【正文】 1) ( 1)xxfx ? ? ?? ? ? ?（ 0x? ）。 22+6{rn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記 Sn為前 n 個圓的面積之和，求 rn、 Sn. ●案例探究 ［例 1］從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入 800 萬元，以后每年投入將比上年減少 51 ，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為 400 萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加 41 . (1)設(shè) n 年內(nèi) (本年度為第一年 )總投入為 an 萬元，旅游業(yè)總收入為 bn萬元，寫出 an,bn 的表達(dá)式； (2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？ 命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí) 際問題的能力，本題有很強(qiáng)的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，屬★★★★★級題目 . 知識依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點(diǎn) . 錯解分析： (1)問 an、 bn實(shí)際上是兩個數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，易與“通項(xiàng)”混淆； (2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差 . 技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂， (2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧 . 解： (1)第 1 年投入為 800 萬元，第 2 年投入為 800 (1－ 51 )萬元，?第 n 年投入為 800 (1－ 51 )n－ 1 萬元，所以， n 年內(nèi)的總投入為 an=800+800 (1－ 51 )+? +800 (1－ 51 )n－ 1=??nk1800 (1－ 51 )k－ 1 =4000［ 1－ (54 )n］ 第 1 年旅游業(yè)收入為 400 萬元，第 2 年旅游業(yè)收入為 400 (1+41)，?，第 n 年旅游業(yè)收入 400 (1+41)n－ 1 萬元 .所以， n 年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為 bn=400+400 (1+41)+? +400 (1+41)k－ 1=??nk1400 (45)k－ 1. =1600［ (45)n－ 1］ (2)設(shè)至少經(jīng)過 n 年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此 bn－ an＞ 0，即： 1600［ (45)n－ 1］－ 4000［ 1－ (54)n］＞ 0，令 x=(54)n，代入上式得： 5x2－ 7x+2＞，得 x＜ 52 ，或 x＞ 1(舍去 ).即 (54 )n＜ 52 ，由此得 n≥ 5. ∴至少經(jīng)過 5 年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 . ［例 2］已知 Sn=1+ 3121? +? +n1 ,(n∈ N*)設(shè) f(n)=S2n+1－ Sn+1,試確定實(shí)數(shù) m 的取值范圍，使得對于一切大于 1 的自然數(shù) n，不等式： f(n)＞［ logm(m－ 1)］ 2－ 2022 ［ log(m－ 1)m］ 2 恒成立 . 命題意圖：本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式 、數(shù)列等問題，需較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力 .屬★★★★★級題目 . 知識依托：本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構(gòu)思巧妙 . 錯解分析：本題學(xué)生很容易求 f(n)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理 . 技巧與方法：解決本題的關(guān)鍵是把 f(n)(n∈ N*)看作是 n 的函數(shù)，此時不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為：函數(shù) f(n)的最小值大于［ logm(m－ 1)］ 2－ 2022 ［ log(m－ 1)m］ 2. 解：∵ Sn=1+ 3121? +? +n1 .(n∈ N*) 0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112????????????????????????????????? ??nnnnnnnnnnnfnfnnnSSnf nn又? ∴ f(n+1)＞ f(n) ∴ f(n)是關(guān)于 n 的增函數(shù) ∴ f(n) min=f(2)= 20932 122 1 ???? ∴要使一切大于 1 的自然數(shù) n，不等式 f(n)＞［ logm(m－ 1)］ 2－ 2022 ［ log(m－ 1)m］ 2 恒成立 只要 209 ＞［ logm(m－ 1)］ 2－ 2022 ［ log(m－ 1)m］ 2成立即可 由??? ???? ?? 11,01 1,0 mm mm得 m＞ 1 且 m≠ 2 此時設(shè)［ logm(m－ 1)］ 2=t 則 t＞ 0 于是????????0 2011209tt 解得 0＜ t＜ 1 由此得 0＜［ logm(m－ 1)］ 2＜ 1 解得 m＞ 251? 且 m≠ 2. ●錦囊妙計(jì) ,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差(比 )數(shù)列、遞推數(shù)列模 型，再綜合其他相關(guān)知識來解決問題 . ，解決一個應(yīng)用題，重點(diǎn)過三關(guān)： (1)事理關(guān)：需要讀懂題意，明確問題的實(shí)際背景，即需要一定的閱讀能力 . (2)文理關(guān)：需將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系 . (3)事理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中；要求考生對數(shù)學(xué)知識的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化 .構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的數(shù)理能力 . ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★★ )已知二次函 數(shù) y=a(a+1)x2－ (2a+1)x+1，當(dāng) a=1， 2，?， n，?時，其拋物線在 x 軸上截得的線段長依次為 d1,d2，? ,dn,? ,則 lim??n (d1+d2+? +dn)的值是 ( ) 二、填空題 2.(★★★★★ )在直角坐標(biāo)系中， O 是坐標(biāo)原點(diǎn)， P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)是第一象限的兩個點(diǎn)，若 1， x1， x2， 4 依次成等差數(shù)列，而 1， y1， y2， 8 依次成等比數(shù)列，則△ OP1P2的面積是 _________. 3.(★★★★ )從盛滿 a 升酒精的容器里倒出 b 升，然后再用水加滿，再倒出 b 升，再用水加滿；這樣倒了 n 次，則容器中有純酒精 _________升 . 4.(★★★★★ )據(jù) 2022 年 3 月 5 日九屆人大五次會議《政府工作報(bào)告》：“ 2022 年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到 95933 億元，比上年增長 %，”如果“十 21+6 4． 已知 0a? ，且 1a? ，數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，它滿足條件111nnaSa? ??.數(shù)列 {}nb中， nnba? lim lim(1 )nnnS n r? ? ? ???? (1 ) (1 )0 1 , ,1 nn rqqS q??? ? ? ?當(dāng) 時 1 1 1 。 已知函數(shù) ? ? ? ?Rxxf x ??? 24 1 ，點(diǎn) ? ?111 ,yxP ， ? ?222 ,yxP 是函數(shù) ??xf 圖像上的兩個點(diǎn)，且線段 21PP 的中點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 21 ． ⑴求證：點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)是定值； ⑵若數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 ? ?mnNmmnfa n ,2,1, ?????????? ，求數(shù)列 ??na 的前 m 項(xiàng)的和mS ； ⑶若 Nm? 時，不等式 11???mmmm SaSa恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 解：⑴由題可知： 121221 ???? xx ，所以， ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 214442 44444424 444242444424124121212121212121212121??? ?????? ???????????????? xxxxxxxxxxxxxxxxxfxfyy 點(diǎn) P 的縱坐標(biāo) 412 21 ??? yyy P 是定值，問題得證． ⑵由⑴可知：對任意自然數(shù) nm, ， 21??????? ???????? m nmfmnf 恒成立． 由于 ????????????? ???????? ????????????????? mmfmmfmmfmfmfS m 1221 ?，故可考慮利用倒寫求和的方法．即由于：????????????????????? ???????? ?????????????????????? ???????? ?????????????????mfmfmmfmmfmmfmmfmmfmmfmfmfS m12211221?? 所以， ? ? ? ?1361)1(212121122112?????????????????? ????????????? ????????? ?????? ??????????????? ?????? ?????????mfmmmfmfmmfmmfmfmmfmfS m ? 所以， ? ?13121 ?? mSm ⑵∵ ? ?13121 ?? mSm ， ∴ ? ?231211 ??? mS m ∴ 11???mmmm SaSa等價(jià)于 02313 112 ??????? ??? m ama m ① 依題意，①式應(yīng)對任意 Nm? 恒成立． 顯然 0?a ，因?yàn)?0?ma （ Nm? ），所以，需且只需 02313 1 ???? mam 對任意 Nm? 恒成立．即： 13 23 ??? mma 對 Nm? 恒成立． 記 ? ? 13 23 ??? mmmg （ Nm? ）．∵ ? ? ? ? ? ?? ? 01323 913 2323 531 ??? ?????????? mmmmmmmgmg ， ∴ ??mg （ Nm? ）的最大值為 ?? 251?g ，∴ 25?a ． 題目 新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp::/新疆 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題 高考要求新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險(xiǎn)，圓鋼堆壘等問題新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 這就要求同學(xué) 們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 重難點(diǎn)歸納新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 1新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識 ,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應(yīng)用性 問題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差 (比 )數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識來解決問題新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個應(yīng)用題，重點(diǎn)過三關(guān)新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 (1)事理關(guān)新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 需要讀懂題意，明確問題的實(shí)際背景，即需要一定的閱讀能力新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ (2)文理關(guān)新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/jyg/源頭學(xué)子小屋特級教師 王新敞新疆 需將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:htp:/ (3)事理關(guān)新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中；要求考生對數(shù)學(xué)知識的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的數(shù)理能力新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 典型題例示范講解新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 例 1從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入 800萬元，以后每年投入將比上年減少 51 ，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為 400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游