數(shù)列的綜合應(yīng)用-文庫吧
2025-06-03 04:17 本頁面
【正文】 a3,2=q2a1,2=q2(1+d)?q2(1+d)=8,解得d=1,q=,2=2?an,2=22n1=2n.【規(guī)律方法】數(shù)列中常見的圖表問題及解題關(guān)鍵(1)分組型:數(shù)列的通項(xiàng)公式已知,.(2)混排型:,將所求問題所在行或列的基本量求出.(3)遞推公式型:圖表或數(shù)陣是按某種遞推關(guān)系得到的,解決這類問題的關(guān)鍵是求出遞推公式,再由遞推公式求出通項(xiàng)公式.【變式訓(xùn)練】(2016青島模擬)下面給出了一個(gè)三角形數(shù)陣,已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列,從第3行起,每一行的數(shù)成等比數(shù)列,(i,j∈N*),則a43=______.【加固訓(xùn)練】1.(2016北京模擬)已知an=( )n,把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排列成如下的三角形形狀.a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9………………………記A(m,n)表示第m行的第n個(gè)數(shù),則A(10,12)= ( )2.(2016合肥模擬)正整數(shù)按下列方法分組:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,記第n組中各數(shù)之和為An。由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組:{03,13},{13,23},{23,33},{33,43},…,記第n組中后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差為Bn,則An+Bn=______.【解析】由題意知,前n組共有1+3+5+…+(2n1)=n2個(gè)數(shù),所以第n1組的最后一個(gè)數(shù)為(n1)2,第n組的第一個(gè)數(shù)為(n1)2+1,第n組共有2n1個(gè)數(shù),所以根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得3.(2016保定模擬)將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10……記表中的第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1. Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,且滿足 =1(n≥2). (1)證明數(shù)列 成等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.(2)上表中,若從第三行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列,= 時(shí),求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和.考向三 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題【典例3】(2016日照模擬)某大學(xué)張教授年初向銀行貸款2萬元用于購車,銀行貸款的年利息為10%,按復(fù)利計(jì)算(即本年的利息計(jì)入次年的本金生息).若這筆款要分10年等額還清,每年年初還一次,并且以貸款后次年年初開始?xì)w還,問每年應(yīng)還多少元?【規(guī)范解答】設(shè)每年還款x元,需10年還清,那么各年還款利息情況如下:第10年付款x元,這次還款后欠款全部還清。第9年付款x元,過1年欠款全部還清時(shí),所付款連同利息之和為x(1+10%)元。第8年付款x元,過2年欠款全部還清時(shí),所付款連同利息之和為x(1+10%)2元?！?年付款x元,過9年欠款全部還清時(shí),所付款連同利息之和為x(1+10%)9元.10年后應(yīng)還款總數(shù)為20000(1+10%)10.【一題多解】第1次還款x元之后欠銀行20000(1+10%)x=20000,第2次還款x元后欠銀行[20000(1+10%)x](1+10%)x=20000,…【規(guī)律方法】解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟(1)確定模型類型:理解題意,看是哪類數(shù)列模型,一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、:數(shù)列模型基本特征等差數(shù)列均勻增加或者減少等比數(shù)列指數(shù)增長(zhǎng),常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題簡(jiǎn)單遞推數(shù)列%,每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開銷,即數(shù)列{an}滿足an+1=(2)準(zhǔn)確解決模型:解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等,在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確.(3)給出問題的回答:實(shí)際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問題的答案,在解題中不要忽視了這點(diǎn).易錯(cuò)提醒:解決數(shù)列應(yīng)用問題,要明確問題屬于哪一種類型,即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題,是求an還是Sn,特別是要弄清項(xiàng)數(shù).【變式訓(xùn)練】某市2015年新建住房400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價(jià)房,預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外,每年新建住房中,到哪一年底,(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2015年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬平方米?(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?(參考數(shù)據(jù):≈,≈,≈)答:到2024年底,該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米.(2)設(shè)新建住房的面積構(gòu)成數(shù)列{bn},由題意可知,{bn}是等比數(shù)列,其中b1=400,q=,則bn=400.由題意可知an,有250+(n1)50400.當(dāng)n=5時(shí),a5,當(dāng)n=6時(shí),a6,即滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.答:到2020年底,當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.【加固訓(xùn)練】1.(2016成都模擬)《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為:今有女善織,日益功疾,且從第2天起,每天比前一天多織相同量的布,若第1天織5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計(jì))共織390尺布,則每天比前一天多織______尺布. ( )“十二五”(2011年至2015年)期間本地區(qū)主要污染物排放總量控制要求,原計(jì)劃“十二五”,.(1)按原計(jì)劃,“十二五”期間該城市共排放SO2約多少萬噸?(2)該城市為響應(yīng)“十八大”提出的建設(shè)“美麗中國”的號(hào)召,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年減少的百分率為p,為使2020年這一年SO2的年排放量控制在6萬噸以內(nèi),求p的取值范圍.答:按原計(jì)劃,“十二五”.
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