差的等差數(shù)列,又a2+a4=10,所以a1=1,an=
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