【正文】 知得 l og 2 2 a n － 1l og 2 2 a n ＝ 2 n ， ∴ a n － 1a n ＝ 2 n ，即 a 2n － 2 na n － 1 ＝ 0. ∴ a n ＝ n 177。山東金榜苑文化傳媒集團(tuán) 步步高大一輪復(fù)習(xí)講義 專題四 數(shù)列的綜合應(yīng)用 主頁 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)主頁 要點(diǎn)梳理憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn) 主頁 題 型 一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 【例 1 】 在等比數(shù)列 { an } ( n ∈ N*) 中 , a 1 1 , 公比 q 0 , 設(shè) b n＝2lo g na, 且 b 1 ＋ b 3 ＋ b 5 ＝ 6 ， b 1 b 3 b 5 ＝ 0. ( 1) 求證：數(shù)列 { b n } 是等差數(shù)列； ( 2) 求 { b n } 的前 n 項(xiàng)和 S n 及 { a n } 的通項(xiàng) a n ； ( 3) 試比較 a n 與 S n 的大?。? (1)利用定義法即可解決； (2)先求 {bn}的首項(xiàng)和公差 ,再求 {an}的首項(xiàng)及公比 。 (3)分情況討論． (1 ) 證明 : ∵ b n ＝ l og 2 a n , ∴ b n ＋ 1 － b n ＝ l o g 2 a n ＋ 1a n ＝ l og 2 q 為常數(shù)， ∴ 數(shù)列 { b n } 為等差數(shù)列且公差 d ＝ l og 2 q . (1 ) 證明 : ∵ b n ＝ l og 2 a n , ∴ b n ＋ 1 － b n ＝ l o g 2 a n ＋ 1a n ＝ l og 2 q 為常數(shù)， ∴ 數(shù)列 { b n } 為等差數(shù)列且公差 d ＝ l og 2 q . (1 ) 證明 : ∵ b n ＝ l og 2 a n , ∴ b n ＋ 1 － b n ＝ l o g 2 a n ＋ 1an ＝ l og 2 q 為常數(shù)， ∴ 數(shù)列 { bn } 為等差數(shù)列且公差 d ＝ l og 2 q . 主頁 題 型 一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 ( 2) 解 : ∵ b 1 ＋ b 3 ＋ b 5 ＝ 6 ， ∴ b 3 ＝ 2 ， ∵ a 1 1 ， ∴ b 1 ＝ l og 2 a 1 0 ， ∵ b 1 b 3 b 5 ＝ 0 ， ∴ b 5 ＝ 0. ∴ ????? b 1 ＋ 2 d ＝ 2 ，b 1 ＋ 4 d ＝ 0 ， 解得 ????? b 1 ＝ 4 ，d ＝－ 1 ， ∴ S n ＝ 4 n ＋ n ? n － 1 ?2 ( － 1) ＝ 9 n － n 22 . ∵ ????? l og 2 q ＝－ 1 ，l og 2 a 1 ＝ 4 ， ∴ ????? q ＝ 12 ，a1 ＝ 16 ， ∴ a n ＝ 2 5 － n ( n ∈ N * ) ． ( 2) 解 : ∵ b 1 ＋ b 3 ＋ b 5 ＝ 6 ， ∴ b 3 ＝ 2 ， ∵ a 1 1 ， ∴ b 1 ＝ l og 2 a 1 0 ， ∵ b 1 b 3 b 5 ＝ 0 ， ∴ b 5 ＝ 0. ∴????? b 1 ＋ 2 d ＝ 2 ，b 1 ＋ 4 d ＝ 0 ， 解得 ????? b 1 ＝ 4 ，d ＝－ 1 ， ∴ S n ＝ 4 n ＋ n ? n － 1 ?2 ( － 1) ＝ 9 n － n22 . ∵????? l og 2 q ＝－ 1 ，l og 2 a 1 ＝ 4 ， ∴ ????? q ＝ 12 ，a 1 ＝ 16 ， ∴ a n ＝ 2 5 － n ( n ∈ N * ) ． ( 2) 解 : ∵ b 1 ＋ b 3 ＋ b 5 ＝ 6 ， ∴ b 3 ＝ 2 ， ∵ a 1 1 ， ∴ b 1 ＝ l og 2 a 1 0 ， ∵ b 1 b 3 b 5 ＝ 0 ， ∴ b 5 ＝ 0. ∴ ????? b 1 ＋ 2 d ＝ 2 ，b 1 ＋ 4 d ＝ 0 ， 解得 ????? b 1 ＝ 4 ，d ＝－ 1 ， ∴ S n ＝ 4 n ＋ n ? n － 1 ?2 ( － 1) ＝ 9 n － n 22 . ∵ ????? l og 2 q ＝－ 1 ，l og 2 a 1 ＝ 4 ， ∴ ????? q ＝ 12 ，a1 ＝ 16 ， ∴ a n ＝ 2 5 － n ( n ∈ N * ) ． ( 2) 解 : ∵ b 1 ＋ b 3 ＋ b 5 ＝ 6 ， ∴ b 3 ＝ 2 ， ∵ a 1 1 ， ∴ b 1 ＝ l og 2 a 1 0 ， ∵ b 1 b 3 b 5 ＝ 0 ， ∴ b 5 ＝ 0. ∴ ????? b 1 ＋ 2 d ＝ 2 ，b 1 ＋ 4 d ＝ 0 ， 解得 ????? b 1 ＝ 4 ，d ＝－ 1 ， ∴ S n ＝ 4 n ＋ n ? n － 1 ?2 ( － 1) ＝ 9 n － n 22 . ∵ ????? l og 2 q ＝－ 1 ，l og 2 a 1 ＝ 4 ， ∴ ????? q ＝ 12 ，a1 ＝ 16 ， ∴ a n ＝ 2 5 － n ( n ∈ N * ) ． ( 2) 解 : ∵ b 1 ＋ b 3 ＋ b 5 ＝ 6 ， ∴ b 3 ＝ 2 ， ∵ a 1 1 ， ∴ b 1 ＝ l og 2 a 1 0 ， ∵ b 1 b 3 b 5 ＝ 0 ， ∴ b 5 ＝ 0. ∴????? b 1 ＋ 2 d ＝ 2 ，b 1 ＋ 4 d ＝ 0 ， 解得 ????? b 1 ＝ 4 ，d ＝－ 1 ， ∴ S n ＝ 4 n ＋ n ? n － 1 ?2 ( － 1) ＝ 9 n － n22 . ∵????? l og 2 q ＝－ 1 ，l og 2 a 1 ＝ 4 ， ∴ ????? q ＝ 12 ，a 1 ＝ 16 ， ∴ a n ＝ 2 5 － n ( n ∈ N * ) ． ( 2) 解 : ∵ b 1 ＋ b 3 ＋ b 5 ＝ 6 ， ∴ b 3 ＝ 2 ， ∵ a 1 1 ， ∴ b 1 ＝ l og 2 a 1 0 ， ∵ b 1 b 3 b 5 ＝ 0 ， ∴ b 5 ＝ 0. ∴????? b 1 ＋ 2 d ＝ 2 ，b 1 ＋ 4 d ＝ 0 ， 解得????? b 1 ＝ 4 ，d ＝－ 1 ， ∴ S n ＝ 4 n ＋n ? n － 1 ?2 ( － 1) ＝9 n － n 22 . ∵????? l og 2 q ＝－ 1 ，l og 2 a 1 ＝ 4 ， ∴????? q ＝ 12 ，a 1 ＝ 16 ， ∴ a n ＝ 2 5 － n ( n ∈ N * ) ． ( 2) 解 : ∵ b 1 ＋ b 3 ＋ b 5 ＝ 6 ， ∴ b 3 ＝ 2 ， ∵ a 1 1 ， ∴ b 1 ＝ l og 2 a 1 0 ， ∵ b 1 b 3 b 5 ＝ 0 ， ∴ b 5 ＝ 0. ∴ ????? b 1 ＋ 2 d ＝ 2 ，b 1 ＋ 4 d ＝ 0 ， 解得 ????? b 1 ＝ 4 ，d ＝－ 1 ， ∴ S n ＝ 4 n ＋ n ? n － 1 ?2 ( － 1) ＝ 9 n － n 22 . ∵ ????? l og 2 q ＝－ 1 ，l og 2 a 1 ＝ 4 ， ∴ ????? q ＝ 12 ，a1 ＝ 16 ， ∴ a n ＝ 2 5 － n ( n ∈ N * ) ． 主頁 題 型 一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 ( 3) 顯然 a n ＝ 2 5 － n 0 ，當(dāng) n ≥ 9 時(shí)， S n ＝ n ? 9 － n ?2 ≤ 0 ， ∴ n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ∵ a 1 ＝ 16 ， a 2 ＝ 8 ， a 3 ＝ 4 ， a 4 ＝ 2 ， a 5 ＝ 1 ， a 6 ＝ 12 ， a 7 ＝ 14 ， a 8 ＝ 18 ， S 1 ＝ 4 ， S 2 ＝ 7 ， S 3 ＝ 9 ， S 4 ＝ 10 ， S 5 ＝ 10 ， S 6 ＝ 9 ， S 7 ＝ 7 ， S 8 ＝ 4 ， ∴ 當(dāng) n ＝ 3,4 ,5,6, 7,8 時(shí)， a n S n ；當(dāng) n ＝ 1 ,2 或 n ≥ 9 時(shí)， a n S n . 探究提高( 3) 顯然 a n ＝ 2 5 － n 0 ，當(dāng) n ≥ 9 時(shí)， S n ＝ n ? 9 － n ?2 ≤ 0 ， ∴ n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ∵ a 1 ＝ 16 ， a 2 ＝ 8 ， a 3 ＝ 4 ， a 4 ＝ 2 ， a 5 ＝ 1 ， a 6 ＝ 12 ， a 7 ＝ 14 ， a 8 ＝ 18 ， S 1 ＝ 4 ， S 2 ＝ 7 ， S 3 ＝ 9 ， S 4 ＝ 10 ， S 5 ＝ 10 ， S 6 ＝ 9 ， S 7 ＝ 7 ， S 8 ＝ 4 ， ∴ 當(dāng) n ＝ 3,4 ,5,6, 7,8 時(shí)， a n S n ；當(dāng) n ＝ 1 ,2 或 n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ( 3) 顯然 a n ＝ 2 5 － n 0 ，當(dāng) n ≥ 9 時(shí)， S n ＝ n ? 9 － n ?2 ≤ 0 ， ∴ n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ∵ a 1 ＝ 16 ， a 2 ＝ 8 ， a 3 ＝ 4 ， a 4 ＝ 2 ， a 5 ＝ 1 ， a 6 ＝ 12 ， a 7 ＝ 14 ， a 8 ＝ 18 ， S 1 ＝ 4 ， S 2 ＝ 7 ， S 3 ＝ 9 ， S 4 ＝ 10 ， S 5 ＝ 10 ， S 6 ＝ 9 ， S 7 ＝ 7 ， S 8 ＝ 4 ， ∴ 當(dāng) n ＝ 3,4 ,5,6, 7,8 時(shí)， a n S n ；當(dāng) n ＝ 1 ,2 或 n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ( 3) 顯然 a n ＝ 2 5 － n 0 ，當(dāng) n ≥ 9 時(shí)， S n ＝ n ? 9 － n ?2 ≤ 0 ， ∴ n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ∵ a1 ＝ 16 ， a 2 ＝ 8 ， a 3 ＝ 4 ， a 4 ＝ 2 ， a5 ＝ 1 ， a 6 ＝ 12 ， a 7 ＝ 14 ， a 8 ＝ 18 ， S 1 ＝ 4 ， S 2 ＝ 7 ， S 3 ＝ 9 ， S 4 ＝ 10 ， S5 ＝ 10 ， S 6 ＝ 9 ， S 7 ＝ 7 ， S 8 ＝ 4 ， ∴ 當(dāng) n ＝ 3,4 ,5,6, 7,8 時(shí)， an S n ；當(dāng) n ＝ 1 ,2 或 n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ( 3) 顯然 an ＝ 2 5 － n 0 ，當(dāng) n ≥ 9 時(shí)， S n ＝ n ? 9 － n ?2 ≤ 0 ， ∴ n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ∵ a 1 ＝ 16 ， a 2 ＝ 8 ， a 3 ＝ 4 ， a 4 ＝ 2 ， a 5 ＝ 1 ， a 6 ＝ 12 ， a 7 ＝ 14 ， a 8 ＝ 18 ， S 1 ＝ 4 ， S 2 ＝ 7 ， S 3 ＝ 9 ， S 4 ＝ 10 ， S 5 ＝ 10 ， S 6 ＝ 9 ， S 7 ＝ 7 ， S 8 ＝ 4 ， ∴ 當(dāng) n ＝ 3,4 ,5,6, 7,8 時(shí)， a n S n ；當(dāng) n ＝ 1 ,2 或 n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ( 3) 顯然 a n ＝ 2 5 － n 0 ，當(dāng) n ≥ 9 時(shí)， S n ＝ n ? 9 － n ?2 ≤ 0 ， ∴ n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ∵ a 1 ＝ 16 ， a 2 ＝ 8 ， a 3 ＝ 4 ， a 4 ＝ 2 ， a 5 ＝ 1 ， a 6 ＝ 12 ， a 7 ＝ 14 ， a 8 ＝ 18 ， S 1 ＝ 4 ， S 2 ＝ 7 ， S 3 ＝ 9 ， S 4 ＝ 10 ， S 5 ＝ 10 ， S 6 ＝ 9 ， S 7 ＝ 7 ， S 8 ＝ 4 ， ∴ 當(dāng) n ＝ 3,4 ,5,6, 7,8 時(shí)， a n S n ；當(dāng) n ＝ 1 ,2 或 n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ( 3) 顯然 a n ＝ 2 5 － n 0 ，當(dāng) n ≥ 9 時(shí)， S n ＝ n ? 9 － n ?2 ≤ 0 ， ∴ n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ∵ a 1 ＝ 16 ， a 2 ＝ 8 ， a 3 ＝ 4 ， a 4 ＝ 2 ， a 5 ＝ 1 ， a 6 ＝ 12 ， a 7 ＝ 14 ， a 8 ＝ 18 ， S 1 ＝ 4 ， S 2 ＝ 7 ， S 3 ＝ 9 ， S 4 ＝ 10 ， S 5 ＝ 10 ， S 6 ＝ 9 ， S 7 ＝ 7 ， S 8 ＝ 4 ， ∴ 當(dāng) n ＝ 3,4 ,5,6, 7,8 時(shí)， a n S n ；當(dāng) n ＝ 1 ,2 或 n ≥ 9 時(shí)， a n S n . ( 3) 顯然 a n ＝ 2 5 － n 0 ，當(dāng) n ≥ 9 時(shí)， S n ＝ n ? 9 － n ?2 ≤ 0 ，