高三數(shù)學(xué)等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題(編輯修改稿)
2024-12-17 08:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 、 {bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列， =an+bn， 證明數(shù)列 {}不是等比數(shù)列。 評： 依定義或通項公式，判定一個數(shù)列為等差或等比數(shù)列，是 數(shù)列中的基本問題之一。 提示 （ 1） … (2t)(3t)2n3n=0 p=2或 p=3. ??（ 2）為證 {}不是等比數(shù)列只需證 c22≠c1 c3 考點五： 等 比 數(shù)列的 性質(zhì)： 如果在 a、 b中間插入一個數(shù) G，使 a、 G、 b成等差數(shù)列，則 G 叫 a、 b的等差中項． G2＝ ab m+n=p+q 2. aman＝ apaq(等比數(shù)列 ) Sn, S2nSn, S3nS2n, … S knS(k1)n成等比數(shù)列 . {kn}成等差數(shù)列 ,則 { }成等比數(shù)列 . nka=a2an1=…=a kank+1= … 若 an0, a1a2 …a n= 21 )(nnaa ： m+n=p+q am+an＝ ap+aq(等差數(shù)列 ) ama n＝ apa q(等比數(shù)列 ) (m、 n、 p、 q∈ N*) 特別地 m+n=2p am+an＝ 2ap(等差數(shù)列 ) ama n＝ a2p(等比數(shù)列 ) 知識要點 【 典型例題 5】 在等比數(shù)列 {an}中 , Sn表示前 n項和 . (1)a1+an=66, a2an1=128, Sn=126, 求 n和公比 q。 (2)Sn=2, S2n=12, 求 S3n. 【 同類變式 】 在 1/n和 n+1之間插入 n個正數(shù) , 使這 n+2 個數(shù)依次成等比數(shù)列 , 求所插入的 n個數(shù)之積 . 解： 設(shè)這 n個數(shù)為 x1， x2， x3， …x n，且公比為 q，則有 111 ??? nqnn= 2 )1(1 ?nnnqn= 2)]1([1 nnnnn ?= 2)1(nnn ?∴ qn+1=n(n+1), xk=qk n (k=1,2,3, …,n ) ∴ x1 x2x3…x n=(qq2q3…q n) nn 【 典型例題 6】 設(shè)等比數(shù)列 {an}的各項均為正數(shù)，項數(shù)是偶數(shù)， 它的所有項的和等于偶數(shù)項和的 4倍，且第二項與第四項的積是 第 3項與第 4項和的 9倍，問數(shù)列 {lgan}的前多少項和最大？ (lg2=,lg3=) 解法一： 設(shè)公比為 q,項數(shù)為 2m,m∈ N*,依題意有 ???????????????)(9)()(1)1(41)1(312131122121qaqaqaqaqqqaqqa mm 化簡得 ????????????????10831 ),1(9114121aqqqaqq解得設(shè)數(shù)列 {lgan}前 n項和為 Sn, 則 Sn=lga1+lga1q2+… +lga1qn－ 1 =lga1nq1+2+… +(n－ 1) =nlga1+n(n－ 1)lgq =n(2lg2+lg3)－ n(n－ 1)lg3 21=(－ )n2+(2lg2+ lg3)n . 23lg27 可見，當(dāng) n= ，時3lg3lg272lg2 ? Sn最大 . 3lg3lg272lg2??????而 = , 故 {lgan}的前 5項和最大 . 設(shè)等比數(shù)列 {an}的各項均為正數(shù)，項數(shù)是偶數(shù)，它的所有項的和等于偶數(shù)項和的4倍，且第二項與第四項的積是第 3項與第 4項和的 9倍，問數(shù)列 {lgan}的前多少項和最大？ (lg2=,lg3=) 解法二：接前， ???????311081qa 于是 lgan=lg［ 108( )n－ 1］ 31=lg108+(n－ 1)lg 31∴ 數(shù)列 {lgan}是以 lg108為首項，以 lg 為公差的等差數(shù)列， 31令 lgan≥ 0, 得 2lg2－ (n－ 4)lg3≥ 0, ∴ n≤ 3lg3lg42
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