【正文】 0a? ，且 1a? ，數列 {}na 的前 n 項和為 nS ，它滿足條件111nnaSa? ??.數列 {}nb中， nnba? 2n+1 ∴－ Sn=3 21+6 (2)設 an=xn+1－ xn，計算 a1,a2,a3，由此推測數列 {an}的通項公式，并加以證明； (3)求 lim??nxn. 參考答案 難點磁場 解： (1)設 f(x)=a(x－22?t)2－ 42t ，由 f(1)=0 得 a=1. ∴ f(x)=x2－ (t+2)x+t+1. (2)將 f(x)=(x－ 1)［ x－ (t+1)］代入已知得： (x－ 1)［ x－ (t+1)］ g(x)+anx+bn=xn+1，上式對任意的 x∈ R 都成立，取 x=1 和 x=t+1 分別代入上式得： ????? ???? ?? ?1)1()1( 1 nnnnn tbat ba且 t≠ 0，解得 an=t1 ［ (t+1)n+1－ 1］， bn= tt 1? ［ 1－ (t+1] n) (3)由于圓的方程為 (x－ an)2+(y－ bn)2=rn2，又由 (2)知 an+bn=1，故圓 Cn的圓心 On在直線x+y=1 上，又圓 Cn 與圓 Cn+1 相切，故有 rn+rn+1= 2 ｜ an+1－ an｜ = 2 (t+1)n+1 設 {rn}的公比為 q，則 ① ② ???????????????2111)1(2)1(2nnnnnntqrrtqrr ②247。{rn}是各項都是正數的等比數列，記 Sn為前 n 個圓的面積之和，求 rn、 Sn. ●案例探究 ［例 1］從社會效益和經濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產業(yè)，根據規(guī)劃，本年度投入 800 萬元，以后每年投入將比上年減少 51 ，本年度當地旅游業(yè)收入估計為 400 萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加 41 . (1)設 n 年內 (本年度為第一年 )總投入為 an 萬元，旅游業(yè)總收入為 bn萬元，寫出 an,bn 的表達式； (2)至少經過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？ 命題意圖：本題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式等基礎知識；考查綜合運用數學知識解決實 際問題的能力，本題有很強的區(qū)分度，屬于應用題型，正是近幾年高考的熱點和重點題型，屬★★★★★級題目 . 知識依托：本題以函數思想為指導，以數列知識為工具，涉及函數建模、數列求和、不等式的解法等知識點 . 錯解分析： (1)問 an、 bn實際上是兩個數列的前 n 項和，易與“通項”混淆； (2)問是既解一元二次不等式又解指數不等式，易出現偏差 . 技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數量關系，建立數量模型是本題的靈魂， (2)問中指數不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧 . 解： (1)第 1 年投入為 800 萬元，第 2 年投入為 800 (1－ 51 )萬元，?第 n 年投入為 800 (1－ 51 )n－ 1 萬元，所以， n 年內的總投入為 an=800+800 (1－ 51 )+? +800 (1－ 51 )n－ 1=??nk1800 (1－ 51 )k－ 1 =4000［ 1－ (54 )n］ 第 1 年旅游業(yè)收入為 400 萬元，第 2 年旅游業(yè)收入為 400 (1+41)，?，第 n 年旅游業(yè)收入 400 (1+41)n－ 1 萬元 .所以， n 年內的旅游業(yè)總收入為 bn=400+400 (1+41)+? +400 (1+41)k－ 1=??nk1400 (45)k－ 1. =1600［ (45)n－ 1］ (2)設至少經過 n 年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此 bn－ an＞ 0，即： 1600［ (45)n－ 1］－ 4000［ 1－ (54)n］＞ 0，令 x=(54)n，代入上式得： 5x2－ 7x+2＞，得 x＜ 52 ，或 x＞ 1(舍去 ).即 (54 )n＜ 52 ，由此得 n≥ 5. ∴至少經過 5 年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 . ［例 2］已知 Sn=1+ 3121? +? +n1 ,(n∈ N*)設 f(n)=S2n+1－ Sn+1,試確定實數 m 的取值范圍，使得對于一切大于 1 的自然數 n，不等式： f(n)＞［ logm(m－ 1)］ 2－ 2022 ［ log(m－ 1)m］ 2 恒成立 . 命題意圖：本題主要考查應用函數思想解決不等式 、數列等問題，需較強的綜合分析問題、解決問題的能力 .屬★★★★★級題目 . 知識依托：本題把函數、不等式恒成立等問題組合在一起，構思巧妙 . 錯解分析：本題學生很容易求 f(n)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理 . 技巧與方法：解決本題的關鍵是把 f(n)(n∈ N*)看作是 n 的函數，此時不等式的恒成立就轉化為：函數 f(n)的最小值大于［ logm(m－ 1)］ 2－ 2022 ［ log(m－ 1)m］ 2. 解：∵ Sn=1+ 3121? +? +n1 .(n∈ N*) 0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112????????????????????????????????? ??nnnnnnnnnnnfnfnnnSSnf nn又? ∴ f(n+1)＞ f(n) ∴ f(n)是關于 n 的增函數 ∴ f(n) min=f(2)= 20932 122 1 ???? ∴要使一切大于 1 的自然數 n，不等式 f(n)＞［ logm(m－ 1)］ 2－ 2022 ［ log(m－ 1)m］ 2 恒成立 只要 209 ＞［ logm(m－ 1)］ 2－ 2022 ［ log(m－ 1)m］ 2成立即可 由??? ???? ?? 11,01 1,0 mm mm得 m＞ 1 且 m≠ 2 此時設［ logm(m－ 1)］ 2=t 則 t＞ 0 于是????????0 2011209tt 解得 0＜ t＜ 1 由此得 0＜［ logm(m－ 1)］ 2＜ 1 解得 m＞ 251? 且 m≠ 2. ●錦囊妙計 ,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應用性問題，應充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關等差(比 )數列、遞推數列模 型，再綜合其他相關知識來解決問題 . ，解決一個應用題，重點過三關： (1)事理關：需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力 . (2)文理關：需將實際問題的文字語言轉化數學的符號語言，用數學式子表達數學關系 . (3)事理關：在構建數學模型的過程中；要求考生對數學知識的檢索能力，認定或構建相應的數學模型，完成用實際問題向數學問題的轉化 .構建出數學模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實的基礎知識和較強的數理能力 . ●殲滅難點訓練 一、選擇題 1.(★★★★★ )已知二次函 數 y=a(a+1)x2－ (2a+1)x+1，當 a=1， 2，?， n，?時，其拋物線在 x 軸上截得的線段長依次為 d1,d2，? ,dn,? ,則 lim??n (d1+d2+? +dn)的值是 ( ) 二、填空題 2.(★★★★★ )在直角坐標系中， O 是坐標原點， P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)是第一象限的兩個點，若 1， x1， x2， 4 依次成等差數列，而 1， y1， y2， 8 依次成等比數列，則△ OP1P2的面積是 _________. 3.(★★★★ )從盛滿 a 升酒精的容器里倒出 b 升，然后再用水加滿，再倒出 b 升，再用水加滿；這樣倒了 n 次，則容器中有純酒精 _________升 . 4.(★★★★★ )據 2022 年 3 月 5 日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“ 2022 年國內生產總值達到 95933 億元，比上年增長 %，”如果“十 (2)ak－ ak+1=21n(1－ n1 )k－ 1b＞ 0，此獎金分配方案體現了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則 . (3)設 fk(b)表示獎金發(fā)給第 k 位職工后所剩余數，則 f1(b)=(1－ n1 )b,f2(b)=(1－n1 )2b,? ,fk(b)=(1－ n1 ) Pn(b)=fn(b)=(1－ n1 )nb, 故ebbPnn ??? )(lim. ：設 an 表示第 n 年的廢舊物資回收量， Sn表示前 n 年廢舊物資回收總量，則數列 {an}是以 10 為首項， 1+20%為公比的等比數列 . (1)a6=10(1+20%)5=10 =≈ 25(萬噸 ) (2)S6= %)201( ]1%)201[(10 66 ????? ??=≈ (萬噸 ) ∴從 1996 年到 2022 年共節(jié)約開采礦石 20 ≈ 1986(萬噸 ) (3）由于從 1996 年到 2022 年共減少工業(yè)廢棄垃圾 4 =(萬噸 )， ∴從 1996 年到 2022 年共節(jié)約： 8 ? ?? ≈ 3 平方公里 . ： (1)當 n≥ 3 時， xn= 2 21 ?? ? nn xx 。 22+6 2n+1 =3（ 2+22+? +2n）－ 3n12( 1)[ ].1 ( 1)nnna a aaa? ???? ……6 分 （ 2）由 11 l g ( 1 ) l gnnnnb b na a n a a??? ? ? ?可得 ① 當 1a? 時，由 lg 0a? ， 可得 1na n? ? *1( ), 1,1n n N an ? ? ?? ∴ 1na n? ? 對一切 *nN? 都成立， ∴ 此時的解為 1a? . ② 當 01a??時，由 lg 0a? 可得 ( 1) , ,1nn n a a n? ? ? ? 1nn? ≥ *1 ( ), 0 1,2 n N a? ? ?∴ 0 1na n??? 對一切 *nN? 都成立， ∴ 此時的解為 10 2a?? . 由 ① ， ② 可知 對一切 *nN? ， 都有 1nnbb?? 的 a 的取值范圍是 10 2a?? 或 1a? . ……14 分 已知函數44( 1) ( 1)() ( 1) ( 1)xxfx ? ? ?? ? ? ?（ 0x? ）。五”末我國國內年生產總值約為 _________億元新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 5新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 已知數列 {an}滿足條件新疆王新敞特級教師 源頭學子小屋htp:/:/新疆 a1=1,a2=r(r＞ 0),且 {anan+1}是公比為 q(q＞ 0)的等比數列，設 bn=a2n－ 1+a2n(n=1,2,? )新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ (1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2＞ an+2an+3(n∈ N*)成立的 q的取值范圍； (2)求 bn和nn S1lim??，其中 Sn=b1+b2+? +bn； (3)設 r=219新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 2－ 1， q=21 ，求數列 {nnbb212loglog ? }的最大項和最小項的值新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 6新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 某公司全年的利潤為 b元，其中一部分作為獎金發(fā)給 n位職工，獎金分配方案如下新疆王新敞特級教師源頭學子小屋htp:htp:/ 首先將職工按工作業(yè)績 (工作業(yè)績均不相同 )從大到小，由 1 到 n 排序，第 1 位職工得獎金 nb 元，然后再將余額除以 n 發(fā)給第 2 位職工，按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ (1)設 ak(1≤ k≤ n)為第 k 位職工所得獎金金額，試求 a2,a3，并用 k、 n 和 b 表示 ak(不必證明 )； (2)證明 ak＞ ak+1(k=1,2,? ,n－ 1),并解釋此不等式關于分 配原則的實際意義； (3)發(fā)展基金與 n 和 b有關，記為 Pn(b),對常數 b，當 n變化時，求 lim??nPn(b)新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 7新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 據有關資料， 1995年我國工業(yè)廢棄垃圾達到 7新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 4 108噸，占地 562新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 4平方公里，若環(huán)保部門每年回收或處理 1噸舊物資，則相當于處理和減少 4噸工業(yè)廢棄垃圾，并可節(jié)約