【文章內(nèi)容簡介】 ＝n2n － 3 －n － 12n － 4 ＝2 － n2n － 3 . ∴ 當 n ≥ 3 時， Tn Tn － 1. ∴ Tn Tn － 1 ? T2， 又當 n ＝ 2 時， T1＝ T2＝ 4. ∴ ( Tn)m a x＝ T2＝ 4 ， ∴ Tn≤ 4 . 綜上 0 Tn≤ 4. 三、數(shù)列與不等式的綜合應用 例 4 設函數(shù) f ( x ) ＝ x － x ln x . 數(shù)列 ??????a n 滿足 0 a 1 1 ，a n ＋ 1 ＝ f ( a n ) ． ( 1 ) 證明：函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 ( 0 , 1 ) 是增函數(shù)； ( 2 ) 證明： a n a n ＋ 1 1 . 【分析】 第 ( 1 ) 問可用求導的方法證明其單調(diào)性；第 ( 2 ) 問中，由遞推關系 a n ＋ 1 ＝ f ( a n ) 可知， a n ＋ 1可看成 a n 的函數(shù)，故由 a n 的范圍可求 a n ＋ 1 的取值范圍，因此可用數(shù)學歸納法． 【解析】 ( 1 ) 證明： f ( x ) ＝ x － x ln x ， f ′ ( x ) ＝－ ln x ，當 x ∈ ( 0 , 1 ) 時， f ′ ( x ) ＝－ ln x 0 ， 故函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 ( 0 , 1 ) 上是增函數(shù)． ( 2 ) 證明： ( 用數(shù)學歸納法 ) ( ⅰ ) 當 n ＝ 1 時， 0 a 1 1 ， a 1 ln a 1 0 ， a 2 ＝ f ( a 1 ) ＝ a 1 － a 1 ln a 1 a 1 ， 由函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 ( 0 , 1 ) 是增函數(shù)，在 (1 ，＋ ∞ )上是減函數(shù)，且函數(shù) f ( x ) 在 x ＝ 1 處連續(xù)，則 f ( x ) 在區(qū)間 ( 0 , 1 ] 是增函數(shù)， ∴ 當 x ＞ 0 時， f ( x ) ma x ＝ 1 ， ∴ a 2 ＝ f ( a 1 ) ＝ a 1 － a 1 ln a 1 1 ，即 a 1 a 2 1 成立； ( ⅱ ) 假設當 x ＝ k ( k ∈ N*) 時， ak ak ＋ 11 成立，即0 a1≤ ak ak ＋ 11 ， 那么當 n ＝ k ＋ 1 時，由 f ( x ) 在區(qū)間 ( 0 , 1 ] 是增函數(shù)， 0 a1≤ ak ak ＋ 11 ， 得 f ( ak) f ( ak ＋ 1) f ( 1 ) ．而 an ＋ 1＝ f ( an) ， 則 ak ＋ 1＝ f ( ak) ， ak ＋ 2＝ f ( ak ＋ 1) ，即 ak ＋ 1 ak ＋ 21 ，也就是說當 n ＝ k ＋ 1 時， an an ＋11 也成立； 根據(jù) ( ⅰ ) 、 ( ⅱ ) 可得對任意的正整數(shù) n ， an an ＋11 恒成立． 〔備選題〕例 5 數(shù)列 { a n }( n ∈ N*) 中， a 1 ＝ 0 ， a n ＋ 1 是函數(shù) f n ( x ) ＝13x3－12(3 a n ＋ n2) x2＋ 3 n2a n x 的極小值點，求數(shù)列 { a n } 的通項公式． 【解析】 易知 f ′ n ( x ) ＝ x2－ (3 a n ＋ n2) x ＋ 3 n2a n ＝ ( x － 3 a n )( x － n2) ， 令 f ′ n ( x ) ＝ 0 得 x 1 ＝ 3 a n ， x 2 ＝ n2， ① 若 3 a n n2， 則當 x 3 a n 時 ， f ′ n ( x ) 0 ， f n ( x ) 單調(diào)遞增 ， 當 3 a n x n2時 ， f ′ n ( x ) 0 ， f n ( x ) 單調(diào)遞減 ， 當 x ＞ n2時， f ′ n ( x ) 0 ， f n ( x ) 單調(diào)遞增． 故 f n ( x ) 在 x ＝ n2處取得極小值． ② 若 3 an n2，仿 ① 可得 fn( x ) 在 x ＝ 3 an處取得極小值． ③ 若 3 an＝ n2，則 f ′n( x ) ≥ 0 ， fn( x ) 無極值． 又 a1＝ 0 ，則 3 a112，由 ① 知 a2＝ 12＝ 1 ， 因 3 a2＝ 3 22，由 ① 知 a3＝ 22＝ 4 ， 因 3 a3＝ 1 2 32， 由 ② 知 a4＝ 3 a3＝ 3 4 ， 因 3 a4＝ 3 6 42， 由 ② 知 a5＝ 3 a4＝ 32 4 ， 由此猜測當 n ≥ 3 時， an＝ 4 3n － 3， 下面先用數(shù)學歸納法證明，當 n ≥ 3 時， 3 an n2. 事實上，當 n ＝ 3 時，由前面討論知結論成立． 假設 n ＝ k ( k ≥ 3) 時， 3 ak k2成立． 則由 ② 知 ak ＋ 1＝ 3 ak k2，從而 3 ak ＋ 1－ ( k ＋ 1)23 k2－( k ＋ 1)2＝ 2 k ( k － 2) ＋ 2 k － 1 0 ，所以 3 ak ＋ 1( k ＋ 1)2， 故當 n ≥ 3 時， 3 an n2成立 . 于是由 ② 知 n ≥ 3 時 an ＋ 1＝ 3 an，而 a3＝ 4 ， 故 an＝ 4 3n － 3. 綜上可得， a1＝ 0 ， a2＝ 1 ， an＝ 4 3n － 3( n ≥ 3) ． 【點評】 本題主要考查函數(shù)的極值、導數(shù)、數(shù)列通項公式，等比數(shù)列，數(shù)學歸納法等知識，考查分類討論思想和推理論證能力． 1 ．數(shù)列模型應用問題的求解策略 ① 認真審題，準確理解題意． ② 依據(jù)問題情境，構造等差、等比數(shù)列，然后應用通項公式、數(shù)列性質(zhì)和前 n 項和公式求解，或通過探索、歸納、構造遞推數(shù)列求解． ③ 驗證、反思結果與實際是否相符． 2 ．數(shù)列綜合問題的求解程序 ① 數(shù)列與函數(shù)綜合問題或應用函數(shù)思想解決數(shù)列問題，或以函數(shù)為載體構造數(shù)列，應用數(shù)列理論求解． ② 數(shù)列的幾何型綜合問題，探究幾何性質(zhì)和規(guī)律特征，建立數(shù)列的遞推關系式，然后求解問題． ( 2 0 1 1 上海 ) 已知數(shù)列 { a n } 和 { b n } 的通項公式分別為 a n ＝ 3 n ＋ 6 ， b n ＝ 2 n ＋ 7( n ∈ N*) ．將集合 { x | x ＝a n ， n ∈ N*} ∪ { x