【正文】 aaxxxxxxxaaxxxxxxxaaxxa41)21(21)(212,21)(212,)2(2332334212212232121????????????????????????? 由此推測 an=(－ 21 )n1a(n∈ N) 證法一新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 因為 a1=a＞ 0,且 11111 21)(2122 ????? ??????????? nnnnnnnnnnn axxxxxxxxxa (n≥ 2) 所以 an=(－21)n1a新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 證法二新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 用數(shù)學(xué)歸納法證明新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 (ⅰ )當(dāng) n=1時， a1=x2－ x1=a=(－21)0a,公式成立； (ⅱ )假設(shè)當(dāng) n=k時，公式成立，即 ak=(－21)k－ 1a成立新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 那么當(dāng) n=k+1時， ak+1=xk+2－ xk+1=kkkkkk axxxxx 21)(212 111 ??????? ??? .)21()21(21 111 公式仍成立aa )(kk ??? ????? 據(jù) (ⅰ )(ⅱ )可知，對任意 n∈ N，公式 an=(－ 21 )n1a成立新疆源頭學(xué) 子小屋 特級教 師 王新敞htp::/ (3)當(dāng) n≥ 3時，有 xn=(xn－ xn－ 1)+(xn－ 1－ xn－ 2)+? +(x2－ x1)+x1=an－ 1+an－ 2+? +a1, 由 (2)知 {an}是公比為－ 21 的等比數(shù)列，所以32)21(1lim 1 ?????? ax nna新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 課前后備注新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 高考中的數(shù)列 綜合 題 選講 1.（ 2022 陜西 文、理 ） 已知正項數(shù)列 }{na ，其前 n 項和 Sn滿足 10Sn= 2na ＋ 5an＋ 6， 且 a1， a3， a15成等比數(shù)列，求數(shù)列 }{na 的通項 an. : ∵ 10Sn=an2+5an+6, ① ∴ 10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn－ 1=an－ 12+5an－ 1+6(n≥ 2),② 由①－②得 10an=(an2－ an－ 12)+6(an－ an－ 1),即 (an+an－ 1)(an－ an－ 1－ 5)=0 ∵ an+an－ 10 , ∴ an－ an－ 1=5 (n≥ 2). 當(dāng) a1=3 時 ,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比數(shù)列∴ a1≠ 3。l im l im (1 ) (1 ) 1nnnn qqS r q r? ? ? ? ????? ? ? (1 ) (1 )1 , ,1 nn rqqS q???? ?當(dāng) 時 11 0,lim lim (1 ) (1 )nnnn qS r q? ? ? ? ????? 1 , ( 0 1 )11l i m 0 , ( 1 )nnq qrS q???? ???? ?????所 以 1( 3 ) ( 2) , (1 ) nnb r q ???由 有 . og)1)(1(l og l og)1(l og])1[(l og ])1[(l ogl ogl og 22 2212 22 12 ????? ?????? ?? nqnr qnrqr qrbb n nnn nnn bbC212loglog ??記 ,從上式可知， 當(dāng) n－ 20新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 2＞ 0，即 n≥ 21(n∈ N*)時， Cn隨 n的增大而減小， 故 1＜ Cn≤ C21=1+ 1 ??? =2新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 25 ① 當(dāng) n－ 20新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 2＜ 0，即 n≤ 20(n∈ N*)時， Cn也隨 n的增大而減小， 故 1＞ Cn≥ C20=1+ 1 ??? =－ 4 ② 綜合①②兩式知，對任意的自然數(shù) n有 C20≤ Cn≤ C21, 故 {Cn}的最大項 C21=2新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 25，最小項 C20=－ 4新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 6新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 解新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 (1)第 1位職工的獎金 a1=nb， 第 2位職工的獎金 a2=n1(1－n1)b， 第 3位職工的獎金 a3=n1(1－n1)2b，?， 第 k位職工的獎金 ak=n1 (1－n1)k－ 1b。 (2)∵ 0,212212212221212121 ????????????????????? qaa qaqaaa aabbqaaaa aannnnnnnnnnnnnnnn新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ b1=1+r≠ 0，所以 {bn}是首項為 1+r，公比為 q的等比數(shù)列，從而 bn=(1+r)qn1新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 當(dāng) q=1時， Sn=n(1+r), 11 0。五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為 _________億元新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 5新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 已知數(shù)列 {an}滿足條件新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 a1=1,a2=r(r＞ 0),且 {anan+1}是公比為 q(q＞ 0)的等比數(shù)列，設(shè) bn=a2n－ 1+a2n(n=1,2,? )新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ (1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2＞ an+2an+3(n∈ N*)成立的 q的取值范圍； (2)求 bn和nn S1lim??，其中 Sn=b1+b2+? +bn； (3)設(shè) r=219新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 2－ 1， q=21 ，求數(shù)列 {nnbb212loglog ? }的最大項和最小項的值新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 6新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 某公司全年的利潤為 b元，其中一部分作為獎金發(fā)給 n位職工，獎金分配方案如下新疆王新敞特級教師源頭學(xué)子小屋htp:htp:/ 首先將職工按工作業(yè)績 (工作業(yè)績均不相同 )從大到小，由 1 到 n 排序，第 1 位職工得獎金 nb 元，然后再將余額除以 n 發(fā)給第 2 位職工，按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ (1)設(shè) ak(1≤ k≤ n)為第 k 位職工所得獎金金額，試求 a2,a3，并用 k、 n 和 b 表示 ak(不必證明 )； (2)證明 ak＞ ak+1(k=1,2,? ,n－ 1),并解釋此不等式關(guān)于分 配原則的實際意義； (3)發(fā)展基金與 n 和 b有關(guān)，記為 Pn(b),對常數(shù) b，當(dāng) n變化時，求 lim??nPn(b)新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 7新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 據(jù)有關(guān)資料， 1995年我國工業(yè)廢棄垃圾達到 7新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 4 108噸，占地 562新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 4平方公里，若環(huán)保部門每年回收或處理 1噸舊物資，則相當(dāng)于處理和減少 4噸工業(yè)廢棄垃圾，并可節(jié)約開采各種礦石 20 噸，設(shè)環(huán)保部門 1996 年回收 10 萬噸廢舊物資，計劃以后每年遞增 20%的回收量，試問新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 (1)2022年回收廢舊物資多少噸？ (2)從 1996年至 2022 年可節(jié)約開采礦石多少噸 (精確到萬噸 )？ (3)從 1996年至 2022 年可節(jié)約多少 平方公里土地？ 8新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 已知點的序列 An(xn， 0),n∈ N,其中 x1=0,x2=a(a＞ 0),A3是線段 A1A2的中點， A4是線段 A2A3的中點，?， An是線段 An－ 2An－ 1的中點，?新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ (1)寫出 xn與 xn－ xn－ 2之間關(guān)系式 (n≥ 3)。①得q=nnrr1? =t+1，代入①得 rn= 2)1(2 1?? ?tt n ∴ Sn=π (r12+r22+? +rn2)=342221 )2( )1(21 )1( ????? ?? tt tq qr n ［ (t+1)2n－ 1］新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 學(xué)生鞏固練習(xí)新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 1新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 已知二次函數(shù) y=a(a+1)x2－ (2a+1)x+1，當(dāng) a=1， 2，?， n，?時，其拋物線在 x軸上截得的線段長依次為 d1,d2，? ,dn,? ,則 lim??n (d1+d2+? +dn)的值是 ( ) A新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 1 B新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 2 C新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 3 D新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 4 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 在直角坐標(biāo)系中， O是坐標(biāo)原點， P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)是第一象限的兩個點，若 1，x1， x2， 4依次成等差數(shù)列，而 1， y1， y2， 8依次成等比數(shù)列，則△ OP1P2的面積是 _________新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 3新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 從盛滿 a升酒精的容器里倒出 b升，然后 再用水加滿，再倒出 b升，再用水加滿；這樣倒了 n次，則容器中有純酒精 _________升新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 4新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 據(jù) 2022年 3月 5日九屆人大五次會議《政府工作報告》新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 “ 2022年國內(nèi)生產(chǎn)總值達到 95933 億元，比上年增長 7新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 3%，”如果“十 g(x)+anx+bn=xn+1［ g(x)］為多項式， n∈ N*),試用 t表示 an和 bn； (3)設(shè)圓 Cn的方程為 (x－ an)2+(y－ bn)2=rn2，圓 Cn與 Cn+1外切 (n=1,2,3,? )。 解：（Ⅰ）由42361() 44xxfx xx??? ? 及 ()f x x? 得 42 4 2 23 61 3 2 1 0 144xx x x x xxx?? ? ? ? ? ? ? ?? 或 2 13x ?? （舍去）， 所以 1x? 或 1? ，即 ()fx的實不動點為 1x? 或 1x?? ； （ II）由條件得44 4 411 4 4 41( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1n n n n nnn n n n na a a a aa a a a a a?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???，從而有 1111ln 4 lnnnaa???????， 由此及 11 1ln ln 3 01aa ? ??? 知：數(shù)列1ln 1nnaa????????是首項為 ln3 ，公比為 4 的等比數(shù)列，故有 111414411 31l n 4 l n 3 3 nnnnnn naa a ?????? ?? ? ? ? ??? ?（ n ??N ）。12( 1)[ ].1 ( 1)nnna a aaa? ???? ……6 分 （ 2）由 11 l g ( 1 ) l gnnnnb b na a n a a??? ? ? ?可得 ① 當(dāng) 1a? 時，由 lg 0a? ， 可得 1na n? ? *1( ), 1,1n n N an ? ? ?? ∴ 1na n? ? 對一切 *nN? 都成立，