【正文】 │ 要點熱點探究 解： (1) 由 Sn＝ 2 an－ 2n ＋ 1，得 Sn － 1＝ 2 an － 1－ 2n( n ≥ 2) ． 兩式相減，得 an＝ 2 an－ 2 an － 1－ 2n，即 an－ 2 an － 1＝ 2n( n ≥ 2) ． 于是an2n －an － 12n － 1 ＝ 1 ， 所以數(shù)列??????an2n 是公差為 1 的等差數(shù)列． 又 S1＝ 2 a1－ 22， 所以 a1＝ 4. 所以an2n ＝ 2 ＋ ( n － 1) ＝ n ＋ 1 ， 故 a n ＝ ( n ＋ 1) 2n. (2) 因為 bn＝ logann ＋ 12 ＝ log2 n2 ＝1n， 則 B3 n－ Bn＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ ? ＋13 n. 第 10講 │ 要點熱點探究 令 f ( n ) ＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ ? ＋13 n， 則 f ( n ＋ 1 ) ＝1n ＋ 2＋1n ＋ 3＋ ? ＋13 n＋13 n ＋ 1＋13 n ＋ 2＋13 n ＋ 3. 所以 f ( n ＋ 1 ) － f ( n ) ＝13 n ＋ 1＋13 n ＋ 2＋13 n ＋ 3－1n ＋ 1 ＝13 n ＋ 1＋13 n ＋ 2－23 n ＋ 313 n ＋ 3＋13 n ＋ 3－23 n ＋ 3＝ 0. 即 f ( n ＋ 1 ) f ( n ) ， 所以數(shù)列 { f ( n ) } 為遞增數(shù)列 ． 所以當 n ≥ 2 時 ， f ( n ) 的最小值為 f ( 2 ) ＝13＋14＋15＋16＝1920. 據(jù)題意 ，m201920， 即 m 19. 又 m 為整數(shù) ， 故 m 的最大值為 18. 第 10講 │ 要點熱點探究 ? 探究點 四 數(shù)列的簡單應用問題 例 4 某企業(yè)去年的純利潤為 500 萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少 20 萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金 600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第 n 年 ( 今年為第一年 ) 的利潤為 500??????1 ＋12n 萬元 ( n 為正整數(shù) ) ． (1 ) 設從今年起的前 n 年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為 An萬元，進行技術改造后的累計純利潤為 Bn萬元 ( 扣除技術改造資金 ) ，求 An， Bn的表達式； (2 ) 依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？ 第 10講 │ 要點熱點探究 [ 思考流程 ] (1)( 條件 ) An是首項為 480 ，公差為－ 20 的等差數(shù)列前 n 項和， Bn為數(shù)列??????500??????1 ＋12n 前 n 項和減去 600 ? ( 目標 )得出 An， Bn的表達式 ? ( 方法 ) 進行求和計算； (2) ( 條件 ) “ 改造后的純利潤大于不改造的純利潤，即Bn An” ? ( 目標 ) 據(jù)此范圍對實際問題作出回答 ? ( 方法 ) 解不等式 Bn An即得正整數(shù) n 的范圍． 第 10講 │ 要點熱點探究 數(shù)列的簡單應用問題 解： (1) 依題意知， An是一個以 48 0 為首項，－ 20 為公差的等差數(shù)列的前 n 項和，所以 An＝ 480 n ＋n ? n － 1 ?2 ( － 20) ＝490 n － 10 n2， (2 分 ) Bn＝ 500??????1 ＋12＋ 500??????1 ＋122 ＋ ? ＋ 50 0??????1 ＋12n － 600 ＝ 500 n ＋ 500??????12＋122 ＋ ? ＋12n － 600 ＝ 500 n ＋ 500 12 ??????1 －??????12n1 －12－ 600 ＝ 500 n －5002n － 100. (6 分 ) 第 10講 │ 要點熱點探究 (2) 依題意得， Bn An，即 500 n －5002n － 100490 n － 10 n2，(7 分 ) 可化簡得502n n2＋ n － 10 ， ∴ 可設 f ( n ) ＝502n ， g ( n ) ＝ n2＋ n － 10. (9 分 ) 又 ∵ n ∈ N*， ∴ 可知 f ( n ) 是減函數(shù)， g ( n ) 是增函數(shù)， 又 f (3) ＝508 g (3) ＝ 2 ， f (4) ＝5016 g (4) ＝ 1 0. (1 1 分 ) 則 n ≥ 4 時不等式成立，所以至少經(jīng)過 4 年． (12 分 ) 第 10講 │ 要點熱點探究 [ 規(guī)范評析 ] 本題的實際意義是很常見的，是很貼近現(xiàn)實的，所用到的知識就是等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和，第二問的建模也不復雜，難點就是建模后求解不等式502n n2＋ n － 10.本例為以等差數(shù)列和等比數(shù)列為背景的數(shù)列應用題． 規(guī)律技巧提煉 第 10講 │ 規(guī)律技巧提煉 ? 規(guī)律 裂項相消是把數(shù)列的通項 an分拆成 an＝ bn ＋ 1－ bn或者an＝ bn－ bn ＋ 1或者 an＝ bn ＋ 2－ bn；錯位相減法適用于數(shù)列是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積構成的數(shù)列，依據(jù)是： cn＝ anbn，其中 { an} 是公差為 d 的等差數(shù)列， { bn} 是公比為 q ( q ≠ 1) 的等比數(shù)列，則 qcn＝ qanbn＝ anbn ＋ 1，此時 cn ＋ 1－ qcn＝ ( an ＋ 1－ an) bn ＋ 1＝ dbn ＋ 1. ? 技巧 裂項需把數(shù)列的通項分拆成兩項，一是某個數(shù)列中的相鄰的兩項，二是等距離間隔的兩項，只有這樣才能實現(xiàn)逐項相消剩下幾項，把和求出來的目的． ? 易錯 在利用等比數(shù)列求和時，易忽略對公比 q 的討論；在利用錯位相減法求和時，易忽略首項是否與后項構成等比 . 命題立意追溯 第 10講 │ 命題立意追溯 推理論證能力 —— 數(shù)列綜合問題中推理論證方法 示例 設數(shù)列 { a n } 的前 n 項和為 S n ，并且滿足 2 S n ＝ a2n ＋ n ，a n 0( n ∈ N*) ． (1) 求 a 1 ， a 2 ， a 3 ； (2) 猜想 { a n } 的通項公式，并加以證明 . 第 10講 │ 命題立意追溯 [ 命題闡釋 ] 本題立意是以數(shù)列知識為載體考查使用各種不同的數(shù)學方法進行推理論證的能力，涉及合情推理、數(shù)學歸納法、綜合法、分析法等數(shù)學證明方法在推理論證中的應用． 第 10講 │ 命題立意追溯 [ 思考流程 ] (1) ( 條件 )2 Sn＝ a2n＋ n ? ( 目標 ) 求 a1， a2， a3 ? ( 方法 ) 令 n ＝ 1,2,3 逐次解之； (2) ( 條件 )2 Sn＝ a2n＋ n ? ( 目標 ) 猜想 { an} 的通項公式，并加以證明 ? ( 方法 )2 Sn＝ a2n＋ n 升級角標，兩式相減建立 ak ＋ 1，ak的遞推關系式，使用數(shù)學歸納法進行證明 . 第 10講 │ 命題立意追溯 解： (1) 分別令 n ＝ 1,2,3 ，得????? 2 a1＝ a21＋ 1 ，2 ? a1＋ a2? ＝ a22＋ 2 ，2 ? a1＋ a2＋ a3? ＝ a23＋ 3 ， ∵ an0 ， ∴ a1＝ 1 ， a2＝ 2 ， a3＝ 3. (2) 猜想： an＝ n . 由 2 Sn＝ a2n＋ n ， ① 可知，當 n ≥ 2 時， 2 Sn － 1＝ a2n － 1＋ ( n － 1) ， ② ① － ② ，得 2 an＝ a2n－ a2n － 1＋ 1 ，即 a2n＝ 2 an＋ a2n － 1－ 1. (i) 當 n ＝ 2 時， a22＝ 2 a2＋ 12－ 1 ， ∵ a20 ， ∴ a2＝ 2 ； 第 10講 │ 命題立意追溯 (i i) 假設當 n ＝ k ( k ≥ 2) 時， ak＝ k . 那么當 n ＝ k ＋ 1 時， a2k＋1＝ 2 ak＋1＋ a2k－ 1 ＝ 2 ak＋1＋ k2－ 1 ， 即 a2k＋1－ 2 ak＋1－ ( k ＋ 1) ( k － 1) ＝ 0 ? [ ak＋1－ ( k ＋ 1 )] [ ak＋1＋( k － 1)] ＝ 0 ， ∵ ak＋10 ， k ≥ 2 ， ∴ ak＋1＋ ( k － 1) 0 ， ∴ ak＋1＝ k ＋ 1. 這就是說，當 n ＝ k ＋ 1 時也成立， ∴ an＝ n ( n ≥ 2) ．顯然 n ＝ 1 時，也適合． 故對于 n ∈ N*，均有 an＝ n . 第 10講 │ 命題立意追溯 [ 跟蹤練 ] 設曲線 C ： x2－ y2＝ 1 上的點 P 到點 An(0 ， an) 的距離的最小值為 dn，若 a1＝ 2 ， an ＋ 1＝ 2 dn， n ∈ N*. (1) 求數(shù)列 { an} 的通項公式； (2) 求證：a1a3＋a3a5＋ ? ＋a2 n － 1a2 n ＋ 1a2a4＋a4a6＋ ? ＋a2 na2 n ＋ 2. 第 10講 │ 命題立意追溯 解： (1) 設點 P ( x ， y ) ，則 x2－ y2＝ 1 ，所以 | PAn| ＝x2＋ ? y － an?2＝ 2??????y －an22＋2 ＋ a2n2， 因為 y ∈ R ，所以當 y ＝an2時， | PAn| 取得最小值 dn， 且 dn＝2 ＋ a2n2，又 an ＋ 1＝ 2 dn，即 dn＝12an ＋ 1， 將 dn＝12an ＋ 1代入 dn＝2 ＋ a2n2得12an ＋ 1＝2 ＋ a2n2， 兩邊平方得 a2n ＋ 1－ a2n＝ 2 ，又 a21＝ 2 ， 故數(shù)列 { a2n} 是首項為 a21＝ 2 ，公差為 2 的等差數(shù)列， 所以 a2n＝ 2 n ， 因為 an ＋ 1＝ 2 dn0 且 a10 ，所以 an＝ 2 n . 第 10講 │ 命題立意追溯 (2) 證明：因為 (2 n ＋ 2 )( 2 n － 1) － 2 n (2 n ＋ 1) ＝－ 20 ， 所以 (2 n ＋ 2 )( 2 n － 1)2 n (2 n ＋ 1