數(shù)列模型及數(shù)列的綜合應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-05-14 08:56本頁(yè)面
【正文】 a1＋ a2＋ ? ＋ a10＝ x ∴?x2＋ 1 ?? 1 －121 0 ?1 －12＝ x ， ∴ x ＝ 2 0 4 6 . 6 ．已知曲線 C ： xy ＝ 1 ，過(guò) C 上一點(diǎn) An( xn， yn)作一斜率為 kn＝－1xn＋ 2的直線交曲線 C 于另一點(diǎn)An ＋ 1( xn ＋ 1， yn ＋ 1) ，點(diǎn)列 An( n ＝ 1 , 2 , 3 ， ? ) 的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 { xn} ，其中 x1＝117. ( 1 ) 求 xn與 xn ＋ 1的關(guān)系式； ( 2 ) 求證：數(shù)列 {1xn－ 2＋13} 是等比數(shù)列． 【解析】 ( 1 ) 直線方程為 y － y n ＝－1x n ＋ 2( x － x n ) ， 因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn) A n ＋ 1 ( x n ＋ 1 ， y n ＋ 1 ) ， 所以 y n ＋ 1 － y n ＝－1x n ＋ 2( x n ＋ 1 － x n ) ， 又 xy ＝ 1 ，所以1x n ＋ 1－1x n＝－1x n ＋ 2( x n ＋ 1 － x n ) ， 得 x n x n ＋ 1 ＝ x n ＋ 2. ( 2 ) 設(shè) an＝1xn－ 2＋13， 由 ( 1 ) 得 an ＋ 1＝1xn ＋ 1－ 2＋13＝11 ＋2xn－ 2＋13 ＝xn2 － xn＋13＝－23－2xn－ 2＝－ 2 an， 又 a1＝－ 2 ≠ 0 ，故 {1xn－ 2＋13} 是以－ 2 為首項(xiàng)，－ 2為公比的等比數(shù)列． 7 ．從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，本年度投入 800 萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少15. 本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為 4 0 0 萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加14. ( 1 ) 設(shè) n 年內(nèi) ( 本年度為第一年 ) 總投入為 an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入 bn萬(wàn)元，寫出 an， bn的表達(dá)式； ( 2 ) 至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè) 的總收入才能超過(guò)總投入？ 【解析】 ( 1 ) 第 1 年投入 800 萬(wàn)元，第 2 年投入8 0 0 (1 －15) 萬(wàn)元 ? ，第 n 年投入 800 (1 －15)n － 1萬(wàn)元 所以總投入 a n ＝ 8 0 0 ＋ 8 0 0 ( 1 －15) ＋ ? ＋ 8 0 0 ( 1－15)n － 1＝ 4 0 0 0 [ 1 － (45)n] ． 同理：第 1 年收入 400 萬(wàn)元，第 2 年收入 400 (1＋14) 萬(wàn)元， ? ，第 n 年收入 400 (1 ＋14)n － 1萬(wàn)元， b n ＝ 400 ＋ 400 (1 ＋14) ＋ ? ＋ 400 (1 ＋14)n － 1 ＝ 1600 [(54)n－ 1] ． ( 2 ) ∵ bn－ an＞ 0 , 1 6 0 0 [ (54)n－ 1] － 4 0 0 0 [1 － (45)n]＞ 0 ， 化簡(jiǎn)得， 5 (45)n＋ 2 (54)n－ 7 ＞ 0 ， 設(shè) x ＝ (45)n，則 5 x2－ 7 x ＋ 2 ＞ 0 ， ∴ x ＜25， x ＞ 1( 舍 ) ， 即 (45)n＜25，由此得 n ≥ 5. 所以至少經(jīng)過(guò) 5 年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入． 8 ．某商店投入 38 萬(wàn)元經(jīng)銷某種紀(jì)念品，經(jīng)銷時(shí)間共 60 天，為了獲得更多的利潤(rùn)，商店將每天獲得的利潤(rùn)投入到次日的經(jīng)營(yíng)中，市場(chǎng)調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第 n 天的利潤(rùn) an＝????? 1 ， 1 ≤ n ≤ 25 ，125n ， 26 ≤ n ≤ 60( 單位：萬(wàn)元， n ∈ N*) ，記第 n 天的利潤(rùn)率 bn＝第 n 天的利潤(rùn)前 n － 1 天投入的資金總和，例如 b3＝a338 ＋ a1＋ a2. ( 1 ) 求 b 1 ， b 2 的值； ( 2 ) 求第 n 天的利潤(rùn)率 b n ； ( 3 ) 該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，哪一天的利潤(rùn)率最大？并求該天的利潤(rùn)率． 【解析】 ( 1 ) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， b1＝138； 當(dāng) n ＝ 2 時(shí)， b2＝139. ( 2 ) 當(dāng) 1 ≤ n ≤ 25 時(shí)， a1＝ a2＝ ? ＝ an － 1＝ an＝ 1. ∴ bn＝an38 ＋ a1＋ a2＋ ? ＋ an － 1 ＝138 ＋ n － 1＝137 ＋ n. 當(dāng) 26 ≤ n ≤ 60 時(shí)， bn＝an38 ＋ a1＋ ? ＋ a25＋ a26＋ ? ＋ an － 1 ＝n2563 ＋? n － 26 ?? n ＋ 25 ?50＝2 nn2－ n ＋ 2 5 0 0， ∴ 第 n 天的利潤(rùn)率 bn＝??????? 137 ＋ n， 1 ≤ n ≤ 25 ，2 nn2－ n ＋ 2 5 0 0， 26 ≤ n ≤ 6 0 .( n ∈ N*) ． ( 3 ) 當(dāng) 1 ≤ n ≤ 25 時(shí)， bn＝137 ＋ n是遞減數(shù)列，此時(shí) bn的最大值為 b1＝138； 當(dāng) 26 ≤ n ≤ 60 時(shí)， bn＝2 nn2－ n ＋ 2 5 0 0＝2n ＋2 5 0 0n－ 1 ≤22 2 5 0 0 － 1＝299 ( 當(dāng)且僅當(dāng) n ＝2 5 0 0n，即 n ＝ 50 時(shí)， “ ＝ ” 成立 )． 又 ∵138＞299， ∴ n ＝ 1 時(shí)， ( bn)ma x＝138. ∴ 該商店經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第 1 天的利潤(rùn)率最大，且該天的利潤(rùn)率為138.
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