【正文】 是????????0 2011209tt 解得 0＜ t＜ 1 由此得 0＜［ logm(m－ 1)］ 2＜ 1 解得 m＞ 251? 且 m≠ 2. ●錦囊妙計 ,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應用性問題，應充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關等差(比 )數(shù)列、遞推數(shù)列模 型，再綜合其他相關知識來解決問題 . ，解決一個應用題，重點過三關： (1)事理關：需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力 . (2)文理關：需將實際問題的文字語言轉化數(shù)學的符號語言，用數(shù)學式子表達數(shù)學關系 . (3)事理關：在構建數(shù)學模型的過程中；要求考生對數(shù)學知識的檢索能力，認定或構建相應的數(shù)學模型，完成用實際問題向數(shù)學問題的轉化 .構建出數(shù)學模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實的基礎知識和較強的數(shù)理能力 . ●殲滅難點訓練 一、選擇題 1.(★★★★★ )已知二次函 數(shù) y=a(a+1)x2－ (2a+1)x+1，當 a=1， 2，?， n，?時，其拋物線在 x 軸上截得的線段長依次為 d1,d2，? ,dn,? ,則 lim??n (d1+d2+? +dn)的值是 ( ) 二、填空題 2.(★★★★★ )在直角坐標系中， O 是坐標原點， P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)是第一象限的兩個點，若 1， x1， x2， 4 依次成等差數(shù)列，而 1， y1， y2， 8 依次成等比數(shù)列，則△ OP1P2的面積是 _________. 3.(★★★★ )從盛滿 a 升酒精的容器里倒出 b 升，然后再用水加滿，再倒出 b 升，再用水加滿；這樣倒了 n 次，則容器中有純酒精 _________升 . 4.(★★★★★ )據(jù) 2022 年 3 月 5 日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“ 2022 年國內(nèi)生產(chǎn)總值達到 95933 億元，比上年增長 %，”如果“十難點 數(shù)列綜合應用問題 縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險，圓鋼堆壘等問題 .這就要求同學們除熟練運用有關概念式外，還要善于觀察題設的特征，聯(lián)想有關數(shù)學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度 . ●難點磁場 (★★★★★ )已知二次函數(shù) y=f(x)在 x=22?t處取得最小 值－ 42t (t＞ 0),f(1)=0. (1)求 y=f(x)的表達式； (2)若任意實數(shù) x 都滿足等式 f(x) g(x)+anx+bn=xn+1［ g(x)］為多項式， n∈ N*),試用 t 表示 an和 bn； (3)設圓 Cn 的方程為 (x－ an)2+(y－ bn)2=rn2，圓 Cn與 Cn+1 外切 (n=1,2,3,? )。五”期間 (2022 年 ~2022 年 )每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十 (2)設 an=xn+1－ xn，計算 a1,a2,a3，由此推測數(shù)列 {an}的通項公式，并加以證明； (3)求 lim??nxn. 參考答案 難點磁場 解： (1)設 f(x)=a(x－22?t)2－ 42t ，由 f(1)=0 得 a=1. ∴ f(x)=x2－ (t+2)x+t+1. (2)將 f(x)=(x－ 1)［ x－ (t+1)］代入已知得： (x－ 1)［ x－ (t+1)］ g(x)+anx+bn=xn+1，上式對任意的 x∈ R 都成立，取 x=1 和 x=t+1 分別代入上式得： ????? ???? ?? ?1)1()1( 1 nnnnn tbat ba且 t≠ 0，解得 an=t1 ［ (t+1)n+1－ 1］， bn= tt 1? ［ 1－ (t+1] n) (3)由于圓的方程為 (x－ an)2+(y－ bn)2=rn2，又由 (2)知 an+bn=1，故圓 Cn的圓心 On在直線x+y=1 上，又圓 Cn 與圓 Cn+1 相切，故有 rn+rn+1= 2 ｜ an+1－ an｜ = 2 (t+1)n+1 設 {rn}的公比為 q，則 ① ② ???????????????2111)1(2)1(2nnnnnntqrrtqrr ②247。 (2)∵ 0,212212212221212121 ????????????????????? qaa qaqaaa aabbqaaaa aannnnnnnnnnnnnnnn .b1=1+r≠ 0，所以{bn}是首項為 1+r，公比為 q 的等比數(shù)列，從而 bn=(1+r)qn1. 當 q=1 時， Sn=n(1+r), 1)1(),2()3()1( ,0)10( ,111lim,0)1)(1(1lim1lim,1)1)(1(,1。0)1(1lim1lim??????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnnnqrbqqrqSqrqSqqrSqrqqrqSqqrSqrnS有由所以時當時當 . og)1)(1(l og l og)1(l og])1[(l og ])1[(l ogl ogl og 22 2212 22 12 ????? ?????? ?? nqnr qnrqr qrbb n nnn nnn bbC212loglog ??記 ,從上式可知，當 n－ ＞ 0，即 n≥ 21(n∈ N*)時， Cn 隨 n 的增大而減小，故 1＜ Cn≤ C21=1+ 1 ??? = ① 當 n－ ＜ 0，即 n≤ 20(n∈ N*)時， Cn 也隨 n 的增大而減小，故 1＞ Cn≥C20=1+ 1 ??? =－ 4 ② 綜合①②兩式知，對任意的自然數(shù) n 有 C20≤ Cn≤ C21,故 {Cn}的最大項 C21=，最小項C20=－ 4. ： (1)第 1 位職工的獎金 a1=nb ，第 2 位職工的獎金 a2=n1 (1－ n1 )b，第 3 位職工的獎金 a3=n1 (1－ n1 )2b，?，第 k 位職工的獎金 ak=n1 (1－ n1 )k－ 1b。 aaxxxxxxxaaxxxxxxxaaxxa41)21(21)(212,21)(212,)2(2332334212212232121????????????????????????? 由此推測 an=(－ 21 )n1a(n∈ N) 證法一：因為 a1=a＞ 0,且 11111 21)(2122 ????? ??????????? nnnnnnnnnnn axxxxxxxxxa (n≥ 2) 所以 an=(－ 21 )n1a. 證法二：用數(shù)學歸納法證明： (ⅰ )當 n=1 時， a1=x2－ x1=a=(－ 21 )0a,公式成立； (ⅱ )假設當 n=k 時，公式成立，即 ak=(－ 21 )k－ 1a 成立 . 那么當 n=k+1 時， ak+1=xk+2－ xk+1=kkkkkk axxxxx 21)(212 111 ??????? ??? .)21()21(21 111 公式仍成立aa )(kk ??? ????? 據(jù) (ⅰ )(ⅱ )可知，對任意 n∈ N，公式 an=(－ 21 )n1a 成立 . (3)當 n≥ 3 時，有 xn=(xn－ xn－ 1)+(xn－ 1－ xn－ 2)+? +(x2－ x1)+x1 =an－ 1+an－ 2+? +a1, 由 (2)知 {an}是公比為－ 21 的等比數(shù)列，所以32)21(1lim 1 ?????? ax nna. 數(shù)列綜合題 ??na 的各項均為正數(shù)， nS 為其前 n 項和，對于任意 *Nn? ，總有 2,n n na S a 成等差數(shù)列 . (Ⅰ )求數(shù)列 ??na 的通項公式； (Ⅱ )設數(shù)列 ??nb 的前 n 項和為 nT ，且 2lnnnn a xb ? ，求證 :對任意實數(shù) ? ?ex ,1? （ e 是常數(shù)，e ＝ ???）和任意正整數(shù) n ，總有 nT ? 2； (Ⅲ ) 正數(shù)數(shù)列 ??nc 中， ? ? )(, *11 Nnca nnn ?? ?? .求數(shù)列 ??nc 中的最大項 . （Ⅰ）解：由已知：對于 *Nn? ，總有 22 n n nS a a?? ①成立 ∴ 211 12 nn nS a a?? ??? （ n ≥ 2）② ① ②得 21122 ?? ???? nnnnn aaaaa ∴ ? ?? ?111 ??? ???? nnnnnn aaaaaa ∵ 1, ?nn aa 均為正數(shù)，∴ 11 ?? ?nn aa （ n ≥ 2） ∴數(shù)列 ??na 是公差為 1 的 等差數(shù)列 又 n=1 時， 21 1 12S a a?? ， 解得 1a =1 ∴ nan? .( *Nn? ) （Ⅱ）證明：∵對任意實數(shù) ? ?ex ,1? 和任意正整數(shù) n，總有 2lnnnn a xb ? ≤ 21n . ∴ ? ?nnnT n 1132 121 1112111 222 ???????????? ?? 21211131212111 ???????????? nnn? (Ⅲ )解：由已知 22 1212 ???? cca ， 54545434343232355,244,33?????????????ccaccacca 易得 1 2 2 3 4, .. .c c c c c? ? ? ? 猜想 n≥ 2 時， ??nc 是遞減數(shù)列 . 令 ? ? ? ? 22ln1ln1,lnxxxxxxxfxxxf ??????? 則 ∵當 ? ? .00ln1,1ln3 ?????? xfxxx ，即則時， ∴在 ? ???,3 內(nèi) ??xf 為單調(diào)遞減函數(shù) . 由 ? ?1 1lnln11 ???? ?? n ncca nnnn 知 . ∴ n≥ 2 時 , ? ?ncln 是遞減數(shù)列 .即 ??nc 是遞減數(shù)列 . 又 12cc? , ∴數(shù)列 ??nc 中的最大項為 32 3?c . 2．設 f1(x)= x?12 ，定義 fn+1 (x)= f1［ fn(x)］， an = 2)0(1)0( ??nnff （ n∈ N*） . (1) 求數(shù)列｛ an｝的通項公式； (2) 若 nn naaaaT 23212 232 ????? ?， Qn= 144 422 ??nn nn（ n∈ N*），試比較 9T2n 與 Qn的大小，并說明理由 . 解：（ 1）∵ f1(0)=2， a1= 22 12?? =41 ， fn+1(0)= f1［ fn(0)］ = )0(1 2nf? , ∴ an+1= 2)0(1)0(11 ????nnff = 2)0(121)0(1 2????nnff= )0(24)0(1nnff?? = 21 2)0( 1)0( ??nnff = 21 an. ∴數(shù)列｛ an｝是首項為 41 ,公比為 21 的等比數(shù)列，∴ an=41 ( 21? )n?1. （ 2）∵ T2 n = a1+2a 2+3a 3+? +(2n1)a 2 n?1+2na 2 n， ∴ 21? T2 n= (21 a1)+(21 )2a 2+(21 )3a 3+? +(21 )(2n1)a2 n－ 1+ )21(? 2na2 n = a 2+2a 3+? +(2n－ 1)a2 n－ na2 n. 兩式相減 ， 得 23 T2 n= a1+a2+a 3+? +a2 n+na2 n. ∴ 23 T2n = 211)21(141 2??????? ?? n+n 41 (21 )2n?1=61 61 (21 )2n+4n (21 )2n?1. T2n =91 91 (21 )2n+6n (21 )2n?1=91 (1 nn22 13? ). ∴ 9T2n=1 nn22 13? . 又 Qn=1 2)12( 13??nn ， 當 n=1 時 ， 22 n=